数据结构ch5数组和广义表

第5章数组和广义表（Arrays&Lists）5.1数组的定义5.2数组的顺序存储表示和实现5.3矩阵的压缩存储5.4广义表的定义5.5广义表的存储结构15.1数组的定义数组：由一组名字相同、下标不同的变量构成注意：这里讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高级语言中的数组是顺序结构；而这里的数组既可以是顺序的，也可以是链式结构，用户可根据需要选择。答：对的。因为——①数组中各元素具有统一的类型；②数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，即数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。③数组的基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之外，只有存取元素和修改元素值的操作。判断：“数组的处理比其它复杂的结构要简单”，对吗？2二维数组的特点：一维数组的特点：1个下标，ai是ai+1的直接前驱2个下标，每个元素ai,j受到两个关系（行关系和列关系）的约束：一个m×n的二维数组可以看成是m行的一维数组，或者n列的一维数组。N维数组的特点：n个下标，每个元素受到n个关系约束一个n维数组可以看成是由若干个n－1维数组组成的线性表。a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn

Amn=3N维数组的数据类型定义n_ARRAY=(D,R)其中：

Ri

={<aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

>|

aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

D}数据关系：R={R1,R2，….Rn}数据对象：D={aj1,j2…jn|ji为数组元素的第i维下标，aj1,j2…jn

Elemset}数组的抽象数据类型定义略，参见教材P90构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素基本操作：45.2数组的顺序存储表示和实现问题：计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维的，怎样存放？解决办法：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存入存储器中。例如：在二维数组中，我们既可以规定按行存储，也可以规定按列存储。注意：若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便有规律可寻，可形成地址计算公式；约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同；C和PASCAL中一般采用行优先顺序；FORTRAN采用列优先。5补充：计算二维数组元素地址的通式

设一般的二维数组是A[c1..d1,c2..d2]，这里c1,c2不一定是0或1无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址（意义：数组中的任一元素可随机存取）：二维数组列优先存储的通式为：LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*Lac1,c2…ac1,d2…aij

…

ad1,c2…ad1,d2

Amn=单个元素长度aij之前的行数数组基址总列数，即第2维长度aij本行前面的元素个数①开始结点的存放地址（即基地址）②维数和每维的上、下界；③每个数组元素所占用的单元数则行优先存储时的地址公式为：

LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L6a(0,0)a(0,1)……a(0,3)a(1,0)a(1,1)……a(1,3)………………………………a(3,2)………………………………………………a(6,0)…………a(6,3)01230123456例1：如何求出a(3,2)的存储地址？要事先确定：①是行优先方式还是列优先方式？②数组的首地址是多少？③每个元素的长度？否则无法求出结果7例3：已知二维数组Am,m按行存储的元素地址公式是：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K,请问按列存储的公式相同吗？答：尽管是方阵，但公式仍不同。应为：Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K例2〖软考题〗：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，列下标的范围是0到7，每个数组元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。那么，这个数组的体积是

个字节。288答：Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7-0+1)*6=48*6=2888例4：〖00年华科考研题〗：设数组a[1…60,1…70]的基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素a[32,58]的存储地址为

。根据列优先公式Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*60+(32-1)]*2＝8950答：请注意审题！想一想：若数组是a[0…59,0…69]，结果是否仍为8950？8950维界虽未变，但此时的a[32,58]不再是原来的a[32,58]9Loc(j1,j2,…jn)=LOC(0,0,…0)＋若是N维数组，其中任一元素的地址该如何计算？其中Cn=L,Ci-1=bi×Ci，1<i≤n每个元素长度数组基址前面若干元素占用的地址字节总数第i维长度与所存元素个数有关的系数，可用递推法求出教材已给出低维优先的地址计算公式（见P93（5-2）式）该式称为n维数组的映像函数：三维数组且列优先时的元素地址要会计算！10例5：【华科专科考研资格考试】假设有三维数组A7×9×8，每个元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。已知A的起始存储位置（基地址）为1000，末尾元素A[6][8][7]的第一个字节地址为多少？若按高地址优先存储时，元素A[4][7][6]的第一个字节地址为多少？

答：

①末尾元素A[6][8][7]的第1个字节地址＝1000+(7×9×8)×6－6=4018

②按高地址优先存储时，元素A[4][7][6]的第1个字节地址＝?提示：将第3维看作“页码”，前面两维就是每页上的二维数组。A[4][7][6]=1000+(7×9×6)×6+(7×7+4)×6=（高维地址计算通式参见清华殷人昆教材的解释）3586只要计算出任一数组元素的地址，就能对其轻松地进行读写操作！计算地址的意义：11#defineMAX_ARRAY_DIM8//假设最大维数为8typedefstruct{ELemType*base;//数组元素基址intdim;//数组维数int*bound;//数组各维长度信息保存区基址int*constants;//数组映像函数常量的基址}Array;即Ci信息保存区数组的基本操作函数说明（有5个）（请阅读教材P93-95）N维数组的顺序存储表示（见教材P93）12^……行指针向量a11a12…^a1nam1am2…^amn补充：数组的链式存储方式—用带行指针向量的单链表来表示。注：链式数组的运算请参见“稀疏矩阵的转置”注意：本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高级语言中的数组只是顺序结构；而本章的数组既可以是顺序的，也可以是链式结构，用户可根据需要选择。135.3矩阵的压缩存储讨论：1.什么是压缩存储？若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。2.所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。3.什么样的矩阵具备以上压缩条件？

一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。4.什么叫稀疏矩阵？矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%）重点介绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。14对称矩阵

a11a12

….

……..a1n

a21

a22

……..…….a2n

an1

an2

……..ann

….a11a21a22a31a32an1ann

…...…...k=01234n(n-1)/2n(n+1)/2-1按行序为主序：15三角矩阵

a11

00

……..0

a21a22

0

……..0

an1an2an3……..ann

….0Loc(aij)=Loc(a11)+[+(j-1)]*l

i(i-1)2a11a21a22a31a32an1ann

…...…...k=01234n(n-1)/2n(n+1)/2-1按行序为主序：16对角矩阵

a11

a120

…………….0

a21

a22

a23

0

……………00

0

…an-1,n-2an-1,n-1

an-1,n0

0

……an,n-1ann.

0

a32a33

a34

0

………0……………Loc(aij)=Loc(a11)+2(i-1)+(j-1)

a11a12a21a22a23ann-1ann

…...…...k=01234n(n-1)/2n(n+1)/2-1按行序为主序：17稀疏矩阵定义：非零元较零元少，且分布没有一定规律的矩阵压缩存储原则：只存矩阵的行列维数和每个非零元的行列下标及其值18一、稀疏矩阵的压缩存储问题：如果只存储稀疏矩阵中的非零元素，那这些元素的位置信息该如何表示？解决思路：对每个非零元素增开若干存储单元，用来存放其所在的行号和列号，便可准确反映该元素所在位置。实现方法：将每个非零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示，则每个稀疏矩阵可用一个三元组表来表示。二、稀疏矩阵的操作19例2：写出右图所示稀疏矩阵的压缩存储形式。0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700

(1,2,12)

，(1,3,9)，(3,1,-3)，(3,5,14)，(4,3,24)，(5,2,18)，(6,1,15)，(6,4,-7)解：至少有4种存储形式。法1：用线性表表示：0

1290000

00000

-30001400

024

0000

18000015

00-700()例1：三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的

、

和

。行下标列下标元素值20法2：用十字链表表示用途：方便稀疏矩阵的加减运算方法：每个非0元素占用5个域right

downvji同一列中下一非零元素的指针同一行中下一非零元素的指针十字链表的特点：①每行非零元素链接成带表头结点的循环链表；②每列非零元素也链接成带表头结点的循环链表。则每个非零元素既是行循环链表中的一个结点；又是列循环链表中的一个结点，即呈十字链状。122100H19311825稀疏矩阵的加减运算容易实现21法3：用三元组矩阵表示：0

1290000

00000

-30001400

0240000

18000015

00-700121213931-3351443245218611564-7注意：为更可靠描述，通常再加一行“总体”信息：即总行数、总列数、非零元素总个数668ijvalue稀疏矩阵压缩存储的缺点：012345678将失去随机存取功能！22法4：用带辅助向量的三元组表示。方法：

增加2个辅助向量：①记录每行非0元素个数，用NUM（i）表示；②记录稀疏矩阵中每行第一个非0元素在三元组中的行号，用POS（i）表示。76531211202NUM(i)6543POS(i)21i0

12

90000

00000

-30001400

024

0000

18

000015

00-700-7461516182524341453-3139311221866vji0123456783用途：便于高效访问稀疏矩阵中任一非零元素。POS(i)如何计算？POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)用途后述23总结：右图所示稀疏矩阵的压缩存储形式。0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700至少有4种存储形式。法1：用线性表表示；法2：用十字链表表示；法3：用三元组矩阵表示；法4：用带辅助向量的三元组表示。

0

1290000

00000

-30001400

024

0000

18000015

00-700便于高效访问稀疏矩阵中任一非零元素失去随机存储功能24例3：下面的三元组表表示一个稀疏矩阵，试还原出它的稀疏矩阵。64612221123134445366116ijvalue01234566460

0000

00000000

0000

0000

0000

20012

000

30000

0040

06016

00025typedefstruct{

Triple

data[MAXSIZE+1];//三元组表，以行为主序存入一维向量data[]中intmu;//矩阵总行数intnu;//矩阵总列数inttu;//矩阵中非零元素总个数}TsMatrix;

三元组表的顺序存储表示（见教材P98）对三元组表data[]的整体定义

#defineMAXSIZE125000

//设非零元素最大个数125000typedefstruct{inti;//元素行号intj;//元素列号ElemTypee;//元素值}Triple;

对表中每个结点的结构定义26二、稀疏矩阵的操作0

129

0000

00000-3

000

14

00

0

24

0000

18

000015

00

-7

000

0–3001512

00018

0

90024000

0000-70

0140000

00000(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)(1,3,-3)(1,6,15)(2,1,12)(2,5,18)(3,1,9)(3,4,24)(4,6,-7)(5,3,14)已知三元组表a.data求三元组表b.data转置后MT（以转置运算为例，加减用十字链表）目的：27答：肯定不正确！除了：（1）每个元素的行下标和列下标互换（即三元组中的i和j互换）；还需要：（2）T的总行数mu和总列数nu也要互换；

（3）重排三元组内各元素顺序，使转置后的三元组也按行（或列）为主序有规律的排列。上述（1）和（2）容易实现，难点在（3）。若采用三元组压缩技术存储稀疏矩阵，只要把每个元素的行下标和列下标互换，就完成了对该矩阵的转置运算，这种说法正确吗？有两种实现转置的方法压缩转置快速(压缩)转置提问：28令：M矩阵中的列变量用col表示；

num[col]：存放M中第col

列中非0元素个数

cpos[col]：存放M中第col列的第一个非0元素的位置

（即b.data中待计算的“恰当”位置所需参考点）讨论：求出按列优先的辅助向量后，如何实现快速转置？col123456num[col]222110cpos[col]1计算式：cpos(1)＝1cpos[col]＝cpos[col-1]+num[col-1]

357890

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700Mcol123456由a.data中每个元素的列信息，可以直接从辅助向量cpos[col]中查出在b.data中的“基准”位置，进而得到当前元素之位置。想一想：是从原始矩阵M中来统计num[col]呢，还是从对应的三元组表a.data中统计更合理？三元组表a.data(6,4,-7)(6,1,15)(5,2,18)(4,3,24)(3,5,14)(3,1,-3)(1,3,9)(1,2,12)col

p/t1234...29Status

FastTransposeSMatrix（TSMatirxM,TSMatirx&T）{T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){for(col=1;col<=M.nu;col++)num[col]=0;

for(t=1;t

<=M.tu;t++){col=M.data[t].j;++num[col];}cpos[1]=1;

for(col=2;col<=M.nu;col++)cpos[col]=cpos[col-1]+num[col-1];for(p=1;p<=M.tu;p++){col=M.data[p].j;q=cpos[col

];T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;T.data[q].value=M.data[p].value;

++cpos[col];

}

//for}//ifreturnOK;}//FastTranposeSMatrix;快速转置算法描述：//M是顺序存储的三元组表，求M的转置矩阵T//先清0,再//统计每列非零元素个数//再生成每列首元位置辅助向量//p指向a.data，循环次数为非0元素总个数tu//查辅助向量得q，即T中位置前3个for循环用来产生两个辅助向量重要！巧妙修改向量内容（列坐标加1），使其不再固定指向本列第一个非零元素，而是预备给同列的下一非零元素定位之用元素转置301.与常规算法相比，附加了生成辅助向量表的工作。增开了2个长度为列长的数组(num[]和cpos[]）。传统转置：O(mu*nu)压缩转置：O(mu*tu)压缩快速转置：O(nu+tu)快速转置算法的效率分析：2.从时间上，此算法用了4个并列的单循环，而且其中前3个单循环都是用来产生辅助向量表的。

for(col=1;col<=M.nu;col++){};循环次数＝nu（列数）;

for(i=1;i<=M.tu;i++){};循环次数＝tu（非0元素个数）;

for(col=2;col<=M.nu;col++){};循环次数＝nu;

for(p=1;p<=M.tu;p++){};循环次数＝tu;

该算法的时间复杂度＝nu+tu+nu+tu=O(nu+tu）讨论：最恶劣情况是矩阵中全为非零元素，此时tu=nu*mu而此时的时间复杂度也只是O(mu*nu)，并未超过传统转置算法的时间复杂度。小结：稀疏矩阵相乘的算法略，见教材P101-103增设辅助向量，牺牲空间效率换取时间效率。31第5章数组和广义表（Arrays&Lists）①元素的值并非原子类型，可以再分解，表中元素也是一个线性表（即广义的线性表）。②所有数据元素仍属同一数据类型。5.1数组的定义5.2数组的顺序表示和实现5.3矩阵的压缩存储5.4广义表的定义5.5广义表的存储结构数组和广义表的特点：一种特殊的线性表325.4广义表的定义广义表是线性表的推广，也称为列表（lists）记为：LS=(a1,a2,……，an)广义表名表头(Head）

表尾(Tail)1、定义：①用小写字母表示原子类型，用大写字母表示列表。②第一个元素是表头，而其余元素组成的表称为表尾；n是表长在广义表中约定：特别提示：任何一个非空表，表头可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表！332、特点：有次序性有长度有深度可递归可共享一个直接前驱和一个直接后继＝表中元素个数＝表中括号的重数自己可以作为自己的子表可以为其他广义表所共享讨论：广义表与线性表的区别和联系？

广义表中元素既可以是原子类型，也可以是列表；当每个元素都为原子且类型相同时，就是线性表。34E=(a,E)=(a,(a,E))=(a,(a,(a,…….)))，E为递归表1）A=()2）B=(e)3）C=(a,(b,c,d))4）D=(A,B,C)5）E=(a,E)例1：求下列广义表的长度。n=0，因为A是空表n=1，表中元素e是原子n=2，a为原子，(b,c,d)为子表n=3，3个元素都是子表n=2，a为原子，E为子表D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))，共享表35ABDCeabcd②A=(a,(b,A))例2：试用图形表示下列广义表.（设

代表子表，代表元素）

e①D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))Aab①的长度为3，深度为3②的长度为2，深度为∞深度＝括号的重数＝结点的层数36广义表的抽象数据类型定义见教材P107-108ADTGlist{数据对象：D={ei|i=1,2,……,n;n≥0;ei∈AtomSet或Glist}数据关系：R1={<ei-1,ei>|ei-1,ei∈D,2≤i≤n}基本操作：InitGList(&L);

操作结果：创建空的广义表L.CreateGList