高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何

2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何高考数学难点突破专题训练（5）立体几何★热身训练1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）如图，棱长为4的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是A． B． C． D．2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）（多选题）如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（

）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题）如图，在四棱锥S－ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，SA＝3．(1)求二面角S－CD－A的大小；(2)点P在线段SD上且满足eq\o\ac(\S\UP7(→),SP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),SD)，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．4.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）如图，空间几何体中，四边形是梯形，，四边形是矩形，且平面平面，M是线段上的动点.（1）试确定点M的位置，使平面，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面将几何体分成两部分，求空间几何体与空间几何体的体积的比值.（7分）★高考引领本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。教材习题求函数的最大值。试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为”.（1）按处理方向处理，形成1稿.1稿已知一正四棱锥的高为,侧棱长为，记，求其体积的最大值及此时的长。提示：，2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥，其侧棱长为，其底面正方形的中心为,下部分形状为正四棱柱，其底面正方形的中心为,要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.2稿分析：记，则；注意到，当且仅当，即时，等号成立；，.2016年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为的情况，,）按处理方向处理，形成问题变式.变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为,底面圆圆心为的圆锥，其母线长为，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为，要求圆柱的高是圆锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是《江苏高考数学复习指南》（刘蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：《拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法》★难点突破：立体几何（1）1.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）A. B.1 C.2 D.42.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为（）A.28 B. C.32 D.243.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为eq2\r(,3)的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为A．eq\f(28\r(,7),3)πB．eq\f(32,3)πC．eq8\r(,6)πD．4eq\r(,3)π5.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）A．在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的最大面积为B．无论点在线段上如何移动，都有C．圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等D．圆柱外接球体积的最小值为6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E为A1D的中点，则A．B1E⊥A1CB．BE与B1C所成的角为eq\f(π,3)C．四面体A1EBC1的体积为eq\f(1,6)D．A1C与平面ABC1D1所成的角为eq\f(π,6)7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）（多选题）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是A．MG的最小值为eq\f(\r(,3),6)B．若MA＋MG＝1，则点M的轨迹是椭圆C．若MA＝eq\f(\r(,15),6)，则点M的轨迹围成图形的面积为eq\f(π,12)D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°8.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）（多选题）在正方体中，，则下列说法正确的是A.若，则B.若，为线段上的动点，则四面体的体积为定值C.若，，为线段的中点，则D.若，则线段AP的长度为定值9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在棱长为2的正方体中，为BC的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段MN的最小值为______．10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M，N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧．(1)求证：四边形ANCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．11.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．(1)求证：PA⊥CD；(2)连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．12.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）证明：平面；（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.13.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝2eq\r(,3)，M是线段PC上的一点(不与端点P，C重合)．(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)若点M是线段PC上靠近C的三等分点，求锐二面角M－BD－C的大小．14.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．（1）证明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角的余弦值最大．★难点突破：立体几何（2）1.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.2.（2023届12