流体力学-02 流体静力学

第二章流体静力学流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律及其在工程中的应用根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流体静力学的主要任务§2.1流体静压强及其特性§2.2流体静压强的分布规律§2.3压强的计算基准和量度单位§2.4液柱测压计§2.5平面上的总压力计算§2.6曲面上的总压力计算§2.7流体平衡微分方程§2.8液体的相对平衡2/6/2023§2.1流体静压强及其特性

1、流体静压强的定义2、静压强的垂向性3、静压强的各向等值性2/6/2023

1、流体静压强的定义2/6/2023式中——微元面积；——作用在表面上的总压力大小。微元表面上的流体静压力矢量表达式为负号说明流体静压力的方向是沿受压面的内法线方向。在平衡（静止或相对静止）流体中，当面积△A无限缩小到a点时，比值趋近于某一个极限值，此极限位称为a点的流体静压强，以p表示。即：2/6/2023baAcBPn(1)作用面的内法向方向2、流体静压强的特性（1）静压强的垂向性2/6/2023（2）静压强的各向等值性（1）表面力

2/6/2023（2）质量力

2/6/20232/6/2023由于

2/6/2023同理

静水压强是空间点坐标的标量函数

2/6/2023§2.2流体静压强的分布规律一、液体静压强的基本方程式2/6/20231、2、3、2/6/20232/6/2023现在，把压强关系式应用于求静止液体内某一点的压强。设液面压强为P0，液体容重为，该点在液面下深度为h，则根据上式有：

这就是液体静力学的基本方程式。它表示静止液体中，压强随深度按直线变化的规律。静止液体中任一点的压强是由液面压强和该点在液面下的深度与容重的乘积两个部分所组成。从这两个部分可以看出，压强的大小与容器的形状无关。因此，不沦盛液容器的形状怎么复杂，只要知道液面压强P0和该点在液面下的深度h，就可用此式求出该点的压强。2/6/2023结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。5）液面压强P0有所增减，则内部压强P亦相应地有所增减。2/6/20232/6/2023poz21例已知=800kg/m3,p1=64kpa,p2=79.68kpa求z=?解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m2/6/20232/6/2023二、分界面和自由面是水平面2/6/20232/6/2023三、气体压强的计算四、非均质流体的等密面是水平面1）非均质流体的水平面是等压面2）等压面是等密面2/6/2023例A1P2P1A2已知A1=0.2m2,A2=10.0m2,P1=100kN试求P2=?解:P2=pA2=(P1/A1)A2=(10.0/0.2)100=5000(kN)2/6/2023一、静压强的两种计算基准压强计算基准绝对压强p’相对压强p§2.3压强的计算基准和量度单位定义：以完全真空为基准计算的压强称为绝对压强，记作p’。以当地大气压强pa为基准计量的压强称为相对压强，记作p。相对压强、绝对压强和当地大气压强的相互关系是：2/6/2023相对压强可正可负，当相对压强为正时，称该压强为正压（也叫压力表读数或简称表压）；当相对压强为负值时，称为负压，负压的绝对值又称为真空度(即真空表读数)，记作pv国际上规定，1标准大气压强=101325。工程上采用工程大气压强，1工程大气压强=2/6/2023为了区别以上几种压强，现以A点和B点压强为例，将它们的关系表示在图2-14上2/6/20232/6/20231at=10mH2O=736mmHg=9.8104paat工程大气压工程大气压法1mmHg=13.6mmH2O=133.3pammHg毫米汞柱液柱高度法1mH2O=9.8103pamH2O米水柱液柱高度法1pa=1N/m2

pa帕应力单位法单位换算关系单位符号单位名称压强度量方法压强度量单位的换算关系2/6/20232/6/2023[补充例题]封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图（2—7）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强和相对压强。[解]将式（）用于容器内水面上任一点和玻璃管底部，有当地大气压强在没有特别说明情况下，一般以1个工程大气压强计。故由式（2—26）求得h液体静力学的基本方程式2/6/2023测量流体的压强是工程上极其普遍的要求，如锅炉、压缩机、水泵、风机、鼓风机等均装有压力计及真空计。常用的有弹簧金属式、电测式和液柱式三种。一、测压管：测压管是一根直管或U形管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端斤开口，直接和大气相通，如图所示。由于相对压强的作用，水在管中上升或下降，与大气相接触的液面相对压强为零。这就可根据管中水面到所测点的高度直接读出水柱高度。§2.4液柱测压计液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。下面介绍几种常用的液柱式测压计：2/6/20232/6/2023

图测压管测压如下图可测水中大于大气压的相对压强2/6/2023U形水银测压管

如果需要测定气体压强，可以采用u形管盛水，如右图所示。2/6/20232、压差计定义：测量两点压强差的仪器叫做压差计，常用U形管制成，根据压差的大小和各种不同容重的液体，仍然应用等压面规律进行压差进行计算。下图为a为测定A，B两处液体压强差的空气压差计，图b为测定压差较大时的情况，此时我们采用水银压差计。ba2/6/2023对于图a有：对于图b有：2/6/2023管道上部为倒U形管式水柱差计，忽略空气密度，则计算公式为：比较上面两式，在仪器管一定的前提下，汞差压计量程大，而水柱差压计的准确度高。如下图所示。水管下部为U形管式汞差压计，它的计算公式为：差压计2/6/20233、微压计测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计。如图2—21所示就是其中一种。定义：2/6/2023例水银密度为2,酒精密度为1,如果水银面的高度读数为z1,z2,z3,z4

求:压差(PA-PB)=?解:界面2的压强PA-2g(z2-z1)界面3的压强PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)界面4的压强PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)-

2g(z4-z3)=PB界面1的压强PAPA-PB=2g(z2-z1+z4-z3)-1g(z2-z3)4312BA122/6/2023例：对于压强教高的封闭容器，可以采用复式U水银测压计，测压管中各液面标高为：1=1.5m，2=0.2m，3=1.2m，4=0.4m，5=2.1m。试确定管中液面5（A点）压强。[解]根据等压面的规律，2-2，3-3及4-4都为等压面。则：2/6/2023作业：2-3，2-12，2-252/6/2023大写小写英文注音中文读音大写小写英文注音中文读音Δδdelta德尔塔Ζζzeta截塔Εεepsilon伊普西龙Ππpi派Ωωomega欧米伽Ρρrho肉Ηηeta艾塔Σσsigma西格马Θθ西塔Ττtau套Λλlambda兰布达Ψψpsi普西Μμmu缪Φφphi佛爱Ννnu纽Χχchi西2/6/2023§2.5作用于平面上的总压力计算一、解析法2/6/20231.静止液体总压力的大小作用在微小面积上的水静压力为：作用在受压平面上的水静压力为：2/6/20232.静止液体总压力的作用点2/6/20232/6/20232/6/2023二、图解法适用于上、下边与水面平行的矩形平面上的静水总压力及其作用点位置。第一步：绘制水静压强分布图2/6/2023第三步：确定静止液体总压力的作用点

梯形压强分布三角形压强分布第二步：计算水静压力2/6/2023

[例题]一铅直矩形闸门，如图2-28，顶边水平，所在水深h1=1m，闸门高h=2m，宽b=1.5m，试用解析法及图解法求水静压力P的大小及作用点。2/6/2023

[补充例题]如下图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深，右边水深，闸门与水面成倾斜角。假设闸门的宽度，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。

[解]作用在闸门上的总压力系左右两边液体总压力之差，即因此2/6/2023所以由于矩形平面压力中心坐标根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得所以这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。2/6/20232-33.某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1=1m，铰接装置于距离底h2=0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。解：当

时，

闸

门

自

动

开

启

将

代

入

上

述

不

等

式

得

hhhC122/6/2023作业：2-27，2-29，2-322/6/2023§2.6作用于曲面的液体压力一、总压力计算2/6/20232/6/20232/6/20232/6/2023二、液体总压力的作用点2/6/2023三、压力体的绘制压力体由三部分构成(1)曲面本身(2)通过曲面周界的铅垂面(3)自由液面或其延续面实压力体和虚压力体2/6/2023四、潜体、浮体2/6/20232/6/20232/6/2023图2—23水水2m4m[解]分左右两部分计算左部：水平分力垂直分力[例题]如图2—23。有一圆形滚门，长1m（垂直园面方向），直径为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在门上的总压力的大小及作用线的位置。2/6/2023合力右部：水平分力垂直分力合力作用线通过中心与铅垂线成角度。2/6/2023作用线通过中心与垂线成角度。总水平分力：总垂直分力：合力2/6/20232-39画出图中圆柱曲面上的压力体，并标明方向。2/6/2023作业：2-37，2-402/6/2023§2.7流体平衡微分方程流体平衡微分方程的推导（1）表面力六面体中心点M(x，y，z)的压强为p根据泰勒级数展开式

点的压强为

2/6/2023点的压强为

2/6/2023（2）质量力

2/6/2023X方向平衡微分方程

2/6/2023

由瑞士学者欧拉于1775年首次导出，称为欧拉平衡微分方程2/6/2023有势力场中的静压强2/6/2023等压面性质：质量力势函数等于常数的面叫作等势面，所以等压面也是等势面。2、等压面与单位质量力矢量垂直。式中是等压面上任意线段。因而等压面与单位质量力矢量垂直。将式写成矢量形式：1、等压面也是等式面；2/6/2023定义：除了重力场的流体平衡问题外，工程上常见的有如下两种：一、容器作匀加速直线运动

运动方向水平基面2匀加速直线运动如下图，盛有液体的容器沿着与水平基面成角的斜面向下以匀加速度作直线运动。若盛液体的容器或机件对地面上的固定坐标系有相对运动，但液体质点彼此之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。§2.8液体的相对平衡12/6/2023对于图1，我们有：单位质量的重力在各轴向的分力为：由于质点受牵连而随容器作等加速直线运动，则作用在质点上的牵连惯性力为：因此，单位质量力在各轴向的分力为：所以，流体平衡微分方程式可写为：2/6/2023设在坐标原点处x＝z＝0，p=pa；，代入上式得C＝pa。以此再代入原式，则得液面下任一点处的压强为：其相对压强为：为什么这种运动也可以用水静力学方程求压强呢?我们对比两者的平衡微分方程式来说明；2/6/2023对于图2，根据动静法，成相对平衡流体质点上的质量力有与加速度方向相反的虚构惯性力；重力。由图可得单位质量分力为（2—35）2/6/2023将（2—35）式代入等压面微分方程式可得即（2—36）积分上式得1、等压面方程（2—37）因都是常数，故是一定值。等压面（包括自由表面）是与水平基面成倾角的一族平行平面，这族平面应与单位质量力相垂直。说明：2/6/2023静压强分布规律将（2—35）式代入（2—15）式中即得作不定积分得根据边界条件（2—38）当或时，即可得出容器水平或垂直匀加速直线运动。如图（2—13）所示。运动方向水平基面水平基面运动方向图2—13容器匀加速直线运动的两种特例2/6/2023二、容器作等角速回转运动

图2—14容器作等角速回转运动与容器作匀加速直线运动分析相同。单位质量分力为：如图2—14所示，盛有液体的容器绕铅直轴z作回转运动，待运动稳定后，液体形成如图所示的自由表面，质点之间不再有相对运动。（2—39）2/6/20231、等压面方程作不定积分得即（2—40）说明：等压面是一族绕z轴的旋转抛物面。将式（2—39）代入等压面微分方程中，得2/6/2023由上述方程，我们可以确定自由面方程，也可以根据自由面求任一点的压强，其方法也是求出该点在浓面下的深度h，然后，用水静力学方程计算。即:为什么绕铅直轴作等角速旋转运动的液体，也可用水静力学方程求压强呢？我们仍然把两者的平衡微分方程进行对比说明。2/6/20232、静压强分布规律将式（2—39）代入式（2—15）中得作不定积分，则（2—41）式中积分常数可以根据如下三种情况来确定。（1）密封容器，液面上的压强为。（如图2—15）边界条件代回（2—41），得（2—42）2/6/2023（2）容器盛满液体，顶盖中心接触大气。（如图2—16）边界条件