2022年高考数学一轮复习 三定问题及最值（精练）（解析版）

9.6三定问题及最值（精练）【题组一定点】1．（2021·北京新农村中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为.直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的标准方程；（2），直线AB的方程为，联立，消去y得，由韦达定理得，直线的方程为，令，得，又，所以，所以直线与轴的交点是定点，其坐标是.2．（2021·全国高三开学考试（理））已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）离心率为，则，，即双曲线方程为．又点在双曲线C上，所以，解得，，所以双曲线C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设，，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在．不妨设直线AB的方程为，代入，整理得，设，，则，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或．当时，直线AB的方程为，经过定点；当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意．综上，直线AB过定点（0，1）．3．（2021·江苏周市高级中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，．交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）（2）直线过定点，证明见解析.【解析】（1）设，由题意可得：，即两边同时平方整理可得：，所以曲线的方程为：；（2）若直线，斜率都存在且不为，设：，则：，由可得：，当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意，当时，，由韦达定理可得：，所以点的横坐标为，代入直线：可得：，所以线段的中点,用替换可得，，所以线段的中点，当时，，直线的方程为：，整理可得：，此时直线过定点，若时，则，，或，，直线的方程为，此时直线也过点，若直线，中一个斜率不存在，一个斜率为，不妨设斜率为，则：，：，此时直线的方程为，此时直线也过点，综上所述：直线过定点，4（2021·全国）已知双曲线（，）的左焦点为，，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线的另一个交点是，直线与双曲线的另一个交点是．当点的坐标为时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在双曲线上运动时，证明：直线经过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题，知，因为，，所以，得，所以．①因为点在双曲线上，所以，②由①②得，，，所以双曲线的标准方程为．（2）由（1）得，设，则，易知或，当时，直线的方程为将直线的方程与双曲线的方程联立，消去得．因为在双曲线上，所以，所以，得．由题易知，，所以，即，所以，则，同理，．所以，所以直线的方程为，由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，在直线的方程中令，得，所以直线过定点．当时，直线的方程为，代入的方程，得，不妨设，则，，可得直线的方程为，与的方程联立，可得，解得或，将代入，可得，得则直线的方程为，令，得即直线过点．综上，当点在双曲线上运动时，直线经过定点．5（2021·全国高三）双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的两条直线，与双曲线分别交于，两点(，两点不与点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得双曲线的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，依题意得，即，即，①又点在双曲线上，所以，即，②由①②解得，，所以双曲线的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线的斜率存在.不妨设直线的方程为，代入，整理得，，设，，则，，由，得，即，整理得，所以，整理得，即，所以或.当时，直线的方程为，经过定点；当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意.综上，直线过定点.6．（2021·全国高三专题练习）已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.（1）当运动到时，求的值；（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】解：（1）由曲线，得渐近线方程为，作示意图如图所示：设，，则则，又，.（2）设，，，设直线的斜率为，则，又，得得，由，则，即，得，同理，由，则得，则，得，又，得，即为定点.【题组二定值】1．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三月考）已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设点，，由，可得：，即，将，代入双曲线方程得，消去，解得：，又点在轴上方，点在轴下方，，，，直线的方程为.（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，，可设直线的方程为，，，联立方程，消去整理得：，则，解得：，，，又，，，，，又，，即为定值.2．（2021·广东珠海市·高三月考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．【答案】（1）；（2），，或者，．【解析】（1）由题意．且．联立解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，过点的动直线为：．设，，联立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化简得，所以，．化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上．综上，，，或者，．3．（2021·福建高三月考）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点在圆：上，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，问(为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】(1)；(2)的面积是为定值，定值为1.【解析】(1)不妨设，，因为，从而，，故由，又因为，所以，又因为在圆：上，所以，所以双曲线的标准方程为：.(2)由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，当动直线的斜率不存在时，，，当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线：，故由，从而，化简得，，又因为双曲线的渐近线方程为：，故由，从而点，同理可得，，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积是为定值，定值为1.4．（2021·全国高三月考）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）的渐近线为，，，，所以双曲线的标准方程.（2）由已知，，过点与右支交于两点，则斜率不为零，设，由，消元得，因为与双曲线右支交于两点，所以，解得，，，，，，，存在使得.5．（2021·河北唐山·高三开学考试）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，∴，解得①又∵点在E上，∴②由①②可得，.∴双曲线E的方程为.（2）过点的直线l斜率显然存在，设l的方程为：，，，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，依题意，且，所以且，因此，可得，.∴.6．（2021·渝中·重庆巴蜀中学）已知双曲线的渐近线方程为：，且过点（1）求双曲线的标准方程（2）过右焦点且斜率不为的直线与交于，两点，点坐标为，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得：解得：，所以所以双曲线的标准方程为；（2），所以，设直线：，，，由可得：，所以，，，所以.【题组三定直线】1．（2021·北京二中高三）已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上项点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当k=2时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上.【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】(1)因为，所以，即，因为离心率为，则，设，则，又，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆的标准方程为.(2)设，由直线的点斜式方程可知，直线的方程为，即，与椭圆方程联立，，整理得，则，所以，原点到的距离，则的面积.(3)由题意知，直线的方程为，即，设，则，整理得，则，因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，设，因为在同一条直线上，则，因为在同一条直线上，则，所以，所以，则交点T恒在一条直线上.2．（2021·上海徐汇区·位育中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且椭圆上存在一点P，满足，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A、B分别是椭圆C的左、右顶点，过的直线交椭圆C于M、N两点，记直线的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）设，△内，由余弦定理得，化简得，解得，故，，，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，设，，，，，，①，②两式相除得．又，故，③设的方程为，代入整理，得，△恒成立．把，，代入③，，得，得到，故点在定直线上．3．（2021·福建漳州三中高三）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：（i）点在定直线上；（ii）若直线与交于点，则.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（1）由题意可知：，所以点到点与到点的距离之差为2，且，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设其方程为，其中，，所以，，所以，所以曲线的方程为.（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.联立，消去，可得，由题意知且，所以，.直线：，直线：①，由于点在曲线上，可知，所以，所以直线：②.联立①②，消去可得，即，所以，所以，所以，所以点在定直线上.（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.设，，由于在直线：上，在直线：上，所以，，所以，又因为，，所以，所以.4．（2021·上海高三）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【答案】9【解析】由消去化简整理得设，，则①由消去化简整理得设，，则②因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．5．（2021·江苏南通·高三）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.（1）证明：线段的中点在定直线上；（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.【答案】（1）证明见解析；（2）点，，三点共线.【解析】（1）设，则，因为点在第一象限，所以，对两边求导得：，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，则，所以，所以线段的中点为所以线段的中点在定直线上.（2）若，则.所以，，因为，所以，所以，直线.由得，所以或2，所以，由得，所以或8，所以.因为，，，所以，，所以点，，三点共线.6．（2021·江苏高三）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；（2）若，求证：的垂心在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设，，由得，所以，所以直线的斜率为.∴直线的方程为，整理得①同理可得的方程为②∵，均过，∴∴直线既过，也过，∴直线的方程为：设与轴交于点，则，所以，在①式中令，∴，同理∴，∴.（2）仿照（1）知方程为，，，，，由∴.∵为的垂心设，，，由∴∴，故的垂心在定直线上.【题组四最值（范围）】1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高三月考（理））已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）四边形的面积的最大值为，此时.【解析】（1）由题意可得，则，将代入椭圆方程可得，则，得，由题意可得，所以，，因此，椭圆的方程为；（2）易知点、，直线的方程为，即.不妨设、且，，，则，设到直线的距离为，到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最大值为，此时.2．（2021·上海市控江中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【解析】（1）令，则，由知：，又，，∴，则，设直线为，联立抛物线方程整理得：，则，∴，故直线为，即直线过定点.（2）设，则，，∴，令，∴且，∴当时，；当时，.∴.（3）由（1），直线为，联立抛物线整理得：，∴，，有，由在第一象限，则，即，∴，可得.，又到的距离，∴，而，∴，∴，整理得，∴，即，又，得：.∴的最小值为.3．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直线与x轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故，因为线段AB的中点是，设，则，且，又，作差可得，则，得又，所以，因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立，解得或，不妨令，易知直线l的斜率存在，设直线，代入，得，解得或，设，则，