电磁学 第一章 矢量分析与场论

矢量分析与场论——电磁场理论的理论基础与重要数学工具格林定理与亥姆霍兹定理标量场的梯度矢量场的环流、旋度矢量与场量的基本概念、坐标系变换矢量场的通量、散度1.1矢量分析与场论基础一、矢量与矢量场

标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）

矢量的表示方式注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上符号即为印刷体。矢量可表示为：其中为其模值，表征矢量的大小；

为其单位矢量，表征矢量的方向；

矢量的运算则：说明：矢量间不存在除法运算。4（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法

在直角坐标系中两矢量的加法和减法：矢量的加减符合交换律和结合律结合律交换律5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角6（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则7（5）矢量的混合运算——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积

标量场与矢量场

按物理量的性质标量场物理量为标量（温度场,电位场）矢量场物理量为矢量（电场、磁场）场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。

按物理量变化特性静态场物理量不随时间的变化而变化

时变场（动态场）物理量随时间的变化而变化场的分类：二、常用正交坐标系

直角坐标系单位矢量：矢量表示：位置矢量：基本变量：

圆柱坐标系单位矢量：矢量表示：位置矢量：基本变量：

球面坐标系单位矢量：矢量表示：位置矢量：基本变量：

坐标变换

圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系

球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系1.2矢量场的通量散度一、矢量线（力线）矢量场的通量

矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向

若S为闭合曲面

若矢量场分布于空间中，在空间中取任意曲面S，定义：为矢量沿有向曲面S的通量。物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

二、矢量场的散度

面元矢量定义：面积很小的有向曲面：面元面积，其值可认为无限小；：面元法线方向，垂直于面元平面。

通过闭合面S的通量的物理意义

若，闭合面内有产生矢量线的正源

若，闭合面内有吸收矢量线的负源

若，闭合面内不一定无源三、矢量场的散度

散度的定义

在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：讨论：

散度的物理意义

矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性

矢量场的散度是一个标量,其大小表征散发（吸收）通量的强度

矢量场的散度是空间坐标的函数

矢量场的散度值表征空间中通量源的密度

若，则该矢量场称为有源场，为源密度

若处处成立，则该矢量场称为无源场

讨论：在矢量场中，(正源)

负源)(无源）式中：哈密顿算符

散度的计算

直角坐标系下：

圆柱坐标系下：

球面坐标系下：四、散度定理（矢量场的高斯定理）

该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。散度定理的证明散度定理的证明从散度定义有：则在一定体积V内的总的通量为：得证！散度的有关公式：例：已知是一个无源场，求a,b,c的值解：由于该矢量场是无源场，那么其散度为0若使得有a=2,b=-1,c=-21.3矢量场的环流旋度一、矢量的环量

环流的计算在场矢量空间中，取一有向闭合路径l，则称沿l积分的结果称为矢量沿l的环量。即：

环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。

在直角坐标系中：讨论：二、矢量的旋度

环流面密度

矢量场的旋度

旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量场旋度的方向；M

表示矢量场在点M处沿方向的漩涡源密度；其值与方向有关。在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环量面密度

旋度的物理意义

旋度的计算

矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；

矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；

在直角坐标系下：旋度之所以得名，是因为在速度场

中个点处的旋度，跟场在该点处的旋转角速度正好差一个常数因子2：三、斯托克斯定理由旋度的定义

对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：＝得证！

意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。24旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零26例：已知矢量：求在处的旋度求27散度和旋度的区别

计算旋度与散度的Jacobi矩阵设矢量场定义如下形式的矩阵：散度旋度的三个分量1.4标量场的梯度一.等值面（线）

由所有场值相等的点所构成的面(线)，即为等值面(线)。即若标量函数为，则等值面方程为：二.标量场的梯度

梯度的定义式中：为垂直于等值面（线）的方向。

梯度的性质

标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数

标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大变化率梯度描述了空间某点处标量场随位置变化的规律。

梯度的运算在球面坐标系中

柱面坐标系中

直角坐标系下三.梯度的重要性质标量场的梯度恒等于零。32标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。讨论：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）33

例设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；

(2)求该函数沿单位矢量el=

excos60＋ey

cos45

＋ezcos60方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为34表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为35而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。36例

已知

证明解（1）373839拉普拉斯运算与格林定理

1、拉普拉斯运算

标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系40

矢量拉普拉斯运算概念：即注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：412.格林定理

设任意两个标量场

，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场满足下列等式。

根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中S

为包围V的闭合曲面，为标量场

在S表面的外法线en

方向上的偏导数。以上两式称为标量第一格林定理。SV,4243基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。

格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。

格林定理广泛地用于电磁理论。441.5亥姆霍兹定理

一、亥姆霍兹定理

在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。

二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：调和场

若矢量场在某区域V内，处处有：和则在该区域V内，场为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。有源无旋场

若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。

结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场也称保守场。无源有旋场

若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中为矢量场漩涡源密度。