图像处理第4章 频域图像增强

为了有效和快速地对图象进行处理，常常需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工最后，再转换回图象空间以得到所需的效果。第四章频域图像增强变换增强反变换原始图增强图常用的变换空间是频域空间，采用傅里叶变换。章节安排1频域技术的原理和增强步骤2傅里叶变换及其性质，应用3低通滤波和高通滤波4带通和带阻滤波器5同态滤波器4.1频域技术原理滤波器的作用就是要确定其可以滤除的频率和可以保留的频率。有些在图像空间比较难以表达的图像增强任务可以简单地在频域中表述，所以在频域设计滤波器更直接。

设函数f(x,y)与线性位不变算子h(x,y)的卷积结果是g(x,y)，即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)，那么根据卷积定理在频域有：

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

其中G(u,v)，H(u,v)，F(u,v)分别是对应g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里叶变换。用线性系统理论的话来说，H(u,v)是转移函数（4.1.2）

如果将图像从图像空间转换到频域空间所需的变换用T表示(反变换用T-1表示)，将在频域空间对图像进行增强加工的操作仍用EH表示,则要将f(x,y)增强成g(x,y)可表示为：

1频域增强步骤步骤：

(1)

转换到频域

(2)

在频域增强 (3)

转换回空域由式（4.1.2）算出G(.)后得到g(.)G(u,v)=H(u,v)F(u,v)转移函数H的设计思路是允许一定频率通过，限制或消除另外频率，

根据以上讨论，在频域中进行增强的操作相当直观，

其3个步骤为：（1）计算需增强图像的傅里叶变换（即F）；（2）将其与一个（根据需要设计的）转移函数（即H）相乘;（3）再将结果进行傅里叶反变换以得到增强的图像.2频域和空域技术的关系两者联系：

1.频域中的滤波器的转换函数和空域中的脉冲响应函数或点扩散函数构成傅里叶变换对，所以空域滤波与频域滤波有对应的关系；2.实际上可先在频域对滤波器进行设计，然后对其进行反变换，得到空域中对应的滤波器，再借此结果指导对空域滤波器模板设计。两者区别：1.空域技术只是基于图像中该部分像素的性质，而频域技术每次都利用图像中所有像素的数据。2.空域滤波在具体实现上和硬件设计时都有一些优点。在空域常可以使用较小的滤波器来取得与频域使用较大的滤波器相似的滤波效果，计算量也可能较小。4.2傅里叶变换1、变换定义：{将图像从图像空间变换到频率空间，利用傅里叶频谱特性进行图像处理}正傅里叶变换：反傅里叶变换：(令u=v=0)比较2-D离散函数平均值：即一个2-D离散函数的傅里叶变换在原点的值（零频率分量）与该函数的均值成正比4.2.12-D傅里叶变换频谱、角相位、功率谱的定义如下：

其中，R（u,v）和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。2、2-D变换核

正变换：f(x,y)→F(u,v)反变换：F(u,v)→f(x,y)正向变换核反向变换核变换核只依赖于x,y,u,v而与f和F无关

正向变换核和反向变换核都具有可分离性，（ux和vy可分开）即有：

由上式可以看出，分离后的两部分函数形式一样，即傅里叶变换的正反向变换核都是对称的。具有可分离且对称变换核的2-D傅里叶变换可分解为两个1-D变换。(4.2.11)（4.2.12）2-D变换核2-D变换核正向变换的具体分解实现：将式(4.2.11)带入(4.2.1),首先沿f(x,y)每一列进行1-D变换得到然后沿F(x,v)的每一行进行1-D变换得到(2.4.13)(2.4.14)4.2.2傅里叶变换定理

1、平移定理

表明将f（x,y）在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移。（4.2.16）（4.2.17）表明将f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数相乘，2、旋转定理借助极坐标变换将f(x,y)和F(u,v）转换为f(r,θ)和直接将其带入傅里叶变换对得到：上式表明，对f(x,y)旋转θ对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转了同样的角度.

例4.2.3傅里叶变换旋转性质(a)2-D图像(b)(a)图傅里叶频谱幅度的灰度图(c)(a)图旋转45。(d)(c)图傅里叶频谱幅度的灰度图3、尺度定理（相似定理）

上两式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的对应尺度变化；而对f(x,y)在空间尺度方面的放缩对F(u,v)在频域尺度方面的相反放缩。(4.2.19)(4.2.20)(a)2-D图像(b)对应傅里叶频谱幅度对图像中为正值常数的正方形的收缩导致了其傅里叶频谱网格在频域空间的增大，同时傅里叶频谱的幅度也减小了4、剪切定理

水平剪切：垂直剪切：（如图c,d）（如图e,f）描述傅里叶变换在剪切变化时的实质(a)原2-D图像(b)原图所对应的傅里叶频谱幅度图(c)水平剪切后的图像(d)c图像对应的傅里叶频谱幅度图(e)垂直剪切后的图像(f)e图像对应的傅里叶频谱幅度图

组合剪切（水平和垂直剪切都有）矩阵表达：水平剪切：垂直剪切：4、剪切定理变换矩阵OR用矢量x'表示（x',y'）,用矢量x表示（x,y）先水平剪切后垂直剪切可表示为：先垂直剪切后水平剪切可表示为：将简单的剪切操作依次使用会产生不同的结果，因为矩阵相乘的次序是不能交换的。组合剪切的结果具有与简单剪切相同的倾斜角s和t。5卷积定理：

两个函数在空间的卷积和它们的傅里叶变换在频域的乘积构成一对变换，而两个函数在空间的乘积与它们的傅里叶变换在频域的卷积构成一对变换。6相关定理：

两个函数在空间的相关与它们的傅里叶变换（其中一个为其复共轭）在频域的乘积构成一对变换，而两个函数（其中一个为其复共轭）在空间的乘积与它们的傅里叶变换在频域的相关构成一对变换。如果f(x,y)和g(x,y)是同一个函数，称为自相关；如果f(x,y)和g(x,y)不是同一个函数，则称为互相关。4.3低通和高通滤波器4.3.1低通滤波器

低通滤波是要保留图象中的低频分量而除去高频分量。图象中的边缘和噪声都对应图象傅里叶变换中的高频部分，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分量。

根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的转移函数H(u,v)以得到消弱F(u,v)高频分量的G(u,v)。1、理想低通滤波器

理想是指小于（截断/截止频率）D0的频率可以完全不受影响地通过滤波器，而大于D0的频率则完全通不过。如下图：

图(a):H(u,v)的一个剖面图图(b):H(u,v)的一个透视图1、理想低通滤波器理想H(u,v)：转移/滤波函数

D0：截断频率（非负整数）

D

(u,v)是从点(u,v)到频率平面原点的距离

D(u,v)=(u2+v2)1/2D0截断频率，是一个非负整数(4.3.1)2、低通滤波器的模糊理想低通滤波器产生振铃现象对理想低通滤波器h(x)，一般形式可由式(4.3.1)的傅里叶反变换得到，其曲线如图(a)，设f(x)只有亮像素，看做近似脉冲。f(x)和h(x)的卷积实际上是把h(x)复制到f(x)中亮点的位置，比较图(b)和(c)可明显看出，卷积使原来清晰的点模糊了。h(x)在2-D图象上表现为一系列同心圆环,圆环半径反比于截断频率.3、巴特沃斯低通滤波器

巴特沃夫低通滤波器剖面示意图低通巴特沃斯滤波器在高低频率间的过度比较平滑，所以输出图的振铃现象不明显。阶为1时没有振铃现象，阶数增加，振铃现象增加物理上可实现（理想低通滤波器在数学上定义得很清楚，在计算机模拟中也可实现，但在截断频率处直上直下的理想低通滤波器是不能用实际的电子器件实现的）一个阶为n、截断频率为D0的巴特沃斯低通滤波器的转换函数为：3、巴特沃斯低通滤波器截断频率：常取使H最大值降到某个百分比的频率。

当D(u,v)=D0时，H(u,v）=0.5(即降到50%)图象由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行平滑以改进图象质量 效果比较（相同截断频率）：图6.2.6

3、巴特沃斯低通滤波器阶数为1的巴特沃斯低通滤波器平滑处理的结果，没有振铃现象4、其他低通滤波器一、梯形转移函数满足条件：

1D(u,v)≤D'D'﹤D(u,v)﹤D00

D(u,v)≥D0D0为非负整数，定为截止频率；D'是对应分段线性函数的分段点。相比理想低通滤波器，该滤波器的转移函数在高低频间有个过渡，可减弱振铃现象；由于过度不够光滑，比巴特沃斯产生的强一些H(u,v)=二、指数低通滤波器转换函数满足条件：n为2时为高斯低通滤波器图4.3.8阶为1的指数低通滤波器转移函数剖面示意图在高低频间有个比较光滑的过度，振铃现象较弱，相比于巴特沃斯低通滤波器，其转移函数随频率增加在开始阶段衰减较快，对高频分量滤除能力较强，图像更模糊，振铃现象也更不明显。尾部拖得较长，使得对噪声的衰减能力大于巴特沃斯低通滤波器，平滑效果一般不及巴特沃斯低通滤波器。4.3.2高通滤波器

1、理想高通滤波器

转移函数满足条件：(4.3.6)

{高频滤波器是要保留图像中的高频分量而除去低频分量。高频分量对应图像边缘，因此高通滤波器可锐化图像。}理想高通滤波器转移函数剖面示意图和透视图形状上与低通滤波器的剖面图正好相反，与理想低通滤波器一样不能用实际的电子器件实现2、巴特沃斯高通滤波器

一个阶为n，截断频率为D0的巴特沃斯高通滤波器的转移函数为：形状正好与巴特沃斯低通滤波器相反在通过和滤掉的频率之间也没有不连续的分界，得到的输出图像振铃现象不明显巴特沃斯高通滤波器转移函数剖面示意图(n=1)(4.3.7)截断频率同巴特沃斯低通滤波器相似，截断频率为使H(u,v)最大值讲到某个百分比的频率，常取（50%）3.高频增强滤波器

对频域中的高通滤波器的转移函数加上一个常数以将一些低频分量加回去，获得既保持光滑区域灰度又改善边缘区域对比度的效果。

高频增强转移函数：He(u,v)=H(u,v)+c

傅里叶变换：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

高频增强输出图傅里叶变换：

反变换回去：

对原始转移函数加一个常数c实际中，给高频增强滤波所用转移函数乘以一个常数k,此时有：在高通的基础上保留了一定量的低频分量c×F(u,v),增强图像中也包含一部分原始图像(4.3.11)(4.3.12)4.高频提升滤波器

把原始图乘以一个放大系数A再减去低通图就可构成高频提升滤波器当A=1时，就是高频滤波器；当A﹥1时，原始图的一部分与高通图相加，恢复了部分高通滤波时丢失的低频分量。最终结果与原图更接近。（4.3.13）对比式(4.3.12)和(4.3.13)得，高频滤波器在k=1和c=(A-1)时转化为高频提升滤波器。5.其他高通滤波器一、梯形高通滤波器转移函数满足下列条件：

0

D(u,v)≦D0

D0﹤D(u,v)﹤D'1D(u,v)≥D'H(u,v)=梯形高通滤波器转移函数剖面图D0:截止频率,非负D'线性函数分段点相对理想高通滤波器，该滤波器转移函数在高低频率间有个过渡，可减弱一些振铃效应，由于过度不够光滑，效果不如巴特沃斯。二、指数高通滤波器转移函数满足下列条件：指数高通滤波器转移函数的剖面示意图n为2时为高斯高通滤波器与指数低通滤波器转移函数互补，在高低频率间有较光滑的过度，振铃效应较弱。相比巴特沃斯高通滤波器转移函数，其转移函数随频率增加在开始阶段增加的比较快，能使一些低频分量通过，有利于保护图像灰度层次4.4带通和带阻滤波器1.带阻滤波器

带阻滤波器阻止一定频率范围内的信号通过而允许其他频率范围内的信号通过。理想带阻滤波器的转移函数：放射对称的带阻滤波器透视图理想带阻滤波器剖面图2.带通滤波器

带通滤波器允许一定频率范围内的信号通过而阻止其他频率范围内的信号通过。带通滤波器和带阻滤波器是互补的，所以:放射对称的带通滤波器透视图将HR翻转3.陷波滤波器

陷波滤波器可通过或阻断在频域上某点周围预先确定的领域中的频率。

理想阻断陷波滤波器的转移函数为：理想带阻和带通陷波滤波器透视图用于消除以(u0,v0)为中心、D0为半径的区域内所有频率由于傅立叶变换是对称的,因此陷波滤波器必须以关于原点对称的形式出现.4.5同态滤波器

{同态滤波基于一个简单的亮度成象模型}4.5.1亮度成像模型

E(λ)=S(λ)R(λ)

谱能量分布光源分布物体反射特性

2-D亮度函数：f(x,y)（图像在(x,y)位置处的亮度）亮度是能量的亮度，所以一定不为0,且为有限值，即有：0﹤f(x,y)﹤∞f(x,y)的两个决定因素：(1)入射到可见场景上的光量；（照度成分i(x,y)）(2)场景中目标对入射光反射的比率。(反射成分r(x,y))

所以有：f(x,y)=i(x,y)r(x,y)

（4.5.3）其中：（1）i(x,y)的值是由光源决定的