数学分析简明教程答案

第十章数项级数§1级数问题的提出1．证明：若微分方程有多项式解，则必有．证明由多项式解得，.从而且，.将上述结果代入微分方程，得.比较系数得递推公式如下：由此解得，因而．2．试确定系数，使满足勒让德方程.解设，则，，故，，.将上述结果代入勒让德方程，得.比较系数，得递推公式如下：由此解得从而可以得到.其中取任何常数．§2数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）由于，故，所以级数的和.（2）由于，故.所以级数的和.（3）．（4），因此欲求原级数的和，只需计算级数即可．对级数，设其部分和，则，故.从而，即，因此原级数．（5）由于级数的部分和，故，从中解得.又由于当时，，故，因此．（6）级数的部分和，从而，从中解得.因此．2．讨论下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）由于通项，故原级数发散．（2）由于，均收敛，故原级数收敛．（3）由于通项，故原级数发散．（4）由于，从而部分和，因而原级数收敛．（5）由于，从而时，，故原级数收敛．3．证明定理10.2．定理10.2若级数,收敛，则级数也收敛，且.证明设，则由已知条件知，存在有限数，使得，设级数的部分和数列为，则，所以也收敛，且．4．设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数，即，其中，若收敛，证明原来的级数也收敛．证明设，则.由于收敛，故有界，即{}有界，即存在，使得，都有.又由于是正项级数，故，而且{}单调上升，由单调有界原理可知，原级数收敛．§3正项级数1．判别下列级数的收敛性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）；；；；；；；；（9）；；（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）；；；；；；；；；（20）．解（1）．由于，而发散，所以级数发散．（2）．对任意正整数，都成立关系式，而级数收敛，由比较判别法知，原级数收敛．（3）．由于，所以级数发散．（4）．由于，而收敛，故收敛．（5）．由于，故，而收敛，由比较判别法知，级数收敛．（6）（7）（8）（9）．由于，而发散，故．由于，故级数发散．收敛．．由于，故原级数收敛．．方法1因为，而和均收敛，故收敛．方法2由于对一切都成立，而收敛，故收敛．（10）．由于，而收敛，故原级数收敛．（11）．由于，因此，若收敛，则原级数收敛.考虑级数，由于，且收敛，故收敛，因而原级数收敛．（12）（13）（14）（15）（16）（17）．由于，而收敛，因而原级数收敛．．由于，而发散，因而原级数发散．．由于，由级数收敛的必要条件知，原级数发散．．由于，而收敛，故原级数收敛．．由于，而级数收敛，故原级数收敛．．由于，而级数收敛，故原级数收敛．（18）．由于极限，而对于级数，根据，故由根式判别法知，级数收敛，因而原级数收敛．（19）．对通项进行分子有理化可得，由于发散，故原级数发散．（20）．由于，而级数均收敛，因而原级数收敛．2．判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解（1）．由于，所以发散．（2）．由于，根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛．（3）．由于，故收敛．（4）．由于，故发散．（5）．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比判别法判别，但由斯特林公式可知，因而，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知原级数发散．（6）．因为，故收敛．（7）．由于，由柯西判别法知，原级数收敛．（8）．由于，因此，如果级数收敛，则原级数也收敛.考虑级数，由于，故它收敛，因而原级数也收敛．（9）．当时，级数显然收敛；当时，由于因而收敛，因此原级数对一切收敛．（10）．级数的一般项，由于，因而原级数收敛．3．判别级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（是任意实数）；（8）（是任意实数）．解（1）．当时，故当时，而收敛，由比较判别法知，原级数收敛．（2）．由于，且，故存在，当时，从而，即当时，，而级数收敛，故原级数收敛．（3）．方法1由于，该极限为型极限，由L＇hospital法则得，由Raabe判别法知，原级数发散．方法2由于，所以，而级数发散，由比较判别法知，原级数发散.（4）．由于，由Raabe判别法知，原级数收敛．一般地，对，当时，对一切，成立，所以，从而发散；当时，由于，由Raabe判别法知，级数收敛．（5）．由于，所以存在，当时，有，即，从而，故，而收敛，故收敛．（6）．由于，所以存在，当时，有，即，从而，故，而收敛，故收敛．（7）（是任意实数）．由于当时，，所以若发散，则原级数必发散，而时发散，因而时，原级数发散．当时，由于，因而，利用柯西积分判别法知，原级数收敛．（8）（是任意实数）．当时，由于且收敛，故原级数收敛；当时，由于，因而，由柯西积分判别法知，原级数发散；当时，由于，而就是前面时的级数，已证得它发散，因而原级数发散．4．利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）．令，则，从而，因此.该极限为有限数，因而与是同阶无穷小量，由于当时收敛，时发散，因而原级数当时收敛，时发散．（2）．由于，故，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因此原级数与的收敛性一致，所以当即时，原级数收敛，而当即时，原级数发