数学分析简明教程答案09

第九章再论实数系§1实数连续性的等价描述1．求数列的上、下确界（若无上（下）确界，则称是的上（下）确界）：（1）（2）；；（3）；（4）（5）；；（6）解（1）（2）（3）（4）．；；；；（5）；．（6）2．设在上定义，求证：(1)(2)；．证明(1)设，则，都有，因而，因此，又由于，都，使得，因而.(2)设，则有，从而，又由于都，使得，从而，因此.3．设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何？证明由已知条件知且，因而(1)(2)，有；，都存在，使得．由(1)、(2)知：对对，存在，使得，；，使得，使得并且并且；；对，…如此继续下去，得数列且互不相同，并且，则．若．，则结论不真，如，但没有互不相同的数列，使4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界．证明(1)由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界；(2)设，则，当时时，因而，因而是数列是数列的下界，的上界，由确界原理知数列存在下确界；(3)设，则，当由确界定理知数列存在上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：（1）有上确界无下确界的数列；（2）含有上确界但不含有下确界的数列；（3）既含有上确界又含有下确界的数列；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．解（1）有上确界无下确界的数列，如有上确界，但无下确界；（2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取，则该数列含有它的上确界，但下确界，该数列不含有0；（3）既含有上确界又含有下确界的数列，如0；，既含有上确界1，又含有下确界（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如则数列有上确界3和下确界0，该数列上含其上、下确界3和0．§2实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4．证明设数列有界，即存在，使得对，都有．下证有收敛子列．（1）若存在子列是常数列，则是的收敛子列．（2）若不存在是常数列的子列，下证有收敛子列，为此设，则是无限点集．反设没有收敛的子数列，则都不是的任一子数列的极限，因此对，都存在开区间，使得且是有限集（否则对包含的任一开区间都有的无穷项，则是的某一子列的极限），因此所有开区间构成闭区间的一个开覆盖，由有限覆盖定理知存在有限数，使，因而有，注意到上式右端每一项都是有限集，故为有限集，矛盾!综合（1）（2）知必有一收敛的子数列．2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．证明设数列单调递增且有上界，则是有界数列，由紧致性定理知数列必有收敛子数列，设，则由单调递增知必为数列的上界，且根据数列极限的定义知当时，有，即，特别地取，，则当时，由数列单调递增且为它的上界知，即，从而，即单调递增有上界数列必有极限．同理可证单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．证明不妨假设数列单调递增有上界（，下证数列单调递减有下界可同理证明)，即存在，使得有极限．若取，则为常驻列，故收敛，因而以下假设．，二等分区间；若，分点为，若仍为的上界，则令不是不是的上界，即存在，使，则令.二等分区间，分点为，若为的上界，则令；若的上界，则令依此类推得一闭区间套，每一个区间的右端点都是的上界，由闭区间套定理知存在唯一的，使得属于所有闭区间，下证数列的极限为．由于，故根据数列极限的定义，，存在，当时，都有，而，故.（*）另一方面，由闭区间套的构造知，使得，故对，由于，故.而由（*）知列必有极限.，即，从而，因而单调有界数4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样？若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样？试举例说明．分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列满足且，但不存在，使属于所有区间．（2）若将定理其它条件不变，去掉条件，则定理仍不成立，如是闭区间列，且，但显然不存在，使属于所有区间．（3）若去掉定理条件，则定理仍不成立，如闭区间序列满足，此时区间内任意一点都属于闭区间序列的任何区间，与唯一性矛盾．5．若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,（为有限数）．证明由于无界，故，都存在，使得，因而．又由于不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知，对，存在，使得.从而对于，数列为有界数列，从而必有收敛子列．故结论成立．6．有界数列证明由于若不收敛，则必存在两个子列．为有界数列，由紧致性定理知数列必有收敛的子列中去掉，不妨设，又因为数列不收敛于，故从后所得的项还有无穷多项(否则数列就收敛于)．记其为数列，又因为为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为，则，而此子列也是的子列，故设其为，因而.7．求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列．证明必要性：由紧致性定理知结论成立．充分性：反设数列无界．若是无穷大量，则有一子列的任何子列都不存在收敛的子列，矛盾；若不是无穷大量，则由第5题知是无穷大量，从而没有收敛的子数列，也矛盾．因而数列有界．8．设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在，则对，即上有界．，存在证明对，由于在处的极限存在，故设，，当时，有，则，从而，取，都有在区间上有界．对所有，在下所取的为半径的开区间构成闭区间上的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在，使得，而在每个区间上有界．上有界，又由于区间个数有限