高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式

第一讲一2一、选择题1．如果0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()\f(1,2) B．bC．2ab D．a2＋b2解析：设a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，代入可得2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(1,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)答案：B2．当a＞1,0＜b＜1时，logab＋logba的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：由条件知logab＜0，logba＜0，故(－logab)＋(－logba)≥2eq\r(－logab·－logba)＝2，∴logab＋logba≤－2，选D.答案：D3．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最大值为2D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值解析：若0<x<1时，lgx<0，所以A错；x＋eq\f(1,x)≥2时当且仅当x＝1时取等号，因为x≥2，所以C错；因为x和－eq\f(1,x)均为增函数，所以x－eq\f(1,x)为增函数，当x＝2时，x－eq\f(1,x)有最大值eq\f(3,2)，所以D错．答案：B4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处解析：设仓库应建在离车站x千米处，设总费用为y，由题意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.把(10,2)，(10,8)代入得k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，∴x＝5.答案：A二、填空题5．a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，则a＋b的最小值为________．解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，∴a＋b的最小值为3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)6．设x>0，y>0，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的取值范围为________．解析：因为xy－(x＋y)＝1，且xy≤eq\f(x＋y2,4)，所以1＝xy－(x＋y)≤eq\f(x＋y2,4)－(x＋y)．设x＋y＝a，则eq\f(a2,4)－a－1≥0(a>0)，则a≥2＋2eq\r(2)，即x＋y≥2eq\r(2)＋2，故x＋y的取值范围为[2eq\r(2)＋2，＋∞)．答案：[2eq\r(2)＋2，＋∞)三、解答题7．设a，b∈(0，＋∞)，试比较eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)的大小，并说明理由．解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，即eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(当且仅当a＝b时取等号)．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2).∴eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时取等号)．而eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，于是eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时取等号)．8．求函数y＝eq\f(1,x－3)＋x(x>3)的最小值．解析：将原式配凑成y＝eq\f(1,x－3)＋x－3＋3.∵x>3，∴x－3>0，eq\f(1,x－3)>0，∴y≥2eq\r(x－3·\f(1,x－3))＋3＝5.当且仅当eq\f(1,x－3)＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.9．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2解析：(1)设每间虎笼长xm时，宽为ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，∴2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝,y＝3.))故每间虎笼长4.5m，宽为3m时，可使面积最大．方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y))y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤eq\f(3,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq\f(27,2).当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.方法一：∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝4.))故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．方法二：由xy＝24，得x＝eq\f(24,y).