向量及向量加减法(学生)

学习目的:.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力..掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；.明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向里；.在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；.通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识.学习内容：向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.学习难点：向量的加法运算一、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.通常用有向线段在表示，其中A为起点，B为终点，显然U与京表示不同的向量；有向线段法的长度表示向量的大小，用|荏|表示，显然忘卜百I,既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意：向量存的长度|法|又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起， 既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法.向量加法的平行四边形法则平行四边形ABC前，向量肃与言的和为丞.记作：在+京■费..向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有：嗝嚷,既在△adcK”嚷嘘,首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的规定：零向量与向量U的和等于7.三、向量的减法向量在与向量Z叫做相反向量.记作：U■一熊.则”一”.”*/,既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯［例1］判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量国与说是共线向量，则工、8、口、A必在同一直线上;④向量途与向量办平行，则说与否的方向相同或相反;⑤四边形工SCD是平行四边形的充要条件是AS=DC.［例2］下列各量中是向量的有.A动能B、重量C、质量 D、长度E、作用力与反作用力F、温度［例3］命题“若找力"，儿，则保人.”（ ）A.总成立 B.当心廿口时成立 C.当AX。时成立D.当CHO时成立第二阶梯［例1］如图1所示，已知向量”也已，试求作和向量保+方+。图】［例2］化简下列各式⑴耘+山+前； ⑵-矗十而一砺-而［例3］用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：如ABC虚四边形，对角线AC与BD交于O,且AO=OCDO=OB求证：四边形ABC虚平行四边形.第三阶梯例1.下列命题：(1)单位向量都相等；~号一|一^1I一^1日~Si一号(2)若颌・比，则后门"1且R?"8；（3）若ABC两平行四边形，则hT";-》—》—} -y-（4）若ab'ca8.斯，则犷班.其中真命题的个数是（）A0B1G2D3例2.若。为正三角形ABC的中心，则向量言盛盛是（）.A有相同起点的向量 B、平行向量 C模相等的向量D相等的向量例3.某人向东走3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移.例4.非零向量京二中，试比较层一蔡।与席上©I的大小.课外练习：.若两个向量不相等，则这两个向量（）A不共线 B、长度不相等C不可能均为单位向量 口不可能均为零向量.四边形RSPS菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A 二一” B、二「一>与一> TqTC 二” DK.“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（ ）.A充分不必要条件 B、必要不充分条件C充要条件 DK既不充分也不必要条件.。是四边形ABCD寸角线的交点，若白月喂优十君，则四边形ABC虚（）.A等腰梯形B、平行四边形 C菱形D矩形.若。是△ABC内一点，翻十•十比\则o是AABCq（）.A内心B、外心C垂心D重心-节.△ABC中，相=（）.—十T _（->十―） ―—T f_TA、--』 B、 ，二-二 C、-- D二「.平行四边形ABC前，E、F为AB,CD中点，图中7个向量中，与言相等的向量是 ；与必相等的向量是；与北平行的向量是 ；与蓝平行的向量是.――¥—¥-y.已知：首尾相接的四个向量e/心心.一十—t->十一-n求证：也----

测试测试选择题.已知向量a=（3,m）的长度是5,则m的值为（）.A4B、-4C、±4D、16.下面有四个命题：（1）向量四的长度与向量W的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.相等.（4）两个有共同起点的相等向量,其终点必相同.其中真命题的个数是（）.3.4B、3C、2在下列命题中，正确的是（若I二1>1一定不与4.3.4B、3C、2在下列命题中，正确的是（若I二1>1一定不与4.—》白共线F列说法中错误的是（零向量是没有方向的零向量与任一向量平行D、B、D、-1则一：—> 一D、若零向量的长度为0零向量的方向是任意的5.-+5.如图，设。是正六边形ABCDE的中心，则和双相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个 C、3个D、4个向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量.要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量. 因此，要加强训练观察一些常见图形.以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如北与芸是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题： 口与厘共线，口与%共线，&与h共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故 ,与公的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量， 其实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是 （）—> —> —> —>A.向量厘与向量共线，向量b与向量,共线，则向量与向量声共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C向量厘与占不共线，则〃与&所在直线的夹角为锐角D始点相同的两个非零向量不平行例2”两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要例3下面有四个命题：（1）向量的模是一个正实数.（2）两个向量平行是两个向量相等的必要条件.（3）若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等.（4）温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为（）.

01D.301D.3例4一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200公里到达C点，最后又改变方-TT向，向东行驶了100公里到达D点.(1)作出向量助、纶、8(2)求I二」例5一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点.后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移.检测题1.在下列各命题中，为真命题的有( )(1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量(2)温度有零上温度和零下温度.因此温度也是向量(3)方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量(4)坐标平面上的x轴和y轴都是向量A.1个B.2个 C.3个D.4个.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|TOC\o"1-5"\h\z的充要条件是( )A.a、b同方向 B.b、c同方向C.a、c同方向D.a、b、c同方向.下列命题中，正确的是( )A.W邛l= B.目》Nn口C.a=b^alfb D.卜卜Ona二0.下列各命题中假命题的个数为( )①向量刀的长度与向量位的长度相等.②向量途与向量1s平行，则〃与力的方向相同或相反.③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.⑤向量与与向量也是共线向量，则点工、3、仃、口必在同一条直线上.⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段

234234D.5.在下列各结论中，正确的结论为( )①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件.A.①、③ B.②、④ C.③、④ D.①、③、④.判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3