数学物理方法第一章

第一篇复变函数论

TheoryofComplexVariableFunctions第一章复变函数

ComplexVariableFunctions第一节复数与复数运算第二节复变函数第三节复变函数的导数第四节解析函数第五节平面场第一节复数与复数运算一、复数的基本概念：1、复数：为虚数单位，为实数，称为复数的实部与虚部，并记做：形如的数称为复数，其中，2、复平面：z平面复数z=x+iy虚轴实轴复数

平面向量模主幅角复数本身不能比较大小但模可以比较大小点幅角若把作为矢量的直角坐标分量二、复数的表示：1、代数表示：

2、三角表示：极坐标下：3、指数表示：

欧拉（Euler）公式:三、复数的运算：1、加减运算z1±

z2=(x1±x2)

+i(y1±

y2)交换率结合律2、乘法运算交换率结合率分配率两个复数相乘，模等于模之积，幅角等于幅角之和复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则3、除法运算两个复数相除，模等于模之商，幅角等于幅角之差4、共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点)sin(cosjjri-=5、乘方运算6、开方运算故k取不同值，取不同值，共有n个根7、复数相等NSzA四、无限远点模为有限大的复数模为无限大的复数复平面上有限远点复平面上无限远点测地投影复数球五、说明1、两个特殊的复数模为0，幅角无意义模为无限大，幅角无意义2、复数z的模的平方复数z的自乘3、复数可以用实部和虚部来表示，则对复数的研究往往归结为对一对实数（即实部和虚部）的研究，关于实变数的和、差、积、商的极限的定理，极限存在与否的判据，都使用于复变数六、举例例：求之值例：讨论式子在复平面上的意义解：为圆上各点第二节复变函数一、复变函数的定义若在复数平面（复数球）上存在一个点集E（复数集合），对于E的每一个点（每一个z），按照一定的规律，有一个或多个复数w与之相对应，则称w为z的函数----------复变函数，z称为w的宗量，定义域为E,记作：二、区域1、邻域由确定的平面点集，称为定点z0的—邻域2、内点定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点3、外点定点z0及其—邻域不包含于点集E内，称z0为点集E的外点4、边界点定点z0的—邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。内点点外边界点5、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。内点边界点外点6、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如表示以原点为圆心半径为1的闭区域x

yO7、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域，否则为复连通区域BB三、复变函数举例1、多项式2、有理式3、根式4、指数函数性质：5、三角函数6、双曲函数7、对数函数8、幂函数性质周期性非有界函数在复数范围内，负数的对数依然有意义四、极限与连续性复变函数1、复变函数的极限设复变函数可归结为两个二元实变函数。在的极限为即2、复变函数的连续性在连续，z在全平面，z-->z0须以任意方式§1.3导数一、导数的定义设函数w=f(z)

是区域B上定义的单值函数，即对B上的每一个z值，有且仅有一个

w值与之相对应，若在

B上的某点z,极限存在，并且与的方式无关，则称函数w=f(z)在z点可导此（有限的）极限称为f(z)在z点的导数（微商）记作：

f'(z)或df/dz，即二、求导法则复变函数可导的条件要比实变函数严格的多三、可导的条件：1、必要条件：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有（1）沿平行于实轴的方向趋于零

（2）沿平行于虚轴的方向趋于零即C.R.条件是复变函数可导的必要条件，但不是可导的充分条件两者应该相等，故有称为科西--黎曼条件（C.R.条件）2、充分条件：1）u,v在z处满足C.R.条件

2）u,v在z处有连续的一阶偏微商证明：因为u,v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v

的微分存在此式z无论以什么趋于零都存在，故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

点可导充分必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是四、导数的计算公式设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在处处可导，那么五、极坐标下的Cauchy-Riemann条件§1.4解析函数一、解析函数的概念设函数w=f(z)在点z0即其邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数。说明：（1）f(z)在z点解析，则必在z点可导，在z点可导，则不一定在z点解析。（2）f(z)在区域B上解析，则在区域B上必处处可导，（3）不解析的点称为函数的奇点（4）.解析函数的充分必要条件设函数

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析。二、解析函数的主要性质由C.R.条件前一式对x

求导，后式对y

求导，相加前一式对y求导，后式对x求导，相减u(x,y)和v(x,y)都满足二维Laplace方程，即他们都是调和函数。uv同属一个复变函数的实部和虚部，因此又称为共轭调和函数性质1、f(z)在区域B

解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数称为梯度(gradient)矢量二维表示三维表示Laplace

方程表示为：由C.R.条件两式相乘即：或而u和v的梯度分别是u(x,y)=常数v(x,y)=常数的法向向量性质2、u(x,y)=常数与

v(x,y)=常数曲线正交三、给定实部或虚部，求解析函数若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数，方法如下：设已知u(x,y)，求v(x,y)C.R.条件方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解：故u为调和函数u(x,y)=x2-y2方法一、曲线积分法方法二、凑全微分显式法u(x,y)=x2-y2方法三、不定积分法x视为参数有：例：已知解析函数f(z)实部

求v(x,y)解：化为极坐标求解四、解析函数的应用--平面标量场在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。平面向量场并不意味着所有的向量都定义在这个平面上，而是说所有的向量都平行于这个平面，这样，这个向量场就可用这个平面上的向量来表示就唯一确定了一个复变函数举例：平面静电场考虑定义在xy平面的区域D内的平面静电场，其场强设为若再假设平面场内没有带电物体，那么该场就是一个无源平面向量场.设其电势为U,则由电磁学知道电场是电势梯度的负值.由于该区域没有电荷，则由高斯定理知道，场强满足即：故势函数U是二维调和函数．因此可以将U看成是在区域D内的解析函数的实部或虚部．设电势利用C-R条件就可以求出v这样得出的解析函数w称为静电场的复电势在平面上两个方程为相互正交的曲线族

电场用复势表示

我们可以将电场用复势表示出来：（1）对于上面的假设，电势对应于实部 得

所以