中考数学试题分类汇总《二次函数的图象与性质》练习题

第第页中考数学试题分类汇总《二次函数的图象与性质》练习题（含答案）二次函数的表达式1．）如图，已知点A（，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（）A．a＝2，b＝﹣ B．a＝，b＝﹣ C．a＝3，b＝﹣ D．a＝﹣，b＝【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A（，2），∴AE＝2，OE＝，∵B（0，1），∴OB＝1，∵OB∥AE，∴△BOD∽△AED，∴＝，∴DE＝2，∴∠ADE＝30°，∵∠DAC＝30°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝＝＝，∴C（，0），把A（，2）和C（，0）代入二次函数y＝ax2+bx+1中，得：，解得：．2．正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数【解答】解：设正方形的边长为a，则x＝4a，y＝a2，消去a得，y＝（x＞0），它是二次函数，3．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），（1，2），（3，0），则当x＝5时，y的值为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6【分析】由抛物线经过（﹣1，0），（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，2）代入解析式求a的值，进而求解．【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得2＝﹣4a，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），将x＝5代入y＝﹣（x+1）（x﹣3）得y＝﹣6，二次函数图象4．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，5．函数y＝ax2+1与y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B． C．D．6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝bx+c在同一坐标系内的大致图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且交y轴的负半轴，∴b＞0，c＜0，∴反比例函数y＝的图象必在一、三象限，一次函数y＝bx+c的图象必经过一三四象限，故D正确．二次函数的性质7．（2022·广州海珠区一模）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣8的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣8，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），8．若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（）A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【分析】根据二次函数解析式判断出开口方向和对称轴，再根据当2≤x≤5时，8≤y≤12，可得到x在顶点处取得最大值，即可求出a值．【解答】解：在y＝ax2﹣6ax+3，a＜0，开口向下，对称轴为x＝3，∵当2≤x≤5时，8≤y≤12，∴x＝3时，y取得最大为12，∴12＝9a﹣18a+3，∴a＝﹣1．9．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．10．如图，A，B两点的坐标分别是（1，4），（3，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C横坐标的最小值为﹣1，则D点的横坐标的最大值是（）A．1 B．3 C．5 D．6【解答】解：当点C横坐标为﹣1时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为3，则CD＝4；当抛物线顶点为B（3，4）时，抛物线对称轴为x＝3，且CD＝4，故C（1，0），D（5，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为5．二次函数的图象与性质11．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小；故①正确；②∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得：1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，2022离对称轴近些，∴yl＜y2；故③正确；④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∵该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤，解得：1＜m≤，故④正确；12．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．13．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点．（1）y3＝c（用关于a或c的代数式表示）；（2）若y4•y2＜0时，则y3•y1＜0．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】将x＝2代入抛物线解析式可得y3＝c，根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断y1＞y4＞y2＞y3，进而求解．【解答】解：将x＝2代入y＝ax2﹣2ax+c得y＝c，∴y3＝c，∵y＝ax2﹣2ax+c（a＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝1，∴与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，∵1﹣（﹣3）＞4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y3＞y2＞y4＞y1，若y4•y2＜0，则y3＞y2＞0＞y4＞y1，∴y3•y1＜0，14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（）A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．k＝2a+c D．x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A错误；由图象得知抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＞0，故B错误；∵y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵y＝kx+b过点（﹣1，0），∴b＝k，∴k＝a+c，故C错误；∵对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴k＝﹣2a，当x＝4时，ax2+（b﹣k）x+c＝16a+c＝13a＝13×（﹣k）＝﹣k，由图象可知，k＞0，∴﹣k＜k，即ax2+（b﹣k）x+c＜b；故D正确；二次函数图像与系数的关系15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；③a+c＜0；④当x＝﹣t2﹣2时，y＞c．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上，∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣1，∵A（﹣3，0），∴B（1，0），故①选项符合题意；根据图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与y＝2有两个交点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，故②选项符合题意；将A，B点坐标代入抛物线解析式，得，得，∴a+c＝a﹣3a＝﹣a，∵a＞0，∴﹣a＜0，即a+c＜0，故③选项符合题意；∵x＝﹣t2﹣2≤﹣2，∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣2时和x＝0时函数值相等，当x＝0时，y＝c，∴当x＝﹣2时，y＝c，∴当x＝﹣t2﹣2时，y≥c，故④选项不符合题意；故正确的有①②③，16．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．②＝＝1，∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，∴E′（2，﹣3），∴CE′＝2，∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．④设x1关于对称轴的对称点x1′，∴x1′＝2﹣x1，∵x1+x2＞2，∴x2＞﹣x1+2，∴x2＞x1′，∵x1＜1＜x2，∴x1＜1＜x1′＜x2，∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，∴y2＜y1，∴④正确．17．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；18．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是抛物线y＝x2﹣2tx﹣1上两点，以下四个命题：①若y的最小值为﹣1，则t＝0；②点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t）；③当t≤1时，若x1+x2＞2，则y1＜y2；④对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m总有实数解，则m≥﹣1，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵y＝x2﹣2tx﹣1＝（x﹣t）2﹣t2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2tx﹣1的对称轴是直线x＝t，顶点坐标是（t，﹣t2﹣1），①若y的最小值为﹣1，则﹣t2﹣1＝﹣1，∴t＝0，故①正确；②把x＝1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，把x＝2t﹣1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，∴A（1，﹣2t）和点B（2t﹣1，﹣2t）均在抛物线上，∵＝t，∴点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t），故②正确；③当t≤1时，若x1+x2＞2，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵x1＜x2，∴x2离对称轴远，∴y1＜y2，故③正确；④∵x2﹣2tx＝1﹣m，∴x2﹣2tx﹣1+m＝0，∵对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m总有实数解，∴△＝4t2﹣4m+4≥0，解得m≤t2+1，故④错误；综上所述，正确的有3个，19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．给出以下结论：①6≤n≤8；②对称轴是直线x＝2；③当a＝﹣时，抛物线的开口最大；④二次函数的最大值可取到6．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根据m+n＝4可得n＝4﹣m，再根据﹣4≤m≤﹣2即可判断①；根据二次函数的对称轴是直线x＝即可判断②；先求出﹣的取值范围，再根据二次函数的图象与y轴的交点位置可得c的取值范围，从而可得出的取值范围，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系可得mn＝，从而可得a的取值范围，最后根据抛物线的开口大小与a的值的关系即可判断③；先求出当x＝2时，二次函数取得最大值，最大值为﹣4a+c，再根据a，c的的取值范围求出﹣4a+c的取值范围，由此即可判断④．【解答】解：由m+n＝4得：n＝4﹣m，∴﹣4≤m≤﹣2，∴2≤﹣m≤4，∴6≤4﹣m≤8，∴6≤n≤8，∴结论①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，且m+n＝4，∴此二次函数的对称轴是直线x＝＝2，∴结论②正确；∵2≤﹣m≤4，6≤n≤8，∴12≤﹣mn≤32，∴≤﹣≤，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．∴3≤c≤4，∴≤﹣≤，∴﹣≤≤﹣，又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，∴m，n是关于x的一元次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，∴mn＝，∴a＝，∴﹣≤a≤﹣，由二次函数图象的开口向下得：a＜0，则a的值越大，抛物线的开口越大，所以当a＝﹣时，抛物线的开口最小；当a＝﹣时，抛物线的开口最大，故结论③正确；∵此二次函数的对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c为最大值，且﹣＝2，∴最大值4a+2b+c＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c，由﹣≤a≤﹣得：≤，又∵3≤c≤4，∴3≤﹣4a+c≤5，则二次函数的最大值﹣4a+c不可取到6，∴结论④错误；综上，正确结论的个数为3个，故选：C．20．如图，抛物线y＝αx2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其图象如图所示，以下结论正确的是（C）A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．a＝c﹣2 D．4a﹣2b+c＜0【解答】解：A．由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0；故A不正确；B．∵顶点为D（﹣1，2），∴函数的对称轴为x＝﹣1，∴当x＝1和当x＝﹣3时的函数值相等，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴x＝﹣3时，y＜0，∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故B不正确；C．将点D（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，得到a﹣b+c＝2，又∵由函数的对称轴为x＝﹣1，∴＝﹣1，∴b＝﹣2a，∴a﹣2α+c＝2，∴a＝c﹣2，故C正确；D．由图象可知当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故D不正确，9．（2022·深圳坪山区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其与x轴交于点A（m，0）、点B，下列4个结论：①b＜0；②m＞﹣2；③ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根；④＞﹣3．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0，由对称轴位置知，，∴b＝2a＜0，故①正确；②由对称性质知（0，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），∵（0，0）在AB之间，∴（﹣2，0）也在A、B之间，∵A（m，0），∴m＜﹣2，故②不正确；③由函数图象可知，抛物线与直线y＝﹣1有两个交点，∴ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③正确；④由函数图象知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，∴，故④正确；二次函数的交点问题21．（2022·惠州惠城区一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝﹣x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（）A．﹣2≤xM≤2 B．﹣2≤xM≤2且xM≤﹣1 C．﹣1≤xM＜2 D．﹣1≤xM＜2或xM＝3【解答】解：解得或，∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0），当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜2；当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点B的右侧时，当xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，﹣1≤xM＜2或xM＝3．22．已知关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别是﹣1和3，若抛物线y＝x2+bx﹣2c与y轴交于点A，过A作AB⊥y轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（）A．2 B．3 C．1 D．1.5【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0的两个根分别是﹣1和3，∴抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴，解得，∴y＝x2+bx﹣2c＝x2﹣2x+6，当x＝0时，y＝6；当y＝6时，6＝x2﹣2x+6，得x1＝0，x2＝2，∴点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，6），∴AB＝2﹣0＝2，23．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3【分析】结合函数图象，写出抛物线在直线y2＝mx+n上方所对应的自变量的范围．【解答】解：根据函数图象，当x＜0或x＞3时，y1＞y2，所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．二次函数图象的平移24．将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝2（x+1）2+1 C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+1【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y＝2（x﹣1+2）2+1．即y＝2（x+1）2+1．25．将抛物线y＝3x2向右平移5个单位，可得到抛物线y＝3（x﹣5）2．【分析】根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移5个单位，即可得到抛物线y＝3（x﹣5）2，故答案为：y＝3（x﹣5）2．26．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2+5 C．y＝﹣（x+1）2+5 D．y＝﹣（x+3）2+5【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到