信号与系统 第六章信号的连续时间复指数描述-拉普拉斯变换

1信号与系统2015~2016学年第一学期2上学期学习内容概述一、信号与系统

点题：信号、系统及其相互关系2、信号的运算：1）连续信号与离散信号；2）偶信号和奇信号；3）周期信号与非周期信号；4）确定信号与随机信号；5）能量信号与功率信号基本运算：加、减、乘、除、微分、积分等；复杂运算：傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换、小波变换等3、基本信号：指数信号、正弦信号、阶跃信号、冲激信号、斜升信号等4、系统特性：时变、线性、因果、稳定、记忆、可逆1、信号的分类：上学期学习内容概述二、LTI系统的时域描述：

1、卷积描述：输出信号是输入信号与冲激响应的卷积和2、常系数线性微分方程描述：和上学期学习内容概述三、LTI系统的频域描述：

1、4种信号的傅里叶描述：5上学期学习内容概述2、信号的频谱分析及系统的频率响应3、4种信号的傅里叶变换及其混合信号的傅里叶分析4、信号抽样及量（数字）化5、抽样定理与信号恢复6、有限持续时间离散信号（想象中）的周期性拓展及其傅里叶分析的实现四、傅里叶分析方法中存在的一些问题：

1、要求信号或系统绝对可积（稳定系统）2、不能反映系统除LTI特性外的其他特性（时变、线性、因果、稳定、记忆、可逆）3、作为系统分析工具不够精细和方便4、不能反映系统初始条件等瞬态特性第六章信号的连续时间复指数描述-拉普拉斯变换拉普拉斯变换能够为连续时间LTI系统及其对信号响应提供比傅立叶变换更宽的特性描述。从很大程度上，拉普拉斯变换是傅立叶变换的扩展，或者说傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换可以分析处理傅立叶变换不能分析的涉及非绝对可积信号。拉普拉斯变换以有两个变量的连续时间复指数函数作为基函数。连续时间复指数函数也是LTI系统的特征函数。§6.1引言§6.1引言拉氏变换的分类单边拉氏变换双边拉氏变换单边拉氏变换是求解具有初始条件微分方程的有力工具。双边拉氏变换为了解系统的稳定性、因果性及频率响应等提供了新的视角。两个时间信号卷积的拉氏变换也是相关拉氏变换的乘积。LTI的输出可以通过输入信号的拉氏变换与系统冲激响应的拉氏变换乘积得到。系统冲激响应的拉氏变换仍称为系统的传递函数。§6.2拉普拉斯变换的引入拉普拉斯变换中的基函数—连续时间复指数函数：6.2.1LTI系统中连续时间复指数函数的本征函数特性若连续时间复指数函数：是冲激响应为h(t)的LTI系统的输入信号，则系统输出为6.2.2LTI系统连续时间复指数函数的本征函数特性利用连续时间复指数函数的表达式定义传递函数则可见连续时间复指数信号est也是LTI系统的本征函数，传递函数H(s)是相应复频率s的本征值。6.2.2LTI系统连续时间复指数函数的本征函数特性以极坐标形式表示传递函数可见以连续时间复指数信号est为LTI系统的输入信号时，其输出信号的幅度变为原来的|H(σ+jω)|倍,并将正弦分量相移φ(σ+jω)。系统的衰减因子和正弦分量的频率均未改变。幅度相位6.2.3拉普拉斯变换的引入将可见传递函数是函数

的傅立叶变换，其逆变换为代入得整理得6.2.3拉普拉斯变换的引入以改变积分变量得对比因此称H(s)是h(t)的拉氏变换，h(t)是H(s)的拉氏逆变换即传递函数是冲激响应的拉氏变换，冲激响应是传递函数的拉氏逆变换一般化后信号x(t)的拉氏变换为X(s)的拉氏逆变换为6.2.4拉普拉斯变换的收敛域由于拉氏变换是函数x(t)e－σt的傅立叶变换，其收敛域可以用函数x(t)e－

σt傅立叶变换存在的条件来确定使拉氏变换存在的σ值范围称为收敛域（ROC，regionofconvergence），用ROC表示。可以看出在x(t)的傅立叶变换不存在的情况，通过调整σ值，拉氏变换仍然可以收敛。因此，求拉氏变换时一定要指出其收敛域。6.2.5复频率与s平面s=σ+jω称为复频率，用以表示s分布的平面称为s平面。s平面的虚轴jω将平面分为σ<0及σ>0两部分，分别称为左半平面和右半平面。s平面上σ=0对应虚轴，虚轴的点对应函数傅立叶变换存在的点。σjω0s平面6.2.6拉普拉斯变换的零点与极点（第1节课，2014年9月15日第一次课讲到此。）在拉氏变换是两个s的多项式之比时，即上式的分子和分母多项式可分别分解因式，即其中分子多项式的根ck称为X(s)的零点，分母多项式的根dk称为X(s)的极点。。。×

×。×。。

。×σjω0零点极点×。例题讲解及作业：（第1节课）

例6.1（P467）——拉普拉斯变换的求法例6.2（P468）——拉普拉斯逆变换的不确定性作业：习题6.1、习题6.2（P469）§6.3单边拉氏变换实际问题中大量涉及因果系统和信号，因果系统和信号中可以通过合理设置开始时刻，使系统和信号在t≥0时才有不为零的值，而在t＜0时为零，这时拉普拉斯变换为单边拉氏变换的逆变换仍为：称为单边拉氏变换。双边拉氏常可通过单边拉氏变换讨论。单边拉氏变换记为L

u，其与逆变换的关系表示为单边拉氏变换不必指出收敛域（但仍然存在收敛域），其逆变换可以唯一确定。§6.4单边拉氏变换的性质A.线性特性若和则证明：B.尺度变换（时—复频域压缩扩展）特性若则证明：注意到单边拉氏变换时，t＞0，且当τ＜0，x(τ)=0，因此不必考虑a＜0的情况。C.时移特性若则证明：对于所有使x(t－τ)u(t)=x(t－τ)u(t－τ)的τ。即必须保证不使t≥0区间的非零信号移入t＜0的区间，也不能使t＜0区间的非零信号移入t≥0的区间。（见P471图6.6）？D.s域平移特性若则证明：收敛域要改变？E.卷积特性证明：若和则仅适用于当t＜0时，x(t)=0和y(t)=0的情况。F.s域微分特性（第2节课）

若则证明：∵∴同理：例题讲解及作业：

（第2节课）例6.3（P472）——s域微分特性的应用例6.4（P472）——s域微分特性的应用作业：习题6.3（P470），习题6.4（473）G.时域微分特性1若则证明：G.时域微分特性2对n阶微分有：简写为：关于S的函数常数关于s的n-1阶多项式H.积分特性1若则其中：证明：因是单边拉氏变换，需要考虑如下信号H.积分特性2而所以I.初值定理如

x(t)、x'(t)，且L

{x(t)}及L{x'

(t)}存在，则称为初值定理。证明：由得注意：初值定理只适用x(t)在原点处没有冲激变化的系统！J.终值定理（第2节课，2014年9月22日第二次课讲到此。）如

x(t)、x'

(t)，且L

{x(t)}及L{x'

(t)}存在，则称为终值定理。证明：由得注意：终值定理适用的条件是sX(s)的所有极点在s平面的左半面(X(s)可有在原点处的单极点)。单边拉氏变换性质总结132单边拉氏变换性质总结2例题讲解及作业：例6.5（P474）——微分特性的例证例6.6（P475）——初值定理和终值定理的例证作业：习题6.6（P475）§6.5单边拉氏逆变换（之一）常系数线性微分方程或差分方程表示的系统具有LTI性质，它们是另外一种描述LTI系统输入—输出关系的常用手段。常系数线性微分方程的一般形式是：ak和bk是与时间无关的常系数，N是方程的阶数。系统和信号的时域表现是应用中的主要方面，在通过拉普拉斯变换分析系统和信号的特征后，其时域表现需要通过拉普拉斯逆变换来实现。通过围线积分求拉氏逆变换是一般的的方法，很多实际应用中往往可以通过已知的拉氏变换对或其他方法来得到逆变换，包括有理分式形式拉氏变换的逆变换。§6.5单边拉氏逆变换（之二）许多情况下是利用基本拉氏变换对和拉氏变换的性质求拉氏逆变换，我们主要介绍用部分分式法求拉氏变换。在研究常系数线性微分方程描述的LTI系统时，拉氏变换往往是两个多项式相比的情况当多项式之比为有理多项式，即M＜N时，直接使用部分分式法；当多项式之比不是有理多项式，即M＞N时，先用长除法把使用部分分式法把非有理多项式化为一个多项式与一个有理多项式的和，再分别用冲激函数拉氏变换和部分分式法求拉氏变换。我们用非有理多项式讨论一般情况下的拉氏逆变换求法。§6.5单边拉氏逆变换（之三）其中前面的求和项是多项式，后面一项是有理多项式当多项式之比不是有理多项式，即M＞N时，先把分式化简为多项式形式拉氏变换的逆变换可以通过冲激函数δ(t)及其导数δ(k)(t)的拉氏变换得到得到上式时，利用了t=0-时，δ(0-)及其导数δ(k)(0-)均为零。考虑到，多项式是由输入信号引起，对于单边拉普拉斯变换，t=0-时，输入信号为零，这种条件是合理的。§6.5单边拉氏逆变换（之四）把后面有理多项式的分母进行因式分解，按无重根和有重根部分分别求每一个根对应的留数。其部分分式展开式为§6.5单边拉氏逆变换（之五）单根部分留数的求法为重根部分留数的求法为求出所有留数，得到所有分式。§6.5单边拉氏逆变换（之六）分别利用拉氏变换对得到每项分式的拉氏逆变换，再利用拉氏变换的线性性质得到分式除法的拉氏逆变换。§6.5单边拉氏逆变换（之七）拉氏变换复极点情况的部分分式拉氏逆变换求法如果拉氏变换分母多项式的系数全部为实数，则其复极点以共轭对形式出现，复共轭极点的部分展开式为如果信号是实信号，A1和A2必为共轭，即A1=A2*，因此§6.5单边拉氏逆变换（之八）利用下面拉氏变换对可以得到拉氏逆变换从以上拉氏逆变换的求解中可以看出，拉氏变换的极点确定了信号x(t)的特性。例题讲解及作业：

（第3节课，2014年9月29日第三次课讲到此。）例6.7（P477）例6.8（P477）例6.9（P479）作业：习题6.5（P474）、习题6.6（P475），习题6.7（P478）、习题6.8（P480）。§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程单边拉氏变换在系统分析中的一个最主要应用，是求解具有非零初始条件的微分方程。两边同求拉氏变换得:x(t)+_+_RCy(t)对上式求拉氏逆变换可以得到输出信号y(t)。§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程一般具有非零初始条件的微分方程为两边同求拉氏变换并利用拉氏变换的微分性质，得：其中§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程推导中利用了单边拉氏变换的微分性质和初始条件§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程整理得到代表输出信号只与输入信号有关，所有与输出信号有关的初始条件均为零的强迫响应的拉氏变换。其中而代表输入信号为零，完全由初始条件决定的自然响应的拉氏变换。§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程系统的强迫响应由输入信号和系统的性质共同决定，在信号长时间作用下，系统的强迫响应趋向于与信号的变化同步。系统的自然响应由C(s)/A(s)的极点，即A(s)的根决定，其中的每一个根都对应一个复指数项ept，通常称这些根为自然频率或系统频率。自然频率是系统自身特性的表现。自然频率实部绝对值的大小决定了系统的幅度响应速度，因为它确定了系统响应幅度的衰减或增加的速度。对稳定系统，自然频率的实部应是负实数，因此稳定系统的自然频率必然落在s平面的左半平面内。48§6.6用拉氏变换求解具有初始条件的微分方程自然频率的虚部确定了系统自身的振动频率，是表现系统变化节奏的量，当虚部增大时，系统的变化频率提高。自然频率又称为共振频率，当信频率号与自然频率相同时，称该信频率号为共振频率，这时系统的响应效率最高，既可以快速地对信号进行衰减（相位相反）或增强（相位相同），在系统不稳定时也容易造成系统的崩溃。例题讲解及作业：

（第5节课）

例6.11（P482）、例6.12（P483）习题6.9（P485）例6.11（P482）例6.12（P483）§6.7电路分析中的拉氏变换方法利用拉氏变换的微分和积分性质，可以直接根据拉氏变换方法求解电路的微分方程。这种方法的步骤是：1、先利用拉氏变换的微分和积分性质，将电路中的线性元件变换为拉氏变换形式；2、再根据拉氏变换的线性性质和基尔霍夫回路和结点定理写出电路拉氏变换形式的方程组；3、从方程组中求出多项式除法形式的拉氏变换关系；4、用部分分式法求输出信号的拉氏变换关系；5、求拉氏变换的逆变换得到电路的时域输出信号。§6.7电路分析中的拉氏变换方法电阻的拉氏变换电阻、电阻两端的电压降及通过电阻的电流的时域关系和拉氏变换：VR(t)+R-IR(t)VR(s)+R-IR(s)§6.7.1电压源表达方式（P486图6.10）§6.7电路分析中的拉氏变换方法电容的拉氏变换电容、电容两端的电压降、电容两端的初始电压降、通过电容的电流的时域关系和拉氏变换：VC(t)+C-IC(t)VC(s)+1/sC-IC(s)+-VC(0-)/s§6.7电路分析中的拉氏变换方法电感的拉氏变换电感、电感两端的电压降、通过电感的电流的时域关系和拉氏变换：VL(t)+L-iL(t)VL(s)+-IL(s)-+LiL(0-)sL§6.7电路分析中的拉氏变换方法§6.7.2电流源表达方式（P486图6.11）VR(s)+R-IR(s)VC(s)+1/sC-IC(s)CVC(0-)VL(s)+-IL(s)iL(0-)/ssL例题讲解及作业：例6.13（P486）习题6.10（P487）§6.8双边拉氏变换的性质双边拉氏变换为其信号x（t）包含t≥0和t＜0都不为零的情况。1、双边拉氏变换的线性性、尺度变换、s域平移、s域微分、卷积5个性质与单边拉氏变换的表达形式是相同的，但在收敛域上可以有不同的地方。2、在时移性质、时域微分性质、时域积分三个性质上,二者在表达形式和收敛域上都是不同的。3、双边拉氏变换不强调（不存在）初值和终值问题。4、双边拉氏变换的收敛域可以小于、等于、也可以大于单边拉氏变换的收敛域。（废话！）§6.8双边拉氏变换的性质双边拉氏变换中的极点相消效应[例题6.14（P488）]双边拉氏变换的时移特性：双边拉氏变换的时域微分特性：双边拉氏变换的时域积分特性：信号线性叠加的拉氏变换的收敛域大于各信号拉氏变换收敛域的交集双边拉氏变换中用到初值和终值定理时，需满足t<0时，x(t)=0§6.8双边拉氏变换的性质（第6节课）

例题讲解：例6.14（P488）例6.15（P489）作业：习题6.11（P490）§6.9拉氏变换收敛域的特点与收敛域确定方法收敛域是拉氏变换研究中的重要问题，在双边拉氏变换中，未确定收敛域时逆变换所对应的时域信号将可能不是唯一的。拉氏变换收敛域的确定需要从信号x(t)及其X(s)表达式的特点来考虑。1、拉氏变换的收敛域首先是信号x(t)满足收敛条件，即2、拉氏变换的收敛域内不能包含极值点。由于σ是s的实部，因此收敛域与s的虚部无关，必定由s平面上平行于jω轴的区域构成。62§6.9拉氏变换收敛域的特点与收敛域确定方法3、大小和时间间隔有限信号拉氏变换的收敛域（ROC）是所有s平面如果信号的时间间隔（t＜a，t＞b）和大小（|x(t)|≤A

）有限的，即x(t)=x(t)[u(t-a)-u(t-b)]

，从下面的积分即可以看出上述结论。§6.9拉氏变换收敛域的特点与收敛域确定方法4、一般情况下，

双边拉氏变换有两个收敛边界，一个取决于t>b时x(t)=0的信号，称左边信号，用σn表示；另一个取决于t<a时x(t)=0的信号，称右边信号，以σp表示。若σp<σn时，则t>b与t<a的变换有公共收敛区,双边拉氏变换存在。因此，双边拉氏变换的收敛区是s平面上σp

<σ<σn的带状区。

若σp

>

σn时，

t>b与t<a信号的拉氏变换没有公共收敛区，双边拉氏变换不存在。一般情况下，信号x(t)双边拉氏变换的收敛条件可以表示为§6.9拉氏变换收敛域的特点与收敛域确定方法欲使双边拉氏变换收敛，可以找到大于零的常数A、σn和σp信号x(t)需满足：使得使得且§6.9拉氏变换收敛域的特点与收敛域确定方法可见，在

t<0的区域，只有σ

<σn时，I-(σ)才收敛；在

t>0的区域，只有σ

>σp时，I+(σ)才收敛；

σp<σn时，双边拉氏变换有公共收敛区,双边拉氏变换存在。因此，双边拉氏变换的收敛区是s平面上σp

<σ<σn的带状区。综上所述，对于指数阶信号x(t)（见P492图6.14）左边信号的收敛域（ROC）为：σ

<σn右边信号的收敛域（ROC）为：σ

>σp双边信号的收敛域（ROC）为：σp

<σ<σn例题讲解及作业：例6.16（P493）作业：习题6.12（P494）§6.10双边拉氏逆变换双边拉氏变换往往也是两个多项式相比的情况，求其逆变换的方法与求单边拉氏逆变换的方法基本相同。与单边拉氏逆变换不同的是，由双边拉氏变换求逆变换时，双边拉氏变换中必须给出其收敛域，由收敛域给定的条件确定拉氏变换有理多项式部分展开式得到的拉氏逆变换具体形式是左边信号还是右边信号。§6.10双边拉氏逆变换两个多项式之比的分式可以化简为一个s的多项式与一个s的有理多项式的和其中前面的求和是多项式，后面一项是有理多项式§6.10双边拉氏逆变换1、多项式形式拉氏变换的收敛域是全s平面，其逆变换可以通过冲激函数δ(t)及其导数δ(k)(t)的拉氏变换得到，即双边拉氏变换的逆变换可以通过以下四种情况分别求出后进行线性叠加求出§6.10双边拉氏逆变换2、有理多项式形式拉氏变换的收敛域是与原信号的分布范围有关，在有理多项式无重极点（分母多项式无重根），且极点均为实数的情况下，则可以通过留数法得到其部分分式当ROC中Re(s)＞dk时，采用右边变换对，即当ROC中Re(s)＜dk时，采用左边变换对，即§6.10双边拉氏逆变换3、当有理多项式有L个重极点（分母多项式有L重根），且极点均为实数（一般如此）的情况下，则对于第n重极点当ROC位于极点右边，即Re(s)＞dk时，采用右边变换对，即当ROC位于极点左边，即Re(s)＜dk时，采用左边变换对，即§6.10双边拉氏逆变换4、当有理多项式有共轭复极点时，可以把复极点看作单极点，求出其部分分式的信号，再利用共轭关系得到其共轭极点的信号当ROC位于极点左边，即Re(s)＜Re(

dk)时，采用左边变换对，即当ROC中Re(s)＞Re(

dk)时，采用右边变换对，即当然也可以采用教材中的方法求具有共轭复极点的双边拉氏逆变换§6.10双边拉氏逆变换另外也可以采用灵活的方法，根据信号的因果性、稳定性、傅立叶变换的存在性等来求双边拉氏逆变换。特别是在实际应用中，几乎所有信号的区间和大小都是有限的，它们的拉氏变换的收敛域是整个s平面。拉普拉斯变换的数值计算方法是处理实际问题的一个最常用方法。例题讲解及作业：

（第4节课，2014年10月6日第四次课讲到此。）

例6.17（P495）例6.18（P496）作业：习题6.13（P496），习题6.14（P496）习题6.15（P497）习题6.16（P498）§6.11传递函数传递函数是冲激响应的拉氏变换。LTI系统的输出信号是冲激响应与输入信号的卷积，即两边进行拉氏变换LTI系统的传递函数是输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即已知的可测量的6.11.1常系数线性微分方程所描述系统的传递函数常系数线性微分方程所描述系统一般表示为利用输入信号x(t)=est是线性非时变系统的特征信号和特征值的定义得所以6.11.1常系数线性微分方程所描述系统的传递函数利用得到对H(s)的分子多项式和分母多项式分别做因式分解，得ck和dk分别是系统的零点和极点，

=bM/aN是增益因子，三者完全确定了传递函数。注意，传递函数的极点就是常系数线性微分方程描述的LTI系统特征方程的根，完全代表了系统的特点。§6.12系统因果性和稳定性与极点和零点的关系传递函数的拉氏逆变换就是LTI系统的冲激响应，冲激响应代表了LTI系统的全部特性。只从描述系统的微分方程不能了解系统的全部特征，需要根据系统的特性，对冲激响应函数做出适当的限制，才能得到真正描述指定系统的惟一冲激响应。通过研究传递函数的极点、零点与系统特性之间的关系，得到正确冲激响应。根据前面对拉氏逆变换的讨论，传递函数的每一个极点s=

dk都将对应着冲激响应的一项指数函数edk

t

，通过指数函数的性质与极点位置的关系，可以确定系统的因果和稳定性质。通过拉氏变换求冲激响应时，每一个极点对应冲激响应h(t)的一个e指数函数项，即6.12.1系统因果性与极点的关系及冲激响应的特点在因果系统中，当t＞0时冲激响应才不为零。用单边拉氏变换可以解决问题，所以×jωS平面σh(t)0t×jωS平面σh(t)0tdk

＜0，对应冲激响应h(t)中的一个指数衰减函数项；dk

＞0，对应冲激响应h(t)中的一个指数增长函数项。6.12.2系统稳定性与极点的关系及冲激响应的特点dk

＜0，只有t＞0才对应稳定系统冲激响应h(t)中的一个指数衰减函数项；

在稳定系统中，冲激响应h(t)是绝对可积的，系统冲激响应h(t)的傅立叶变换必定存在。因此稳定系统可以用双边拉氏变换解决问题，但每一个极点对应冲激响应h(t)的一个指数函数项都必须是衰减的。×jωS平面σh(t)0t×jωS平面σh(t)0tdk

＞0，t＜0才对应稳定系统冲激响应h(t)中的一个指数衰减函数项。6.12.3稳定因果系统与极点的关系及冲激响应的特点在稳定因果系统中，冲激响应h(t)是绝对可积的，且当t＞0时，h(t)≠0。当然这时系统冲激响应h(t)的傅立叶变换必定存在。换句话说，稳定因果系统传递函数的极点必须全部位于左半平面，才能够既保证系统的稳定性，又保证系统的因果性。×jωS平面σh(t)0t×××××6.12.4LTI系统的逆系统与零点的关系及冲激响应的特点h(t)hinv(t)x(t)y(t)x(t)逆系统的信号变换过程示意图逆系统的信号变换过程示的数学描述逆系统冲激响应与原系统冲激响应之间的关系逆系统传递函数与原系统传递函数之间的关系6.12.4LTI系统的逆系统与零点的关系及冲激响应的特点逆系统的传递函数具有有理传递函数H(s)的系统一定存在逆系统；逆系统的零点是原系统传递函数H(s)的极点；逆系统的极点是原系统传递函数H(s)的零点；逆系统的性质由原系统传递函数H(s)的零点决定，决定的方法与原系统方法相同。具有稳定因果逆系统的原系统，其传递函数H(s)的零点必位于s平面的左半平面；具有稳定因果逆系统的稳定因果系统，其传递函数H(s)的极点和零点都位于s平面的左半平面；传递函数H(s)的全部极点和零点都位于s平面的左半平面的系统称为最小相位系统，最小相位系统的幅度响应与相位响应之间具有惟一的关系，其相位响应由幅度响应惟一确定，反之亦然。例题讲解及作业：

例6.19（P499）例6.20（P500）例6.21（P502）例6.22（P504）作业：习题6.17（P499），习题6.18（P500），习题6.19（P503）习题6.20（P504）习题6.21（P504）§6.13通过极点和零点确定LTI系统的频率响应LTI系统拉氏变换的极点和零点可以确定系统的特性。冲激响应的拉氏变换是传递函数，冲激响应的傅立叶变换是频率响应，我们也知道傅立叶变换是拉氏变换中复频率的实部为零的情况。在传递函数表达式中，令s=jω,即得到频率响应86§6.13通过极点和零点确定LTI系统的频率响应与直接用傅立叶变换得到的频率响应（P252）比较可以看出，前者是后者的分子和分母分别分解因式的结果。如果将零点和极点都用g表示，这时频率响应中分子、分母多项式中都由（jω－g

）的因式组成，把这个因式表示的频率特性研究清楚，通过其部分分式的组合，就可以比较方便地了解系统的频率响应。6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解为了解极点和零点对频率响应的影响，我们先考虑单个极点和单个零点频率响应的情况。1、单极点和单零点因式的图解以（jω－g

）表示频率响应中的一个因式，其中表示任意一个极点或零点。当频率为ω时，它在平面上可以表示为（jω－g）的长度jωs平面|jω－g|σ（jω－g）的复角参考方向ωgjωs平面σ6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解2、单极点和单零点因式在不同频率情况的图解jωS平面Im{g}ω4ω3ω2ω1Re{g}g6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解3、单极点和单零点对幅度响应的影响Im{g}ω|Re{g}||jω－g|0Im{g}ω0单极点对幅度响应的影响单零点对幅度响应的影响6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解4、相位响应因为所以系统的相位响应是所有极点和零点相位响应的叠加。而6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解5、单极点和单零点位于s平面左边时相位响应的特点Im{g}ωarg{jω－g}0-π/2π/2jωs平面σg参考方向6.13.1单个极点和单个零点频率响应的图解6、单极点和单零点位于s平面右边时相位响应的特点Im{g}ωarg{jω－g}0

-π

π-π/2π/2jωS平面σg参考方向6.13.1例6.23（P506）和例6.24（P509）确定下面传递函数的幅度响应和相位响应6.13.1例6.23（P506）和例6.24（P509）零点的幅度响应零点的相位响应6.13.1例6.23和例6.24极点1的幅度响应极点1的相位响应6.13.1例6.23和例6.24极点