高等数学1-2极限的概念、无穷小与无穷大(上)

1函数的极限小结作业数列的极限第二节极限的概念、无穷小与无穷大(上）第一章极限和函数的连续性质一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限中写道:割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为

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的圆,逼近圆面积S.用其内接正

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边形的面积3极限的概念割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为

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边形的面积极限的概念13数列：按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项或者一般项.极限的概念二、数列及其极限1.数列的概念整标函数：定义域为全体正整数的函数称为整标函数。例如任何实数在数轴上都对应唯一的一个点，因此数列在数轴上对应一个点列。15极限的概念类似于函数的有界性和单调性，可以定义数列的有界性和单调性。回忆：数列的有界性例如有界数列有界数列无界.数列的单调性：单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。例如单调减少数列没有单调性在数轴上，单调数列的项只向一个方向移动有极限没有极限2、数列极限的概念当n无限增大时,无限接近于1.当无限增大时,数列在两个数1和-1之间来回变化，不会无限接近于某个固定的常数。数列极限的描述性定义：定义设有数列与常数如果当无限增大时,无限接近于,则称数列有极限为或记为：或者称数列收敛于,由定义不难看出：解：0确定常数极限存在极限的概念1901结论：公比绝对值小于1的等比数列极限为0。极限不存在（发散）极限不存在（发散）极限的概念20213.1.有界性极限的概念3、收敛数列的性质性质1一个数列有界未必收敛。逆否命题注收敛的数列必定有界.无界数列必定发散.例如:有界但不收敛22极限的概念3.2.唯一性性质2每个收敛的数列只有一个极限.3.3.保号性性质3如果且推论如果数列从某项起有且那么23函数在无穷远点的极限函数在一点的极限三、函数的极限对于数列,即整标函数其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数来说,有:极限的概念1当x→x0时,函数f(x)的极限定义设函数f(x)在的某去心邻域内有定义（x0可以除外）,如果当x趋近于x0（但x不等于x0）时,函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数

f(x)当x→x0时的极限，或记为注:1.考查函数极限的概念25结论：函数在一点无定义，但函数在该点的极限可能存在。例：根据极限的描述性定义，画图求极限。有时我们只需考虑当x从

的一侧趋近于时，函数f(x)的变化趋向.于是就产生了左极限、右极限。如果当从的左侧

趋近于

(记为）时,趋于常数A，则称在以A为左极限，记为27左极限的定义：右极限的定义：如果当从的右侧

趋近于

(记为）时,趋于常数A，则称在以A为右极限，记为函数的极限与左、右极限有如下关系：定理

定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在注左右极限存在但不相等,证例解观察可知:例左极限右极限求极限的概念292.当x→∞时,函数f(x)的极限极限的概念30定义如果当自变量x无限增大（减少）时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→+∞()时的极限，记为()定义如果当无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为极限的概念31定理当x+时,函数趋于/2;当x-时,函数趋于-/2;