无穷小与无穷大

无穷小与无穷大极限的运算法则InfinitesimalandInfinityRulesofComputingLimits2023/2/6无穷小（大）的概念和性质极限的运算法则；用极限的运算法则和无穷小的性质求一些函数的极限。知识目标:2023/2/6实例1在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？InfinitesimalandInfinity2023/2/6实例2InfinitesimalandInfinity将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？2023/2/6一、无穷小概念1.无穷小的定义例如果当（或）时，函数f(x)的极限是零，那么称函数f(x)当（或）时为无穷小。InfinitesimalandInfinity2023/2/6例1

判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当时为无穷小是当时不是无穷小InfinitesimalandInfinity2023/2/6注意①无穷小量是以0为极限的变量；讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋势；

②无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量；

任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。2023/2/62.无穷小性质（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。InfinitesimalandInfinity注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。

例如：2023/2/6例3求极限解由性质（2）2023/2/6例4求极限解由性质（2）InfinitesimalandInfinity2023/2/6练习：利用无穷小的性质,求下列函数的极限

=0=0=0=0=0[A]

[B]=02023/2/6当时，都是无穷小，他们的积趋向于零的速度。

仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？并通过列表观察例5：InfinitesimalandInfinity极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.2023/2/63、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0(１)如果，那么称是的高阶无穷小(２)如果，那么称是的低阶无穷小(３)如果，那么称是的同阶无穷小特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无穷小,记作：InfinitesimalandInfinity2023/2/6例如，2023/2/6等价无穷小替代1、若极限,称α(x）与β(x)等价.2、常见的几个等价无穷小(很重要)2023/2/6定理(等价无穷量替换定理)意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。无穷小等价代换定理常用于计算型的极限2023/2/6例求解例求解2023/2/62023/2/6例解解：求例：2023/2/6例解解错注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换,然后再对提出的无穷小因子进行代换，否则不能直接代换.2023/2/6连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小替代例：解：2023/2/62023/2/6训练：2023/2/6二、无穷大的概念记作如称是当称是当称是当如果当（或）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当（或）时为无穷大。定义:

简言之，极限为无穷的量叫做无穷大量.2023/2/6注意！InfinitesimalandInfinity(3)2023/2/6(1)有限个无穷大量之积是无穷大量;(2)有界变量与无穷大量之和是无穷大量.定理：有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？考察

无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.2023/2/6三、无穷小与无穷大的关系例InfinitesimalandInfinity无穷小与无穷大互为“倒数”.2023/2/6渐近线曲线上的动点P沿曲线无限远离坐标原点时，它到某定直线的距离趋于0，则此直线称为该曲线的渐近线。其分类为：1.垂直渐近线2023/2/6例如有铅直渐近线两条:2023/2/62.水平渐近线例如有水平渐近线两条:2023/2/63.斜渐近线斜渐近线求法:2023/2/6例解2023/2/6例1求下列函数曲线的渐近线：解(1)直线x=1是曲线的垂直渐近线.直线y=0是曲线的水平渐近线.直线y=0是曲线的水平渐