第二章资金等值计算

第二章资金等值计算主要教学内容和目的：了解资金时间价值的含义；理解单利和复利的区别；理解名义利率和有效利率的区别；掌握资金时间价值计算公式的应用；重点掌握资金时间价值计算公式的应用。第一节资金的时间价值

一、资金时间价值的含义

资金的时间价值——指资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值。决定资金时间价值大小的主要因素通货膨胀、资金贬值；承担风险；投资增值。资金时间价值的体现利息和利润利率和利润率例：两个项目，一个项目开始投入100万，1年后产出200万，另一个项目投入150万，2年后产出300万。例：

年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000例：

例：

二、计息的种类

利息：放弃资金使用价值的报酬。

式中I——利息；F——目前债务人应付（或债权人应收）总金额；P——原借贷款金额，常称为本金。利率：单位时间内投入单位资金所得的增值。式中i——利率；It——单位时间内所得的利息额。

例：某人现借得本金1000元，一年后付息80元，则年利率为：1、单利法——在计算利息时，只对最初本金计算利息，而对每期的利息不再计息。式中It——代表第t计息周期的利息额；P——代表本金；i单——计息周期单利利率。n期末单利本利和F等于本金加上利息，即：

式中，In——代表n个计息周期所付或所收的单利总利息

总利息与本金、利率以及计息周期数成正比的关系。式中n和i单反映的时期要一致。例如，存入银行1000元本金，年利率为6％，共存五年，每个计息周期的本金、利息和本利和如下表：例1：我国国库券的利息以单利计息，假设面额100元，3年期，年利率14％，则到期本利和？解：F＝P（1＋n×i）＝100（1＋3×14％）＝142元例2：假如以单利方式借入1000元，年利率8%，第四年末偿还，则各年利息和本利和如下表。使用期年初款额年末利息年末本利和年末偿还12342、复利法——即以本金和累计利息之和为基数计算利息的方法。

式中i——计息周期复利利率；Ft-1——表示第（t－1）期末复利本利和。第t期末复利本利和的表达式如下：

例如，存入银行1000元本金，年利率为6％，共存五年，若按复利法计息，每个计息周期的本金、利息和本利和如下表：例：假如以复利方式借入1000元，年利率8%，第四年末偿还，则各年利息和本利和如下表。使用期年初款额年末利息年末本利和年末偿还1234三、名义利率和实际利率（一）名义利率名义利率就是以一年作为时间单位表示的利率。

名义利率r是指计息周期利率i乘以一年内的计息周期数n所得的年利率。r=i×n（二）实际（有效）利率

是资金在实际计息中所采用的利率

i＝r/n

年有效利率以年为计息周期表示的有效利率。

已知年名义利率r，一年内计息n次，则计息周期利率为i=r/n，在年初有资金P。根据复利计息公式可得该年终值F，即：

例如，“年利率12%，每月计息一次”。年有效利率为：i1=1×(1+1%)12−1=12.68%。那么2年期有效利率又为多少呢？

如果实际的年利率为12%，按每月计息一次，那么实际月利率、名义利率各为多少？当名义利率分别为12％和6％时，对应于不同计息周期的年实际利率值如下表：

例1：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？解：因为i乙>i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。例2：某企业向银行借款，有两种计息方式，分别是：A：年利率8%，按月计息；B：年利率9%，按半年计息。问企业应选择哪一种计息方式？

第二节资金等值计算

一、相关概念i－利率(折现率)n－计息次（期）数如半年计息一次，则两年共计息期数？P－现值（本金或现在值）F－终值（将来值）A－年金：在某一特定时间序列期内，每隔相同时间收入或支出的等额款项。

等值二、整付类型

1、一次支付终值公式（整付终值公式）

计息期期初金额（1）本期利息额（2）期末本利和Ft=（1）＋（2）1PP·iF1=P＋P·i=P（1＋i）2P（1＋i）P（1＋i）·iF2=P（1＋i）＋P（1＋i）·i=P（1＋i）23P（1＋i）2P（1＋i）2·iF3=P（1＋i）2＋P（1＋i）2·i=P（1＋i）3：：：：：：：：：：：：nP（1＋i）n-1P（1＋i）n-1·iF=Fn=P（1＋i）n-1＋P（1＋i）n-1·i=P（1＋i）n

称之为一次支付终值系数（整付终值系数），用表示。一次支付终值系数表（附表）

例1：某人借款10000元，年利率i=10%，试问5年末连本带利一次需偿还多少？解：

例2：某企业进行设备更新改造，第一年初向银行借款200万元，第二年向银行借款300万元，在第五年末全部还清，年利率8％，问最后还款多少？

2、一次支付现值公式（整付现值公式）

称为一次支付现值系数（整付现值系数），用符号表示。

计算现值P的过程叫“折现”或“贴现”，其所使用的利率常称为折现率或贴现率。一次支付现值系数也可叫折现系数或贴现系数（附表）。例1：某人希望5年末有10000元资金，年利率i=10%，试问现在需一次存款多少？解：例2：某企业拟购买一设备，价格500万元，有两种付款方式：（1）一次性付款，优惠12%；（2）分期付款，则不享受优惠，首次付40%，第1年末付30%，第2年末付20%，第3年末付10%。假设企业购买设备用的是自有资金，机会成本10%，问选那种方式付款？若机会成本16%，问选那种方式付款?现值系数与终值系数是互为倒数。P一定，n相同时，i越高，F越大；在i相同时，n越长，F越大。

时间利率1年5年10年20年1%1.01001.05101.10461.22015%1.05001.27621.62882.07898%1.08001.49632.15894.660910%1.10001.61052.59376.727312%1.12001.76233.10589.646215%1.15002.01134.045516.366表1：一元现值与终值的关系

在F一定，n相同时，i越高，P越小；在i相同时，n越长，P越小。

时间利率1年5年10年20年1%0.990100.951470.905300.819575%0.952380.783580.613920.376908%0.925930.680590.463200.2145510%0.909090.620920.385550.1486512%0.892860.567420.321970.1036715%0.869570.497180.247190.06110表2：一元终值与现值的关系

三、等额分付类型1、系列年金终值公式（等额分付终值公式）

式中称为年金终值系数或等额分付终值系数，用符号表示。（附表）等额分付终值计算公式应满足：①每期支付金额相同；②支付间隔相同：③每次支付都在对应的期末，终值与最后一期支付同时发生。例1：若10年内，每年末存1000元，年利率8%，问10年末本利和为多少？

解：

例2：第一年初存入银行100元，第二年以后连续五年每年年初存入银行100元，问第六年年初的本利和为多少？(年利率6%)解：或

2、偿债基金公式(等额支付系列积累基金公式)

式中称为等额支付系列偿债基金系数，用符号表示。（附表）

例1：某企业计划自筹资金进行一项技术改造，预计5年后进行的这项改造需用资金300万元，银行利率8％，问从今年起每年末应筹款多少?解：

例2：（1）某企业5年后需用一笔50万元资金用于固定资产的设备更新改造，如年利率5％，问从现在开始该企业每年年末应向银行存入多少资金？（2）假设每年年初存入多少资金，才能满足需要?3、年金现值公式（等额分付现值公式）

式中称为等额支付系列现值系数或年金现值系数或等额分付现值系数，用符号表示。（附表）例1：欲期望五年内每年末收回1000元，在年利率为10%时，问开始需一次投资多少？解：

例2：某企业5年内每年初需要投入资金100万元用于技术改造，企业准备存入一笔钱以设立一项基金，提供每年技术改造所需的资金，年利率6％，问企业应存入基金多少钱？4、资本回收公式（资金恢复公式）

式中称为等额支付系列资本回收系数，用符号表示。（附表）例1：若投资10000元，每年收回率为8%，在十年内收回全部本利，则每年应收回多少？

解：例2：某工程项目第一年、第二年初分别投资700万元和600万元，第三年初投产，第三、四年末总收入分别为100万元，其中经营成本38万元。其余投资期望在第四年以后的五年内回收，问每年至少需等额收回多少万元（i＝8％）？5、总结先付年金的等值计算例1：某公司租一仓库，租期5年，每年年初需付租金12000元，贴现率为8％，问该公司现在应筹集多少资金？延期年金的等值计算例2：设利率为10％，现存入多少钱，才能正好从第四年到第八年的每年年末等额提取2万元？永续年金的等值计算

例3：某地方政府一次性投入5000万元建一条地方公路，年维护费为150万元，折现率为10％，求现值。表：6个常用复利公式四、内插法例1：已知P=10万元，F=30万元，n=10，求i。解：

资金偿还年限：已知A、P、i，求n

例2：已知P=5亿元，A=1.2亿元，i=10%，求n=？解：

例3：已知（P/A，i，10）=5.4，求i=?解：

五、间断复利和连续复利

复利计息的周期为一定的时间，如年、月、日等，称为间断式计息或离散式复利。如果计息周期无限缩短，趋向于0（意味着计息次数n趋向于无限多），此时就是所谓的连续式复利计息。

若在一年中使计息次数无限多，年有效利率为：例1：某地向世界银行贷款100万美元，年利率为10％，试用间断计息法和连续计息法计算5年后的本利和?例2：、试以下列方法计算比较每年2000元，连续10年，年利率10%的现金流量的现值。（备注：（P/A，10%，10）=6.1445）1）按每年复利计算；2）按连续复利计算。六、课堂练习

例1：假如某人目前借入2000元，在今后两年中分24次偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有效利率、年名义利率和年有效利率？例2：某债券是一年前发行的，面额为500元，年限5年，年利率10%，每年支付利息，到期还本，若投资者要求在余下的4年中的年收益率为8%，问应以低于多少的价格购买该债券？

例3：有如下图示现金流量，解法正确的有()AF=A(P/A，i，6)(F/P，i，8)BF=A(P/A，i，5)(F/P，i，7)CF=A(F/A，i，6)(F/P，i，2)DF=A(F/A，i，5)(F/P，i，2)EF=A(F/A，i，6)(F/P，i，1)例4：某企业于第一年年初和第二年年初连续两年各向银行贷款30万元，年利率为10%，约定于第三年、第四年、第五年三年年末等额偿还，则每年应偿还()。A23.03万元B25.33万元C27.87万元D30.65万元例5：某人存款1万元，若干年后可取现金2万元，银行存款利率10%，则该笔存款的期限（）。A10年B小于8年C8～10年之间D大于10年例6：若i1=2i2，n1=n2/2，则当P相同时，（）。A（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）B（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）C（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）D不能确定（F/P，i1，n1）与（F/P，i2，n2）的大小例7：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（）A（F/A，i，n）=(P/A，i，n)×(F/P，i，n)B（F/P，i，n）=(F/P，i，n1)×(F/P，i，n2)，其中n1+n2=nC（P/F，i，n）=(P/F，i，n1)＋(P/F，i，n2)，其中n1+n2=nD（P/A，i，n）=(P/F，i，n)×(A/F，i，n)E1/（F/A，i，n）=(F/A，i，1/n)例8：某投资者5年前以200万元价格买入一房产，过去5年内每年的租金收益25万元，现在该房以250万元出售。若投资者期望的年收益率为20%，问此投资能否达到要求？

例9：第一年初存入银行10000元，第二年年末开始从银行取款，每年年末均取出500元，问第10年年末的银行存款还剩多少？利率为10%例10：某公司欲引进一项专利，对方提出两种付款方式供选择。一种是：一笔总计售价25万元，一次付清；另一种是：总计和提成相结合，具体条件为，签约时付费5万元，2年建成投产后，按产品每年收入60万元的6%提成(从第3年末开始到第12年末)。若资金利率10%，问公司应采用哪种方式付款？P33例题七、练习题1：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？2：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

解：第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：将年度支付转化