数值分析Newton-Cotes公式

第二节Newton-Cotes公式4.2.1牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式。在插值求积公式其中插值多项式

求积系数

公式的推导设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为那么，

令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由可知．所以记：Cotes系数且则有：Newton-Cotes求积公式Cotes系数性质几种常用的Newton-Cotes求积公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式1.n=1时的梯形求积公式按Newton-Cotes系数公式计算得

abab故求积系数A0,A1为记求积公式为-----梯形求积公式容易验证梯形公式的代数精确度的次数为1.在[a,b]上积分，可得考虑梯形求积公式的误差估计假定

用推广的积分中值定理，将过(a,f(a)),(b,f(b))点的线性插值的余项

2.

n=2时的Simpson（抛物线）求积公式按Newton-Cotes系数公式可以计算出

ab容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度．余项公式为：所以上述公式称为Simpson求积公式。3.n=4时的Cotes求积公式按Newton-Cotes系数公式可以计算出由此可得Cotes求积公式：ab余项公式为：n阶Newton-Cotes求积公式当n为偶数时代数精度为n+1x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算准确值为：0.9460831解：利用梯形公式可得：x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：例:用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:辛普森公式由辛普森公式余项知其误差为由于

柯特斯公式

误差为该定积分的准确值

这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。

误差与区间长度有关，区间长度越长，误差越大。利用积分区间可加性，将较长区间分成若干个小区间，在每个小区间上分别应用Newton-Cotes求积公式，再相加，即可得到复化的积分公式。4.2.2复化求积公式及其收敛性常用复化求积公式

复化梯形公式2.复化辛普生公式3.复化柯特斯公式

1.复化梯形公式复化梯形公式复化梯形公式（单击播放）2.复化辛普生（抛物线）公式复化辛普生（抛物线）公式

复化辛普生（抛物线）（单击播放）3.复化柯特斯公式

仿照同样的方法可得复化柯特斯公式：例：分别用复化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算准确值为：0.9460831解：利用复化梯形公式可得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709准确值为：0.9460831利用复化辛普生公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709利用复化柯特斯公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709准确值为：0.9460831

比较上面复化求积公式结果，它们都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值比较，复化梯形法的结果只有三位有效数字，而复化辛普生法的结果却有六位有效数字。下面我们考察复化求积公式的截断误差。4复化求积公式的截断误差：定理1：例用复化梯形公式计算定积分问区间[0,1]应分多少等份,才能使误差不超过