IIR滤波器的设计课件

第6章IIR数字滤波器设计

6.1数字滤波基本概念

6.2模拟滤波器设计6.3设计IIR滤波器的脉冲响应不变法6.4设计IIR滤波器的双线性变换法第6章IIR数字滤波器设计滤波的目的为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例广义滤波包括对信号的检测与参量的估计信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值

6.1数字滤波的基本概念

数字滤波器的分类

经典滤波器（一般滤波器）

输入信号的频率成分和希望滤除掉的频率成分各占有不同的频带按功能可分为：高通、低通、带通、带阻和全通滤波器

现代滤波器数字滤波器从实现网络结构上分：

无限脉冲响应滤波器（IIR）

有限脉冲响应滤波器（FIR）数字滤波器的频率特性数字滤波器具有某种特定频率特性的线性时不变系统广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通特点为数字频率以周期频率特性只限于范围，依取样定理，对应于实际模拟抽样频率的一半频率变量以数字频率表示其中模拟角频率，T抽样时间间隔，fs

抽样频率理想滤波器的频率响应

0：通带波纹：阻带波纹：过渡带：通带截止频率：阻带截止频率DF的性能要求（低通为例）2．IIR和FIR数字滤波器

IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式

设计过程一般包括以下三个基本问题：

根据实际要求确定滤波器性能指标；用一个因果稳定的系统函数去逼近这个指标；用一个有限精度的运算去实现这个传输函数

问题1、3与实际的要求及实现的硬件条件有关本章主要讨论问题2，即系统函数的设计(或逼近)问题。

3．设计IIR滤波器的几种方法

IIR数字滤波器的系统函数可表示为的有理分式

设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的系数满足指定的频率特性(1)利用模拟滤波器的理论来设计

模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题采用这种方法时，要先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等(2)利用最优化技术进行CAD设计

若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计设计思想希望滤波器的幅频响应：

设计滤波器的幅频响应：选择一种最优化的准则，例如采用最小均方误差准则

在指定的一组离散的频率点

的均方误差求解H(z)的系数使均方误差最小

当滤波器阶数N较高时，转换为一个多变量最优化问题，需要大量的迭代运算，因此必须采用CAD的方法。

5．3设计IIR滤波器的脉冲响应不变法

1．设计的基本原理和方法

原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的抽样值。

如果：则可有下式求H（z）：如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点应位于左半平面

（5-2-3）

对Z平面的极点有

位于单位园内。因此H(z)是一个稳定的离散系统函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了一个稳定的数字滤波器

2．脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应

根据抽样定理，序列h(n)的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓

原模拟滤波器的频率响应为，由于h(n)是h(t)的等间隔抽样

如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率之内，即

这样数字滤波器的频率响应才能等于模拟滤波器的频率响应

然而，高通和带阻滤波器不能满足(-2-)式的要求，将会产生混叠脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带阻数字滤波器。

2）、直接用数字频率表示的求H(z)的公式在实际滤波器设计中，因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化低通原型，其滤波器3dB点截止频率都归一化在原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。当滤波器的实际截止频率不等于1时，须进行所谓反归一化，以(s/)代替中的s，即实际低通滤波器的系统函数H(s)应为为模拟归一化原型系统函数的极点

例5-3-1利用脉冲响应不变法设计一个4阶巴特沃斯型数字低通滤波器，满足以下指标(A)若采样周期T=10μs，求实际模拟截止频率fc，

(B)3dB截止频率=0.2π弧度。解：先计算模拟截止频率，第二步部分分式分解并求Ak第三步将代入下式，整理并化简求得H(z)的实系数二次形式

5．4设计IIR滤波器的双线性变换法1．设计方法从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响应，逼近模拟滤波器的频域响应,进而求出H(z)。脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器原因：从S平面到Z平面的映射是多值的映射关系双线性变换的映射过程

脉冲响应不变法的映射过程

双线性变换法的改进为避免频域的混叠，分两步完成S平面到Z平面的映射将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去，实现方法：再通过Z变换，将Ω1映射到Z平面的单位圆上

通过下面的正切变换，将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的

将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的映射关系

再将S1平面按关系式映射到Z平面得到双线性变换

或双线性变换的映射关系满足

关于映射关系可行性的两个条件（1）S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；（2）位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。带入表达式得：说明S平面的虚轴映射成了Z平面的单位圆令,带入表达式得：显然当时，<1，S平面的左半平面轴映射到了Z平面的单位圆内，保证系统函数经映射后稳定性不变双线性变换的频率对应关系模拟频率与数字频率是一种非线性的关系模拟滤波器与数字滤波器的响应与对应的频率关系上发生了畸变，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。

在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密2．频率预畸变

为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按下式进行所谓频率预畸变然后将预畸变后的频率代入归一化低通原型Ha(s)确定最后求得数字系统函数3.有关双线性变换公式的说明（抽样间隔T的选取有些文献中双线性变换的关系为:与右式有一个2/T的系数的差别。现说明T的取值。上式可由用数值计算的方法求解一阶输入-输出模拟系统的过程中推得。设一阶模拟系统函数为对应的一阶微分方程为将表示成的积分形式采用梯形法近似计算定积分，令步长为T，并设t=nT，t0=（n-1）T，用T代替dt，以上积分式可近似为：带入一阶微分方程令、一阶差分方程化为：对上式两边进行Z变换，得到：得到了双线性变换的关系其中T为用梯形法近似计算定积分的步长，或将模拟信号离散为抽样信号时的抽样间隔

由以上的推导过程可见，T的取值可以任选，只要满足即只要保证将模拟频率带限在之间，不会产生因多值映射产生频率混迭现象。另一方面，当变换关系采用下式时将有关系式和当由归一化的模拟变量p变到数字变量Z的过程中，系数2/T已被消去。这再一次说明T取值的大小是不重要的。考虑到利用双线性变换法设计数字滤波器的过程例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器设计参数：通带数字截止率，通带内最大衰减阻带数字截止率，阻带内最小衰减解第一步进行频率预畸