第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算重点：1.矩阵加法、数乘、乘积、转置

2.方阵的行列式

3.伴随矩阵

4.逆矩阵

5.矩阵分块可到以下公共邮箱下载课件：caucla2013@163.com密码：2013la1.矩阵的定义

由mn个数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称

mn矩阵.简记为:这mn个数aij称为矩阵A的元素.A=Amn=(aij)mn=(aij).一、基本概念

设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn

矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中6.矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.5.数与矩阵相乘

数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.(注意与数乘行列式的区别)注意：矩阵相乘不满足交换律4.矩阵的加法

设有两个同型的mn

矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即

把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.7.转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质

由n

阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.方阵行列式的运算性质(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.一个重要结论(7)行列式|

A

|的各个元素的代数余子式Aij

所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.性质:

(1)AA*

=

A*A

=

|

A

|

E.(2)

对于n

阶方阵A,如果存在一个n

阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的(非奇异的,非退化的),并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.10.逆矩阵(2)矩阵A可逆的充要条件是|

A

|

0.(3)若A是可逆矩阵,则(1)若AB=E(或BA=E),则B=A-1.(4)若矩阵A可逆,且

0,则

A

亦可逆,且(5)若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.(7)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(6)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.(8)若矩阵A可逆,则有|

A-1|=|

A

|-1.例4:

求的逆矩阵(

ad

–

bc

0

).

求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:

先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后除A的行列式|A|.二阶矩阵求逆矩阵的计算对角矩阵的逆矩阵分块对角阵的逆矩阵类似！逆矩阵的计算方法:(3)初等变换法(2)伴随矩阵法:低阶矩阵(1)定义法;(4)分块矩阵法;待定系数A为n阶方阵,记(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式,简称矩阵多项式.矩阵多项式可以类似与一般多项式一样相乘或分解因式.

定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP

=

B

,则称矩阵A与B相似.也有A

=

PBP-1,相似矩阵有(1).Am

=

PBmP-1.(2).若(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)=P(B)P-1一、矩阵的运算（加法、数乘、乘法和转置）2010年期末考试题

(课后题2题)：

求及设三、计算下列各题2012年选考题2012年选考题2011年期末考试题，填空题(4分)(课后题2题)：2011年选考题，填空题(4分)矩阵的n次幂矩阵拆分相乘2012年期末考试题2012年期末考试题二项式法二项式法二、求解矩阵方程2010年期末考试题(8分)(课后题15题)：设求B.2010年选考题2010年期末考题(I)，2011年选考题求解矩阵方程2011年期末考题2008年期末考题设矩阵X满足关系式求X.2009年期末考题(课后题16题)：设求B.答案：42011年选考题三、计算方阵行列式(逆矩阵、伴随矩阵)2011年期末考题2009年期末考题二、填空题4.设且存在，则四、逆矩阵课后题22题：设方阵A满足证明A及A+2E都可逆,并求及.设方阵A满足证明A及A+2E都可逆,A22009年期末考题2.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列命题不正确的是()(A)(B)(C)(D)2.设n阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=E，E为n阶单位矩阵，则必有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.2008年期末考题(II)DC2012年选考题、课后21题例5(课后题24题)

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n–1.2010年期末考试(II)

一、填空题(4)设A是n阶方阵，且，而是A的伴随矩阵，则4、设A是n阶方阵，且|A|=0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*

|=.02010年期末考试(I)五、伴随矩阵设A=的伴随矩阵为A*,则(A*)–1=

2008年期末考题(I)课后题23题：设A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且.2010年期末考题(I)二、选择（每题4分，共16分）1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是()|AB|=0,则A=0或B=0;B.|AB|=0,则|A|=0或|B|=0；C.AB=0,则A=0或B=0;

D.AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；

B1.设则|AB|=().