第9章方差分析

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教材和参考书目：《教育与心理统计学》，张敏强主编，人教版《心理与教育统计学》，张厚粲主编，北师大版《心理学研究方法》三编，黄希庭主编，高教版《心理统计》英文9版，R.P.Runyon，人民邮电

2/6/20231JumpingRabbitStudio第9章方差分析9.1方差分析的基本原理及步骤9.2完全随机设计的方差分析9.3随机区组设计的方差分析9.4事后检验2/6/20232JumpingRabbitStudio方差分析（一）Outline:1Introduction2ThepointsofANOVA3Mainconceptions4TheprerequisiteofANOVA2/6/20233JumpingRabbitStudio专业A专业B专业C158158156156160162165160163162156163162155168165160163160157164155178163156168166160170158某学院每年招收三个专业的学生，每个专业随机抽取9名同学，其身高如表所示，请问三个专业学生的身高是否有显著差异？2/6/20234JumpingRabbitStudio1Introduction:

若将显著性检验也视为两总体间“差异”检验，则第六章所讲t检验法主要适用于两总体间均值差异的显著性检验，但在实践中经常会遇到要比较多个处理优劣的问题，即需进行多个均值间的差异显著性检验。这时若仍采用t检验法有下列问题：WhycannotusemultipleTtesttoconductmultiplecomparisonamonggroups?为什么不能用t检验对多个平均数的差异进行比较？2/6/20235JumpingRabbitStudio比较组合次数多：Z、t检验的局限性：可靠性降低缺少综合信息；缺乏整体信息。2/6/20236JumpingRabbitStudio

1、检验次数增加

例如，一实验包含5个处理，采用t检验法要进行=10次两两均值的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。

2、无统一的实验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。每次检验的标准误不同；自由度为充分利用。如5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用30个观测值估计误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。用t检法进行检验时，误差自由度小，容易掩盖差异的显著性。2/6/20237JumpingRabbitStudio3、推断可靠性低，检验的I型错误大

每次比较不会犯I型错误概率为1-α，K次比较为（1-α），则犯错误概率为1-（1-α）。

由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。

2/6/20238JumpingRabbitStudio2ThepointsofANOVA方差分析(analysisofvariance，ANOVA)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年首先提出的。是目前应用最广泛的统计分析法之一。Theladytastetea!Theprinciplesofexperimentdesign:RandomizationLocalcontrolRepetition2/6/20239JumpingRabbitStudio方差分析又称为变异分析(analysisofvariance,ANOVA)，是由斯内德克根据费舍的早期工作发明的一种检验方法。分析实验数据中不同来源的变异对总的变异的贡献大小。用于分析两种以上平均数的差异检验问题。2/6/202310JumpingRabbitStudio变异数分析的思路：变异(方差)反映了数据的变化，若能将数据变化的原因加以分解(方差可加性)，一部分为由于施加了自变量的不同水平或处理而导致的组间变异，另一部分为同一处理下各观测值间的变异(认为是误差)，则可以将两部分变异进行比较(方差差异显著性检验，F检验)以判断组间变异是否显著大于误差变异，从而判断组间因素的效应是否显著。（1）平方和分解2/6/202311JumpingRabbitStudio2/6/202312JumpingRabbitStudio各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为MSt（即）、MSb（即）和MSe（或）。即

（2）构造方差比（3）testIfF=12/6/202313JumpingRabbitStudio

1.自变量和因变量：因素，性质变量或分类变量；因变量，观测指标。方差分析：自变量的不同水平或处理在因变量上的差异2.变异源：组间因素(自变量)、无关变量(系统误差来源，需要控制)、随机误差(组内变异，比较的基础，随机化原则)3.因素的水平和实验处理：方差分析的特点三个水平以上，处理即最小的实验条件，各变量水平的组合(计算)

4.实验设计分类：不同的设计使用不同的方差分析(主要是方差分解不同)，单因素(单向)、二因素、多因素(析因)；从控制无关变量(一般是机体变量)多少分完全随机化、随机区组(单个被试作为区组)、拉丁方；被试接受处理数分被试间、被试内(重复测量)和混合设计。3MainConceptions2/6/202314JumpingRabbitStudio假设某研究者要研究若干种心理治疗方法的效果，考察的方法包括:RealityTherapy,BehaviorTherapy,Psychoanalysis,GestaltTherapy.Q1:如何进行实验设计？设有20名被试。Q2:实验包括几个处理？自变量有几个水平？指标是什么？——自我概念量表得分变化。Q3:可能的变异源有哪些？Q4:若增加对被试性别效应的考察，实验设计如何变化？Q5:若考虑到自我概念的起始水平不同，如何变化？Example12/6/202315JumpingRabbitStudioDoyouknowhowarrangethesubjectstoallthetreatmentwiththoseabovedesign?完全随机化设计(上左)和随机区组设计(上右)都试被试间设计，不节省被试，只有被试内设计(下右)才节省被试。2/6/202316JumpingRabbitStudio1正态总体：2Additivityofeffectsorvariation(可加性)3homogeneityofvariancewithineachtreatment——Levene’stest（同质性）4TheprerequisiteofANOVA2/6/202317JumpingRabbitStudio9.1方差分析的基本原理（一）综合的虚无假设与部分虚无假设综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等。H0：μ1=μ2=μ3部分虚无假设：部分样本对应的总体的平均数相等。H0：μ1=μ2

μ2=μ3

μ1=μ32/6/202318JumpingRabbitStudio（二）方差的可分解性方差分析依据的基本原理是方差（或变异）的可加性原则，将总的平方和分解为几个不同来源的平方和。平方和指观测数据与平均数离差的平方总和。求5，6，10，13，7，9，4的平方和2/6/202319JumpingRabbitStudio方差的可分解性总平方和组间平方和组内平方和2/6/202320JumpingRabbitStudioF检验组间方差组内方差F单侧检验2/6/202321JumpingRabbitStudio方差分析的基本过程⑴．提出假设⑵．选择检验统计量并计算①．分解平方和SS②．分解自由度df③．计算方差MS④．计算F值⑶．作出统计结论并列方差分析表2/6/202322JumpingRabbitStudio1.总体正态分布2.变异的相互独立3.各个实验处理内的方差一致方差分析的基本假定：方差齐性检验：若说明方差不齐性2/6/202323JumpingRabbitStudio实验设计与方差分析T检验用于只有两种实验处理的实验设计。方差分析适用于三种及其以上实验处理的情况，可以分为组间设计、组内设计和混合设计。组间设计，也称为被试间设计、完全随机设计，将被试随机分为若干组，每组被试分别接受一种实验处理。2/6/202324JumpingRabbitStudio组内设计，又称为被试内设计、重复测量设计，每个被试接受所有自变量的实验处理。混合设计一般涉及两个以上的自变量，其中既有被试内变量也有被试间变量。2/6/202325JumpingRabbitStudio9.2完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析，是对单因素的组间设计的方差分析，实验安排被试如下：处理1处理2……处理k被试11被试21……被试k1被试12被试22……被试k2被试13被试23……被试k3……………………2/6/202326JumpingRabbitStudio分析步骤1.提出虚无假设H0：μ1=μ2=μ3……H1：μ1≠μ2≠μ3……H0：各班的平均身高是相等的H1：各班的平均身高是不相等的2/6/202327JumpingRabbitStudio2.求平方和组内求和组间求和2/6/202328JumpingRabbitStudio3.计算自由度总的自由度：组间自由度：组内自由度：2/6/202329JumpingRabbitStudio4.计算均方组间方差：组内方差：5.计算F值2/6/202330JumpingRabbitStudioＦ检验统计决断规则F与临界值比较P值显著性检验结果F＜F(dfB,dfW)0.05P＞0.05不显著保留H0，拒绝H1F(dfB,dfW)0.05≤F＜

F(dfB,dfW)0.010.05≥P＞0.01显著＊在0.05显著性水平拒绝H0，接受H1F≥F(dfB,dfW)0.01P≤0.01极其显著＊＊在0.01显著性水平拒绝H0，接受H16.作出决断2/6/202331JumpingRabbitStudio7．列出完全随机设计的方差分析表变异来源平方和自由度方差F值概率组间变异SSBdfBMSBP组内变异SSwdfwMSw总变异SSTdfT完全随机设计方差分析表2/6/202332JumpingRabbitStudio某学院每年招收三个专业的学生，每个专业随机抽取9名同学，其身高如表所示，请问三个专业学生的身高是否有显著差异？专业A专业B专业CXX2XX2XX2158249641582496415624336156243361602560016226244165272251602560016326569162262441562433616326569162262441552402516828224165272251602560016326569160256001572464916426896155240251783168416326569156243361682822416627556160256001702890015824964Σ159925579916222635821626264496(ΣX)22556801263088426438762/6/202333JumpingRabbitStudio设虚无假设和备择假设分别如下：H0：μ1=μ2=μ3H1：μ1≠μ2≠μ32/6/202334JumpingRabbitStudio计算平方和2/6/202335JumpingRabbitStudio3.计算自由度总的自由度：组间自由度：组内自由度：2/6/202336JumpingRabbitStudio4.计算均方组间方差：组内方差：5.计算F值由于所以三个专业的身高没有显著差异2/6/202337JumpingRabbitStudio变异来源平方和自由度方差F值概率组间变异43221.50.805>0.05组内变异7212726.7总变异76429三专业身高的方差分析表2/6/202338JumpingRabbitStudio9.3随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析，就是重复测量设计的方差分析（repeatedmeasuresanalysisofvaricace），或称为组内设计的方差分析。随机区组设计的方差分析，是对多个相关样本平均数的差异进行显著性检验。2/6/202339JumpingRabbitStudio在检验某一因素多种不同水平（即不同实验处理）之间差异的显著性时，为了减少被试间个别差异对结果的影响，把从同一个总体中抽取的被试按条件相同的原则分成各个组（称为区组），使每个区组内的被试尽量保持同质。2/6/202340JumpingRabbitStudio在对各区组施以多种实验处理之后，用方差分析法对这多个相关样本平均数差异所进行的显著性检验，称为随机区组设计的方差分析。2/6/202341JumpingRabbitStudio随机区组设计的原则是同一区组内的被试应尽量“同质”，每一区组内被试的人数分配有以下三种方式：⑴．每一个被试作为一个区组，所有的被试都要分别接受各种实验处理；处理1处理2处理32/6/202342JumpingRabbitStudio⑵．每一区组内的被试人数是实验处理数的整倍数。同一区组内的每几个被试可以随机接受同一种实验处理；111222333区组1区组2区组3处理1处理2处理33332221112/6/202343JumpingRabbitStudio（3）区组内的基本单位不是个别被试，而是一个团队为单位学校A学校B学校Ca班b班c班a班b班c班a班b班c班处理1处理2处理32/6/202344JumpingRabbitStudio随机区组设计的方差分析中，接受各种实验处理的是同一区组，故个别差异可以从组内差异中分离出来，从而减少由个别差异造成的误差，增加实验的信息，提高实验的效率。2/6/202345JumpingRabbitStudio随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变异、区组变异和误差变异三部分：2/6/202346JumpingRabbitStudio3．随机区组设计方差分析的计算公式⑴．分解平方和

总平方和组间平方和2/6/202347JumpingRabbitStudio区组平方和

公式中：R表示某一区组在某种处理的分数n表示区组数，K表示处理数误差平方和

2/6/202348JumpingRabbitStudio⑵．分解自由度总自由度可以分解为组间、区组和误差自由度：总自由度组间自由度区组自由度误差自由度2/6/202349JumpingRabbitStudio⑶．计算方差组间方差区组方差

误差方差

2/6/202350JumpingRabbitStudio⑷．计算Ｆ值组间方差与误差方差的Ｆ比值区组方差与误差方差的Ｆ比值2/6/202351JumpingRabbitStudio⑸．随机区组设计的方差分析表变异来源平方和自由度方差F值概率组间变异SSBdfBMSBPP区组变异SSRdfRMSR误差变异SSEdfEMSE总变异SSTdfT表14－1随机区组设计方差分析表2/6/202352JumpingRabbitStudio5名被试在4种不同的环境条件下参加某一心理测验，结果如下。问不同测验环境是否对这一测试成绩有显著影响。被试测试环境IIIIIIIV1302816162141810103242018184383420205262814142/6/202353JumpingRabbitStudio解题过程1.提出假设H0:μ1=μ2=μ3=μ4

H1:至少有两组平均数不等2.选择检验统计量并计算5名学生是从同一个总体中抽出的4个区组,他们在三个测验上的得分是三组相关样本，因此可选用随机区组设计的方差分析对三组测验结果平均数差异进行检验。2/6/202354JumpingRabbitStudio5名被试在4种环境中的测试成绩被试测试环境ΣRIIIIIIIV130281616108214181010643242018189243834202013652628141498ΣX13212878160498ΣX23792344812765376

2/6/202355JumpingRabbitStudio计算⑴.分解平方和总平方和组间平方和2/6/202356Jum