第9章一元气体动力学基础

气体动力学研究可压缩流体运动规律及其在工程实际中的应用。第九章一元气体动力学基础当气体的流动速度较高，压差较大时，气体的密度发生了显著变化，必须考虑气体的可压缩性，即必须考虑气体密度随压强和温度的变化而变化的情况。研究可压缩流体的动力学不只是流速，压强问题，还有密度和温度问题。需要热力学的知识。压强、温度用绝对压强和开尔文温度。第一节理想气体一元恒定流动运动方程从微元流束中沿轴线s任取ds段,由理想流体欧拉运动微分方程:对于恒定一元流动:当质量力仅为重力，气体在同介质中流动，浮力和重力平衡，不计质量力S，并去掉角标s，则得：dspv§9.1理想气体一元恒定流动运动方程微分形式的伯努利方程：上式确定了气体一元流动的p,v,ρ之间的函数关系。要积分上式，必须给出气体的p,ρ之间的函数关系，必须借助热力学过程方程式。于是：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程气体一元定容流动定容过程是指气体在容积不变，或比容不变的条件下进行的热力过程。定容流动是指气体容积不变的流动，即密度不变的流动。在ρ=常数时：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程方程意义是：沿流各断面上单位质量或重量理想气体的压能与动能之和守恒，两者并可互相转换。此式即不可压缩理想流体元流能量方程式，忽略质量力的形式。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程气体一元等温流动等温过程是指气体在温度T不变条件下所进行的热力过程。等温流动是指气体温度T保持不变的流动。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程又知：将上式代入中，积分得：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程气体一元绝热流动在无能量损失且与外界无热量交换的情况，为可逆的绝热过程，又称等熵过程。k：绝热指数k=cp/cv为定压比热与定容比热之比。将上式代入并积分：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程将上式变化为：与不可压缩理想气体相比多出一项从热力学可知，该多出项正是绝热过程中，单位质量气体所具有的内能。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程证明:单位质量气体具有的内能为证明：从热力学可知，对理想气体有：气体常数R为由理想气体状态方程式可得：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程上式表明：气体等熵流动，即理想气体绝热流动，沿流任意断面上，单位质量气体所具有的内能、压能、动能三项之和均为一常数。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程气体动力学中，常用焓i这个热力学参数来表示绝热流动全能方程。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程气体绝热指数k取决于气体分子结构。空气k=1.4，干饱和蒸汽k=1.135，过热蒸汽k=1.33。实际的流动过程均为多变流动，其运动方程式为：多变过程p，ρ的关系为：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程特殊流动时，多变指数为：等温流动：绝热流动：定容流动：定压流动：§9.1理想气体一元恒定流动运动方程例9-1：求空气绝热流动时（无摩擦损失），两断面间流速与绝对温度的关系。已知：空气的绝热指数k=1.4,气体常数R=287J/kg.k。解：应用公式：将k=1.4代入上式：得§9.1理想气体一元恒定流动运动方程例9-2：为获得较高空气流速，使煤气与空气充分混合，使压缩空气流经图示喷嘴。在1、2断面上测得高压空气参数为：p1=12*98100N/m2,p2=10*98100N/m2,v1=100m/s,t1=27℃.试求喷嘴出口速度v2为多少？1122压缩空气煤气煤气§9.1理想气体一元恒定流动运动方程§9.1理想气体一元恒定流动运动方程解：因速度较高，气流来不及与外界进行热量交换，且当忽略能量损失时，可按等熵流动处理。应用上例结果：1122压缩空气煤气煤气将各值代入得§9.1理想气体一元恒定流动运动方程绝热流动有两种不同的情况：在喷管中的流动，具有较高的速度，较短行程，气流与壁面接触时间短，来不及进行热交换，摩擦损失亦可忽略。可理解为等熵过程。在有保温层的管道中流动的过程，一般摩擦作用不能忽略，属于有摩擦绝热流动。两者都可以用理想气体绝热流动的伯努利方程。§9.1理想气体一元恒定流动运动方程音速流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力扰动。压力扰动产生压力波，向四周传播。传播速度的快慢，与流体的压缩性和密度有关。微小扰动在流体中的传播速度，就是声音在流体中的传播速度，以符号c来表示音速。音速c是气体动力学重要参数。§9.2音速、滞止参数、马赫数第二节音速、滞止参数、马赫数小扰动波波峰等断面直管，管内装静止可压缩气体，活塞微小速度dv向右移动，产生一微小扰动平面波。若定义扰动和未扰动的分界面为波峰，则波峰的传播速度就是声音的传播速度。

坐标固定在波峰上波峰右侧原来静止的流体将以速度c向左运动，压强为p,密度为ρ。波峰左侧流体将以c-dv向左运动，压强为p+dp,密度为ρ+dρ。对控制体列连续性方程：§9.2音速、滞止参数、马赫数略去二阶小量，得：气体和液体都适用。对控制体列动量方程，整理得：由上两式消去dv，可得：§9.2音速、滞止参数、马赫数音速与流体弹性模量平方根成正比，与流体密度平方根成反比，则音速在一定程度上反映出压缩性的大小。音波传播速度很快，在传播过程中与外界来不及进行热量交换，可作为等熵过程考虑。§9.2音速、滞止参数、马赫数应用气体等熵方程式和完全气体状态方程式，可以得到气体中音速公式：§9.2音速、滞止参数、马赫数推导过程:不同的气体有不同的绝热指数k，及不同的气体常数R,所以各种气体有各自的音速值。（空气、氢气）同一种气体中音速也不是固定的，它与气体的绝对温度的平方根成正比。§9.2音速、滞止参数、马赫数滞止参数气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。（p,T,i,c)。滞止参数以下标“0”表示。断面滞止参数可由方程求出：§9.2音速、滞止参数、马赫数因当地音速：滞止音速：§9.2音速、滞止参数、马赫数由于当地气流速度v的存在，同一气流中当地音速c永远小于滞止音速c0,气流中最大音速是滞止时的音速c0。（驻点）等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中T0,i0,c0,反映了包括热能在内的气流全部能量。等熵流动中，气流速度若沿流增大，则气流温度T,焓i,音速c沿程降低。§9.2音速、滞止参数、马赫数马赫数音速大小在一定程度上反映气体可压缩性大小。当气流速度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数将有关影响压缩效果的v,c两个参数联系起来。指定点的当地速度v与该点当地音速c的比值为马赫数M。§9.2音速、滞止参数、马赫数M>1,v>c,即气流本身速度大于音速，则气流中参数的变化不能向上游传播。超音速流动。M<1,v<c,即气流本身速度小于音速，则气流中参数的变化能够各向传播。亚音速流动。§9.2音速、滞止参数、马赫数

M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力与弹性力的相对比值，如同雷诺数一样，是确定气体流动状态的准数。§9.2音速、滞止参数、马赫数例9-3:某飞机在海平面和11000m的高空均以速度为1150km/h飞行,问这架飞机在海平面和高空的飞行M是否相同?解:飞机的飞行速度:§9.2音速、滞止参数、马赫数将滞止参数与断面参数的比值表示为M的函数.§9.2音速、滞止参数、马赫数根据绝热过程方程及气体状态方程可推出§9.2音速、滞止参数、马赫数已知滞止参数及该断面上的M值,即可求出该断面上的压强、密度和温度。气流按不可压缩处理的极限

M=0时，各参数比值为1，即流体处于静止状态。M>0时，不同速度下都存在不同程度的压缩。M数在怎样的限度内才可以忽略压缩的影响？§9.2音速、滞止参数、马赫数例：计算滞止点压强，要求误差小于1%。求M数的范围。将压强式按二次项展开，取前三项，则有不考虑压缩性：考虑压缩性:§9.2音速、滞止参数、马赫数又因：所以§9.2音速、滞止参数、马赫数相对误差M<0.2时可忽略气体的可压缩性，按不可压缩气体处理对于15℃的空气，c=340m/s,当M≤0.2时，则v≤0.2*340=68m/s当要求相对误差小于4％时，速度为136m/sM=0.4，k=1.4M=0.2,k=1.4§9.2音速、滞止参数、马赫数连续性微分方程§9.3气体一元恒定流动的连续性方程第三节气体一元恒定流动的连续性方程得：与微分形式的伯努利方程联立，消去ρ,整理，得：并代入§9.3气体一元恒定流动的连续性方程

v<c,因此M2-1<0,dv与dA正负号相反，说明速度随断面的增大而减慢，随断面的减小而加快。这与不可压缩流体运动规律是相同的。慢快慢快M<1时为亚音速流动§9.3气体一元恒定流动的连续性方程

v>c,因此M2-1>0,dv与dA正负号相同，说明速度随断面的增大而加快，随断面的减小而减慢。慢快慢快M>1时为超音速流动§9.3气体一元恒定流动的连续性方程为什么超音速亚音速流动存在截然相反的规律呢？从流动过程中膨胀程度与速度变化之间的关系说明。代入上式，且§9.3气体一元恒定流动的连续性方程式中dρ,dv符号相反，表明速度增加，密度减小但M<1时，M2<<1，于是dρ/ρ远小于dv/v，也就是说：亚音速流动中，速度增加得快，而密度减小得慢，气体的膨胀程度不很明显。因此，ρv乘积随v增加而增加。若两断面上速度v1<v2,则必然有A1>A2§9.3气体一元恒定流动的连续性方程

M>1时，M2>>1，于是dρ/ρ远大于dv/v，也就是说：超音速流动中，速度增加得很慢，而密度却减小得很快，气体的膨胀程度非常明显。这就是密度相对变化的特性，在亚音速和超音速中的根本差别。

所以，在超音速流动中速度与断面成同向变化的关系，即速度随断面一起增大。§9.3气体一元恒定流动的连续性方程流向面积(A)流速

(v)压力

(p)密度(ρ)单位面积质量流量

(ρv)亚音速流M<1增大减小增大增大减小减小增大减小减小增大超音速流M>1增大增大减小减小减小减小减小增大增大增大

M=1时，即气流速度与当地音速相等，此时称气体处于临界状态。气体达到临界状态的断面，称为临界参数，用脚标k表示。可压缩流体连续性微分方程：断面不需要变化速度等于音速不可能在最大断面达到§9.3气体一元恒定流动的连续性方程拉伐尔喷管当M=1时，本节讨论等断面管路，等温流体有沿程摩擦损失时气体运动参数的变化。等温流动中，雷诺数是一个常数，摩擦阻力系数也是不变的。等温管路的基本公式：§9.4等温管路中的流动第四节等温管路中的流动等温管流的特征当l增加，摩阻增加，将引起如下结果：当kM2<1,1-kM2>0，使v增加，p减