第一节预备知识

在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了。

恩格斯1微积分2高等学校经济管理学科数学基础课程教材《微积分》范培华章学诚刘西垣编著中国商业出版社3前言

现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识，掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能。

本课程主要介绍三块内容：微积分学、级数理论和常微分方程，其中微积分学分为一元微积分学和多元微积分学，上册主要介绍一元微积分学，其余在下册介绍。

通过高等数学的学习，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。因此，高等数学的学习不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。高等数学教学既是科学的基础教育，又是文化基础教育，是素质教育的一个重要的方面。

4同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。

微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹5

牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。

牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。

牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。6莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。

1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。7一、微积分的实际背景

1.瞬时速度

2.曲线的切线斜率

3.曲边图形的面积

二、微积分学的思想方法

运动、变化、发展乃至质变，是微积分的根本思想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来刻画变量的变化。

8三、微积分学的基本结构

比如做家具：

原料：函数工具：极限产品一：导数产品二：积分方式一方式二9第一章

函数及其图形10由于实践和各门科学自身发展的需要，到了16世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个新的时代，即变量数学的时代.作为在运动中变化的量(变量)及它们之间的依赖关系的反映，数学中产生了变量和函数的概念.例如，伽利略发现自由落体下落的距离s与经历的时间t的平方成正比，得到著名的公式

确定了变量t与s之间的依赖关系，即函数关系，这就是自由落体运动规律的数学表述.11数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之间的函数关系.函数是数学中最基本的概念之一，微积分研究函数的一些局部的和整体的性态.本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方式，最基本的函数类——初等函数，函数的性质，以及经济学中几种常用的函数.12第一节预备知识一、集合及其运算集合是数学中的一个基本概念.具有某种指定性质的事物的总体称为一个集合。组成这个集合的事物称为这个集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，则记作aA，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作

，或，读作a不属于A。13

由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个元素构成的集合称为无限集。不含任何元素的集合称为空集，记为Ø。集合的表示法通常有两种：1、列举法：把集合中的元素一一列举出来.2、描述法：即用刻画集合中全体元素的性质来说明.例如：例如：14常见数集的记号：

自然数集整数集有理数集正整数集实数集数轴本书中如无特别说明，均限于实数范围内。151、包含如果集合A的元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记作。例如：2、相等如果集合A和B互相包含，即且,则称A和B的相等，记作。BA集合之间的关系：161、并集合之间的运算：BA例如，则基本性质：172、交BA例如，则基本性质：183、差BAAB例如，表示全体无理数组成的集合。基本性质：19二、绝对值及其基本性质设x为一实数，则其绝对值定义为几何意义：|x|表示数轴上点x到原点的距离。|x-

y