第4章抽样与参数估计

STATISTICS统计学统计学原理统计学原理统计学原理第4章抽样与参数估计4.1抽样与抽样分布4.2参数估计的基本方法4.3总体均值的区间估计4.4总体比例的的区间估计4.5样本容量的确定学习目标掌握常用的概率抽样方法理解抽样分布的含义理解估计量与估计值的概念理解点估计与区间估计的区别掌握总体均值的区间估计方法掌握总体比例的区间估计方法掌握样本容量的确定方法统计应用

一次失败的民意调查在1936年的美国总统选举前，一份名为LiteraryDigest

杂志进行了一次民意调查。调查的焦点是谁将成为下一届总统—是挑战者，堪萨斯州州长AlfLandon，还是现任总统FranklinDelanoRoosevelt为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单比较容易得到)。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中，AlfLandon非常受欢迎。于是该杂志预测Landon将赢得选举。但事实上是FranklinRoosevelt赢得了这次选举调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计为什么要进行抽样？如何进行抽样？（抽样的方法）用样本推断总体的科学性是什么？4.1抽样与抽样分布4.1.1抽样方法概述4.1.2概率抽样方法4.1.3抽样分布4.1抽样与抽样分布4.1.1抽样方法概述概率抽样非概率抽样概率抽样

(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率概率抽样

(probabilitysampling)常用的概率抽样方法：简单随机抽样分层抽样系统抽样整群抽样非概率抽样

(nonprobabilitysampling)1.非概率抽样是指抽样时不遵循随机原则，而是从方便、快捷出发或根据调查者主观判断有目的地选取样本。2.特点操作简便、时效快、成本低。但是，理论上不具备由样本对总体进行推断的依据。非概率抽样

(nonprobabilitysampling)非概率抽样方法：便捷抽样判断抽样配额抽样滚雪球抽样4.1.2概率抽样方法简单随机抽样分层抽样系统抽样整群抽样简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个元素中随机地抽取n个元素作为样本，总体中每个元素进入样本的概率是相等的。是最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础。简单随机抽样的具体方法有掷硬币法、掷骰子法、抽签法、随机数表法、计算机抽取法等。简单随机抽样

(simplerandomsampling)优点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本由于抽取概率相同，计算抽样误差及对总体参数进行推断时比较容易。局限性当N很大时，不易构造抽样框；或者有的情况下就构造不出来抽样框。抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率（样本的代表性问题）分层抽样

(stratifiedsampling)也称分类抽样。将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层（类），然后从不同的层中独立、随机地抽取一定数量的元素组成一个样本。分层抽样的具体方式一般有等比例抽样与非等比例抽样两种。分层抽样

(stratifiedsampling)

分层抽样实质上是把科学分组方法和抽样原理结合起来。采用分层抽样，可以把差异程度较大的总体各单位划分为性质、属性相近的若干类(层)，使类(层)内的各单位差异程度小于类(层)之间的差异程度，即类(层)内方差小于类(层)间方差。在不同类(层)型中分别抽样，就能使样本单位分布更接近总体分布，从而能提高代表性，减少抽样误差。分层抽样

(stratifiedsampling)优点第一,分层抽样除了可以对总体进行估计外,还可以对各层的子总体进行估计;第二,分层抽样可以按自然区域或行政区域进行分层,使抽样的组织和实施都比较方便;第三,分层抽样的样本分布在各个层内,从而使样本在总体中的分布比较均匀;第四,分层抽样可以提高估计的精度。分层抽样

(stratifiedsampling)局限性及注意事项按一定标志进行分类(层)时，需要详细具体的资料，这有一定的难度；类(层)的界限必须清楚，不能发生混淆；分类(层)不宜过多过细，否则将失去分类(层)的特征，不便于在每类(层)中抽样。系统抽样

(systematicsampling)也称等距抽样或机械抽样先将总体各元素按某种顺序排列,并按某种规则确定一个随机起点,然后,每隔一定的间隔抽取一个元素,直至抽取九个元素形成一个样本。系统抽样

(systematicsampling)系统抽样

(systematicsampling)优点：第一,简便易行.当抽样样本量很大时,有了总体元素的排序,只要确定出抽样的起点和间隔后,样本元素也就随之确定,而且可以利用现有的排列。第二,系统抽样的样本在总体中的分布一般也比较均匀,由此抽样误差通常要小于简单随机抽样.如果掌握了总体的有关信息,将总体各元素按有掣标志排列,就可以提高估计的精度。系统抽样

(systematicsampling)局限性：运用等距抽样的前提是要有总体每个单位的有关材料，特别是按有关标志排队时，往往需要有较为详细、具体的相关资料当抽样间隔和被调查对象本身的节奏性(或循环周期)重合时，就会影响调查的精度。等距抽样的抽样误差计算较为复杂。

整群抽样

(clustersampling)是先将总体按一定标准划分成群，然后以群为单位按随机原则从总体中抽取若干群，最后由被抽中各群中的每一个单位组成样本。例如，在对居民收入情况进行调查时，若以居民小组为群，抽样时可先抽取居民小组，再调查每个被抽到的居民小组中的每一居民户。整群抽样

(clustersampling)优点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施局限性整群抽样中样本只能集中在若干群中，不能均匀地分布在总体的各个部分，用以推断总体的准确性较差。但当群体内各单位间的差异性大，而群与群之间差异性小时，采用此法可以提高样本的代表性。本节小结对以上几种概率抽样方法的应用和选择，应主要考虑这样几个因素：一是对抽样误差大小的要求；二是调查对象本身的特点；三是人力、物力、经费和时间等各种调查条件的限制。4.1.2抽样分布统计量是用来描述样本特征的概括性度量,比如样本均值、比例p、方差σ2等。统计量是样本的函数.统计量是一个随机变量。(由于不同的样本计算出来的统计量的值是不同的)抽样分布就是在总体给定，样本容量给定的情况下，一个样本统计量所有可能取值形成的相对频数分布。抽样分布

(samplingdistribution)是一种理论分布。(实际中不可能将所有样本都抽出来)提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据。种类：样本均值的抽样分布,样本比例的抽样分布，样本方差的抽样分布等。 抽样分布

(samplingdistribution)容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布（相对频数分布）。进行推断总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】假设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本(共16个)样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值(x)样本均值的抽样分布

(例题分析)

的个数取值的概率(相对频数分布)1.011/161.522/162.033/162.544/163.033/163.522/164.011/16样本均值的分布X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5分布形状均值(数学期望)方差样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2=1.25样本均值分布总体分布14230.1.2.3X1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X中心极限定理

(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

样本比例的抽样分布

(比例—proportion)在重复选取样本量为n的样本时,由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布。当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似。若np≥5和n(1-p)≥5，就可认为样本量足够大。样本比例的抽样分布样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)统计量的标准误样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，有时也称为标准误差。标准误衡量的是统计量的离散程度,它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度。当计算标准误时涉及的总体参数未知时,用样本统计量代替计算的标准误,称为估计的标准误,也称估计标准误差。统计量的标准误4.2.1估计量与估计值

4.2.2点估计与区间估计4.2参数估计的基本原理4.2.1估计量与估计值参数估计(parameterestimation)就是用样本统计量去估计总体的参数估计量：用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值，样本比例，样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)4.2.2点估计与区间估计点估计

(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x区间估计的图示Z01.96-1.96Þm+=sXZX95%2.5%2.5%区间估计的图示(未知)x1.96x95%1.96xx2±x1±x3±1.96x1.96x1.96x估计误差估计误差区间估计

(intervalestimate)从同一总体按同一样本容量可以抽取很多种样本组合。由不同的样本组合得到不同的样本均值，每个样本均值都可加减1.96x构成一个区间。但这些区间并不是都能把总体均值包含在内。只有在抽样分布图中处在阴影区域的任意一个样本均值才能够构造一个包含总体均值在内的区间。由于所有可能的样本均值有95%处在阴影区域内，故样本均值加减1.96x所形成的所有区间中也有95%的区间会包括总体均值在内。一般地，如果将构造置信区间的步骤重复很多次，所有可能构建的区间中能够包含真实总体参数的区间个数占所有可能区间的比例称为置信水平。也称为置信度或置信系数。（前面的95%就是一个置信水平）一般来说，置信度可以用（1-α）×100%表示，其中α是区间估计的显著性水平，是所有可能构建的区间中不包含真实总体参数的区间个数占所有可能区间的比例。α的取值大小由实际问题确定。经常取为0.01，0.05，0.10，相应的常用置信水平为99%,95%,90%。置信水平

(confidencelevel)

由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述置信区间的表述

(confidenceinterval)总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。这个区间是特定的，我们只能希望它是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间的表述

(confidenceinterval)置信区间的表述

(95%的置信区间)从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间我没有抓住参数！点估计值图有问题，区间宽度不一致一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的置信区间的表述

(confidenceinterval)4.3.1正态总体、方差已知或非正态总体、大样本

4.2.2正态总体、方差未知、小样本4.3总体均值的区间估计4.3.1正态总体、方差已知

或非正态总体、大样本总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)样本均值的抽样分布服从正态分布，进行标准化使用正态分布统计量z总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)

给定置信度1-，可由标准正态分布表查得临界值Z/2（怎么查？）

，即，因为，把其带入上式，并作变换，因此，在置信度1-下，总体均值μ的置信区间就是，总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4.2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4.3】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间

36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(例题分析)【例】ABB公司是一家专营体育设备的公司，为了监控公司的服务质量，ABB公司每月都要随机的抽取一个顾客样本进行调查以了解顾客的满意度分数（从0到100）。根据以往的调查，满意分数的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示，满意分数的样本均值为82分，试建立总体平均满意分数的区间。总体均值的区间估计

(例题分析)解:已知置信度为95%，得α=1-95%=0.05。查标准正态分布表，上侧面积α/2=0.025对应的Z值Z0.025=1.96。1-a=95%a/2=0.025a/2=0.0250+1.96-1.96总体均值的区间估计

(例题分析)题中，已知样本均值x=82，总体标准差亦假定已知，σ=20，样本容量n=100，于是使用前面的公式，得到:即，（78.08，85.92），总体平均满意分数95%的置信区间为78.08分～85.92分。常用的置信水平与临界值的对应除了95%的置信水平经常使用外，也可以根据需要使用90%，99%等置信水平。我们可以把最经常使用的一些置信水平所对应的事先求出来，然后直接使用。（不用再查正态分布表，直接记住即可）常用的置信水平与临界值的对应置信水平αα/2Zα/290%95%99%0.100.050.010.050.0250.0051.6451.962.58样本容量一定，置信水平与置信区间的关系

（区间估计的可靠度与精度的关系）样本容量一定置信水平一定，样本容量与置信区间的关系n=100样本容量一定n=200200当置信水平一定时，置信区间的宽度随样本量的增大而减小。置信水平为95%4.3.2正态总体、方差未知、小样本总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本(n<30)样本均值经过标准化后的分布为t分布使用t

分布统计量t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)【例5.3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h总体均值的区间估计

(小结)总体均值的区间估计

(小结)样本容量总体分布σ已知σ未知大样本正态非正态小样本正态非正态增大样本容量至大样本

4.4总体比例的区间估计总体比例的区间估计我们在实际工作中时常会碰到对总体比例的估计问题。例如：企业领导想知道本企业生产的产品中合格品率是多少？商店经理想了解对他们服务满意的顾客在全部顾客中所占的比率等等。想了解某人群中男女的比例是多少？想了解某产品的普及率是多少？民意调查中支持某候选人的比例是多少？总体比例的区间估计

(一个总体比例)1. 假定条件np(成功次数)和n(1-p