模块4：统计分析-综合指标法

1项目3：平均指标分析

项目4：变异指标分析案例1：对某小组某月进行统计，资料整理如下表：性别工资

总体的综合数量指标女男男男女男700800850900900950该组人数为6人该组成员男4人女2人该组工资总额为：700+800+850+900+900+950=5100

总量指标?计算一下平均工资？3项目3：平均指标分析

任务1：认识平均指标平均指标的概念

:平均指标又称平均数，它反映了社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。平均指标的特点：1、抽象性，即总体内各单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时把这种差异平均了。2、代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值的一般水平。4平均指标的作用：作用一，可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平作用二，可以用来对同一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律作用三，可以作为论断事物的一种数量标准作用四，可以用来分析现象之间的依存关系作用五，可以估算和推算其他有关指标5平均指标的种类

1、平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。2、按其表现形式可分为数值平均数和位置平均数。凡根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数，常见的主要包括算术平均数、调和平均数和几何平均数；凡根据总体标志值的位置确定的平均数，称为位置平均数。常见的主要有中位数和众数。平均数分类静态平均数动态平均数数值平均数位置平均数算术平均数调和平均数几何平均数众数中位数7任务2：计算与应用算数平均数一、算术平均数的含义1、算术平均数是同一总体的标志总量除以其单位总量。

基本公式是：算数平均数=注意：1、分子分母属于同一总体2、平均数的计量单位与分子计量单位一致3、算术平均数不同于强度相对数8[例1]某企业某班组有8名工人，某日各人日产量（件）分别为：12121313

13161717，则该组工人的平均日产量为：

归纳简单算术平均数法9如果我们在掌握了总体各单位标志值的原始资料，就可以直接将各标志值相加除以总体单位总量计算简单算术平均数。计算公式：式中：——算术平均数

——总和符号x——总体各单位标志值n——总体单位数注意：1、该公式用于未分组的资料2、受极端值的影响二、计算与应用简单算术平均数10[例2]就例1的资料，把工人按日产量分组可得表5-1表5—1加权算术平均数计算表按日产量分组（件）x工人数f各组日产量（件）xf

12131617231224391634合计8113[例1]某企业某班组有8名工人，某日各人日产量（件）分别为：12121313

13161717，则该组工人的平均日产量为：11根据表资料，计算平均日产量应是：

=在加权算术平均数公式中，f称为权数。这是因为在各组标志值一定的情况下，f的大小对X的大小起着权衡轻重的作用。归纳加权算数平均数12当掌握分组资料，且各个标志值出现的次数不相同时，就可以以各组的单位数为权数采用加权算术平均数。1、由单项式数列计算的加权算术平均数三、计算与应用加权算术平均数13[例3]将资料2改为加权算术平均数计算表表5—2工人按日产量分组情况按日产量分组（件）工人数（人）各组日产量（件）12131617213224134834合计8119按日产量分组（件）x工人数f各组日产量（件）xf

12131617231224391634合计8113【例2】=则有平均日产量

=平均日产量14可见，某组标志值出现的次数越多，即权数f越大，平均数受该组的影响就越大，反之亦然。如果各组次数完全相同，即各组f相等，权数的权衡轻重的作用消失，则可得：当f1=f2=…=fn=f（≠0）加权算数平均数=简单算术平均数

[例4]据例2资料，以各组次数占总次数为权数，计算平均日产量。表5—3加权算术平均数计算表按日产量分组（件）x工人数f（人）工人数占总人数比重（%）

1213161723122537.512.52534.87524.25合计810014.125==14.125162、由组距数列计算加权算术平均数表5—4某商场食品部工人日销售资料按日销售额分组（元）职工人数（人）f组中值x各组销售额（元）xf2000—25002500—30003000—350027722502750325045001925022750合计16—46500加权算数平均数公式的选择：1、已知x、f，运用基本公式2、已知x，，运用变形公式=小思考根据组据数列计算的平均数是真实的平均数吗？算术平均数的数学性质1、各变量值与算术平均数离差之和为零2、总体标志总量等于其算术平均数乘以总体单位总量3、加权算术平均数中，所有权数同比例的变化，则平均数不变20

[引例7]某集贸市场西红柿的价格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元。（1）若早、中、晚各买1千克，其平均价格为多少？（2）若早、中、晚分别买1千克、2千克、3千克，其平均价格为多少？（3）若早、中、晚各买1元钱，其平均价格为多少？解答:（1）

（2）任务3：计算与应用调和平均数(3)用算术平均数的原理计算：①早、中、晚各买1元钱，合计花3元。②早上用1元钱可买1／1＝1千克，中午用1元钱可买2千克,晚上用1元钱可买4千克,合计共买西红柿7千克。③平均价格为：用公式概括其计算过程：

(元/千克)归纳调和平均数的含义22调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，因而也称为倒数平均数。与算术平均数一样，由于掌握的资料不同，分为简单调和平均数和加权调和平均数。一、调和平均数的含义23二、计算与应用简单调和平均数简单调和平均数是标志值倒数的简单算术平均数的倒数适用情况：在各个标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，用简单调和平均数，即在各变量值对平均数起同等作用时应用。其计算公式为：式中——调和平均数；x——各标志值；n——项数。24加权调和平均数：是各变量值倒数的加权算术平均数的倒数。适用情况：在各个标志值相应的标志总量不相等的情况下求平均数，用加权调和平均数，即在各变量值对平均数起的作用不同时应用。

式中：m——调和平均数的权数三、计算与应用加权调和平均数25[例8]如例7资料，早上买西红柿为3元，中午买2元，晚上买1元，则其平均价格为：价格（元/千克）1.000.500.25合计金额m3216

数量（千克）m/x34411

调和平均数与算术平均数的关系

m=xf

推导出调和平均数与算术平均数的实质是一致的。各适用于不同条件下的：1、已知变量值，权数时，运用算术平均数；2、已知变量值，各组标志总量时，运用调和平均数；从这个意义上讲，调和平均数是算术平均数的一种变形应用。27下面通过实例来说明加权算术平均数和加权调和平均数两种方法的应用。［例9］某饭店分一部、二部、三部，2010年计划收入分别为300万元、260万元、240万元，计划完成程度分别为102％，107％，109％，求平均计划完成程度。根据掌握的资料，平均计划完成程度应采用以计划收入为权数的加权算术平均法来计算，见表5—7。28表5—7某饭店计划完成资料及计算表平均计划完成程度为：计划完成（%）x计划收入（万元）f实际收入（万元）xf

一部二部三部102107109300260240306.0278.2261.6合计800845.829

计划完成数（%）x实际完成数（万元）m计划收入（万元）m/x

一部二部三部102107109306.0278.2261.6300260240合计-----845.8800平均计划完成程度为：表5—8某饭店实际完成资料及计算表30［例10］2010年某工业部门相关指标数值，计算平均生产工人劳动生产率。资料见表5—9。表5—92010年某工业部门有关资料按劳动生产分组（万元/人）工业增加值（万元）2—44—66—88—10746060.78593670.911151155.531147773.57合计3638660.7931表5—102010年平均生产工人劳动生产率计算表将表中数值代入公式，可得平均生产工人劳动生产率为：按劳动生产分组（万元/人）组中值（万元/人）x工业增加值（万元）m生产工人数（人）m/x2—44—66—88—103579746060.78593670.911151155.531147773.57248687118734164451127530合计—3638660.7965940232几何平均数是若干个变量值的连乘积开数次方来计算的一种平均数。1、简单几何平均数是用n个变量相乘开n次方的算术平方根来计算的平均数。2、加权几何平均数：

对于每个变量值的次数不同的分组资料，采用加权几何平均数。

任务4：计算与应用几和平均数33[例11]某企业生产某种产品要经过三道工序，第一道工序的产品合格率是92%，第二道工序的产品合格率是95%，第三道工序的产品合格率是90%，要求计算该产品三道工序的平均合格率。

[例12]某银行各月的利率分配为：有4个月为3％，2个月为5％，2个月为8％，3个月为10％，1个月为15％。要求计算月平均利率。该例分两步计算：

(1)先计算平均月本利率：＝＝1.0682(2)再计算月平均利率为：

G－1=106.82％－100％＝6.82％35一、中位数（一）中位数的概念及特点1、概念：将总体的各单位的标志值按大小顺序排列，处于中间位置的那个标志值就是中位数，用符号Me表示。2、中位数的特点1）代表整个总体各单位标志值的平均水平2）不受极端值的影响任务5：计算与应用位置平均数361、根据未分组资料计算①当n为奇数时，中位数就是居于中间位置的那个标志值。［例13］设有9个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为67778991014。中位数的位置：Me=8(件)（二）中位数的确定②当n为偶数时，中位数是处于中间位置的那两个标志值的算术平均数。［例］设有10个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为6777899101418。中位数位置中位数Me=(件)2、根据分组资料计算38（1）根据单项数列确定中位数[例14]某学院2009到2010学年共有30名同学获得奖学金的分布情况下表表5—11学生获奖学金分布情况及计算表奖学金金额（元/人）人数（人）人数累计3005008001000150036876合计30

向上累计（人）39172430—

向下累（人）302721136—

39中位数位置为：=（人）无论是向上累计法还是向下累计法，所选择的累计人数数值都应是含15人的最小数值。表中的向上累计17和向下累计21符合这一要求，它们对应的都是第三组。即Me

=800元。40（2）根据组距数列确定中位数[例15]某企业职工按月收入总额分组情况如下表41

①用下限公式估算中位数的值：式中：——中位数L——中位数所在组下限——总体单位总数

——中位数所在组的次数

——中位数所在组之前的向上累计次数

d——中位数所在组的组距42将数值代入上公式计算出：(元)如果就表所给的资料，计算出向下累计户数，①用上限公式估算中位数的值：式中：U——中位数所在组的上限

——中位数所在组之后的向下累计数43（一）众数的概念与条件概念：众数是总体中各单位出现次数最多的那个标志值。适用条件：只有当总体单位数比较多，且标志值的分布具有明显的集中趋势时，众数的确定才有意义。二、众数44（二）众数的确定

首先要将数据资料进行分组，编制次数分布数列；然后，根据变量数列的不同种类采用不同的方法。1、由单项数列来确定众数在单项式数列情况下，运用观察发找出次数出现最多的那个标志值即众数452、由组距数列来计算众数仍以表5—12为例，通过观察，第四组的次数最多，故可确定众数在第四组内。利用差数法，可以推断出众数的近似值的公式为：46下限公式

式中：——众数

L——众数所在组的下限

d——众数所在组的组距

——众数组与前一组次数之差

——众数组与后一组次数之差47上限公式

式中：u——众数所在组的上限48算术平均数应用最广泛的一种平均数调和平均数算术平均数的转化形式,这种平均数使用较少。而且，它要求每个原数据值都不能为零。几何平均数用于计算相对数（如比率、速度等）的平均数中位数平均数的补充形式，两者都是为避免原数据中极端值的影响而采用的方法，都不受每个原数据大小的影响，而只受位置和次数的影响。众数根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是不同的。就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。导入案例16：某企业甲、乙、丙三个班组，每组都是五人，生产同一种产品，每人每日生产件数(单位：件)如下：甲组：73，74，75，76，77乙组：50，65，70，90，100丙组：75，75，75，75，75要比较三个班组的生产水平，需分别计算每人平均生产件数。＝＝75(件)

＝＝75(件)

＝＝75(件)计算结果表明，三组工人的平均水平都是75件,也就是说，三组工人的生产水平没有差别。而事实上三组工人的生产水平差异是比较大的。反映离散趋势的统计量–

标志变异指标如下如所示，三个不同的曲线表示三个不同的总体，其均值相同，但离中趋势不同。因此，要说明平均水平代表性的大小，必须与变异指标结合运用。51一、标志变异指标的意义（一）标志变异指标的含义

标志变异指标又称标志变动度，是用来说明总体各单位某一数量标志值差异程度的的综合指标，反映标志值分布的离中趋势。一般而言，标志变动度越大，平均数代表性越小，反之，平均数代表性越大。

任务6：计算与应用标志变异指标52（二）标志变异指标的作用1、可以衡量平均指标的代表性。2、标志变异指标可以说明社会经济现象变动过程的均衡性、节奏性和稳定性。3、标志变异指标是统计分析的一个基本指标。（三）常用标志变异指标全距平均差标准差标志变动系数53（一）全距概念：全距又称极差，它是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，用R表示，其公式表示为R=最大标志值—最小标志值计算导入案例的全距：甲组：73，74，75，76，77乙组：50，65，70，90，100丙组：75，75，75，75，75优点：直观、简单、易于理解缺点：粗糙、不全面二、计算标志变异指标54概念：平均差是总体中各单位标志值与其平均数离差绝对值的算术平均数，用符号“A.D”表示。计算方法：1、简单平均差如掌握的资料未分组时可用简单平均差来计算。其计算公式：导入案例16的平均差的计算比较见下一幻灯片（二）平均差55甲组工人日产量平均差

（件）乙组工人日产量平均差：（件）丙组工人日产量平均差：

（件）比较：说明丙组工人平均日产量的代表性最大，乙组工人的平均日产量的代表性最小，而甲组代表性介于中间。56如果掌握的资料分组时，应采用加权平均法计算平均差。其计算公式为：2、加权平均差57[例19]以某企业某车间工人日产量资料为例，见表5—16

1、首先计算平均数如下：（件）582、计算平均差：（件）59（三）标准差概念：标准差是总体各单位标志值对其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。又称均方差，用表示标准差计算方法：1、简单标准差如掌握的资料未分组时可用简单标准差来计算，其计算公式为：60[例20]以甲、乙两班学员的年龄为例，计算其标准差61由表中资料计算：甲班标准差（岁）乙班标准差（岁）62如掌握的资料为分组资料时，可采用下面公式计算加权标准差：式中f是各组的权数，其他符号与简单标准差计算式中的意义相同。2、加权标准差63[例21]对于分组资料：已知甲车间工人的平均日产量42千克，其标准差为5.6千克。乙车间工人的产量资料如下，计算乙车间工人的平均日产量及标准差。fxxf64乙车间平均产量：

（千克）乙车间标准差：

（千克）比较甲乙车间平均日产量的代表性：甲乙平均日产量相等，标准差分别：5.6千克，7.8千克说明乙车间工人平均日产量的代表性小于甲车间。65（四）标准差系数[例22]某车间某小组有6个工人，分别带了1个徒工，其日产量（件）数列如下：甲组（6个工人组）：626570738