高中数学人教A版第四章圆和方程【全国一等奖】

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交或相切 B．相交或相离C．相切 D．相交解析：方法一：圆C的圆心(0,0)到直线y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k)),\r(k2＋1))，∵d2＝eq\f(\f(1,4)k2,k2＋1)＜eq\f(1,4)＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，而点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))在圆C：x2＋y2＝1内部，故直线l与圆C相交．答案：D2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝()A．－1 B．±1C．－2 D．±2解析：∵圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝1，∴a＝±2.答案：D3．直线x－2y＋3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为()\f(3,2)\f(3,4)C．2eq\r(5)\f(6\r(5),5)解析：圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋6－3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，弦长为2eq\r(9－5)＝4，原点到直线的距离为eq\f(|0＋0＋3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3\r(5),5)＝eq\f(6\r(5),5).答案：D4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0解析：∵点(1，eq\r(3))在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，又∵圆心为(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1，解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴切线方程为x－eq\r(3)y＋2＝0.答案：D5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝eq\r(2)，故eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4，或a＝0.答案：D6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2eq\r(2))2，圆心(－1，－2)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\f(|－1－2＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故满足条件的点有4个．答案：D7．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上皆有可能解析：由题意，得eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，即a2＋b2＞1，所以点P在圆x2＋y2＝1外．答案：B8．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝()\r(a2＋b2＋c2) B．2eq\r(a2＋b2＋c2)C．|a＋b＋c| D．2|a＋b＋c|解析：P(a，b，c)关于原点对称的点为P′(－a，－b，－c)，则|PP′|＝eq\r([a－－a]2＋[b－－b]2＋[c－－c]2)＝2eq\r(a2＋b2＋c2).答案：B9．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为()A．－1 B．1C．3 D．0解析：由题意知直线x－y＋c＝0为线段AB的垂直平分线，故AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直线x－y＋c＝0上，所以eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，即m＋2c＝1.答案：B10．若直线y＝kx－1与曲线y＝－eq\r(1－x－22)有公共点，则k的取值范围是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．[0,1]解析：曲线y＝－eq\r(1－x－22)表示的图形是一个半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是[0,1]，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.解析：由题意可知，直线x－y＋2＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))，所以－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，a＝－2.答案：－212．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．设圆C的半径为r，则有r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝213．(2023·陕西府谷三中月考)过点P(2,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．解析：当且仅当CP⊥l时，∠ACB最小，又CP的斜率为1，所以直线l的斜率为－1，故l的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．(2023·江西广昌一中月考)已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(3)时，则a等于________．解析：由题可得eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋－12))＝eq\r(4－\r(3)2)，得a＝eq\r(2)－1或a＝－eq\r(2)－1(舍)．答案：eq\r(2)－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋y2＋2x－4y－8＝0，))得x＝1，y＝－1或x＝－4，y＝4，即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋D－E＋F＝0，,16＋16－4D＋4E＋F＝0，,1＋4－D－2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝3，,E＝－3，,F＝－8，))所以，所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为2eq\r(2)的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析：(1)设圆心C(a，a＋4)，则圆的方程为：(x－a)2＋(y－a－4)2＝8，代入原点得a＝－2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，经检验符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，圆心(－2,2)到直线y＝kx＋2的距离为d＝eq\f(|－2k－2＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))圆的半径r＝2eq\r(2).∴22＋d2＝r2，即4＋eq\f(4k2,1＋k2)＝8，∴1＋k2＝k2，可知k无解，综上可知直线方程为x＝0.17．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a，过B1作B1E⊥BD1于点E，求A，E两点之间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A(a，0,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)．过点E作EF⊥BD于F，如图所示，则在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|B1D1|＝eq\r(2)a，|BD1|＝eq\r(3)a，所以|B1E|＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6)a,3).所以在Rt△BEB1中，|BE|＝eq\f(\r(3),3)a.由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝eq\f(\r(2),3)a，|EF|＝eq\f(a,3)，所以点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，0))，则点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，\f(a,3))).由两点间的距离公式，得|AE|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以A，E两点之间的距离是eq\f(\r(6),3)a.18．(本小题满分14分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监