2023年经济数学基础学习材料第三篇及期末复习提要

第三篇线性代数第1章行列式(不作为考试内容）第2章矩阵§1矩阵的概念我们知道，线性方程组的系数及常数项组成一张数表,线性方程组的解取决于这张数表。定义由个数排成行列的矩形阵表，称为矩阵,记为当时,称为方阵,如，等;当时，称为行矩阵；当时，称为列矩阵;ﻩ当时，称为零矩阵；记为，如，等。矩阵只是一张数表,不是一个数，因此，不能展开,不能求值,也不能比较大小。如=1,<,等都是错误的。定义设,是两个矩阵,若(1）、、同阶;（2)、则称。例设，若,则，，,，,。例设，，且,则。§2矩阵的运算设，是两个同阶矩阵。一、加法:，(相应元素相加)例设则＝二、减法:,(相应元素相减）例设则=三、数乘:，（用遍乘中所有元素)例设，则例设，，且，求矩阵。解由,得=－＝=＝四、乘法:设，,则,其中的第行的第列。相乘条件：的列数=的行数。相乘结果：是一个矩阵，即：(m）(相乘结果相乘条件相乘结果相乘条件例设,，求。解=例设,,求，。解==从而例设,,求,。解=，=矩阵乘法满足：（1)、结合律(2)、分派律，不满足:（1)、互换律(２)、消去律即若，且，则（3）、若，则或一般地，若、是同阶方阵,且，则称与是可互换矩阵五、乘幂:设是阶方阵，定义(个）例设,则====等等，一般地=。例设、是同阶方阵，计算，。解一般地,一般地，六、转置:设，则称为的转置矩阵。结论:（1)、的行变成的列,的列变成的行;(2）、设是矩阵，则是矩阵。例设，求，。解=＝性质:(1）、(2)、（3）、（4）、例设、都是矩阵,则下面运算可进行的是(）。、、、、例设为矩阵，为矩阵,且乘积故意义,则是（）矩阵。、、、、练习设，,则。§3几类特殊矩阵一、对角形矩阵对角矩阵：性质：同阶对角矩阵的和差、数乘、积、转置仍为对角矩阵；数量矩阵：性质：同阶数量矩阵的和差、数乘、积、转置仍为数量矩阵;单位矩阵：记为，如，,等等。例设,求，。解==＝,同样可得一般地,对任意方阵,有（类似于数1)对于单位矩阵，有，等等。例下面式子是否成立?（1）（2）二、三角形矩阵上三角矩阵:下三角矩阵：性质:同阶上（下）三角矩阵的和差、数乘、积仍为上（下)三角矩阵。三、对称矩阵定义若方阵满足，则称为对称矩阵例是对称矩阵若矩阵对称(即主对角线对称位置上的元素必相应相等)性质:同阶对称矩阵和、差、数乘仍为对称矩阵。注意:两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。例设,都是对称矩阵。而=却不是对称矩阵。例试证对任意方阵，，均是对称矩阵。证是对称矩阵;是对称矩阵。例若、均为阶对称矩阵,则也是对称矩阵。(自己证明)例设、均为方阵,则下列结论对的的有(）。、、若，则、、若，,则§4矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换（1）、非齐次线性方程；(2）、齐次线性方程,现讨论方程组的的解法。例求解方程组设称为系数矩阵，称为增广矩阵，。则线性方程组的矩阵形式为：现讨论方程组的的解法。解方程组即方程组的解为,ﻩ另解增广矩阵=方程组的解为,矩阵的初等行变换：(1）、用一个非零数乘矩阵某行，记为（２）、把某行的倍数加到另一行中去,记为(3）、互换任意两行的位置,记为定义若距阵满足：(1）、零行在矩阵最下方;（2）、首非零元的列标随行标的增大而增大，则称是阶梯矩阵。例、都是阶梯矩阵,、不是阶梯矩阵。定义若阶梯矩阵满足:（1）、非零行的首非零元都是１；(2）、首非零元所在列的其余元素都是0,则称是行简化阶梯矩阵。例、是行简化阶梯矩阵,、不是行简化阶梯矩阵。定理:矩阵阶梯矩阵行简化阶梯矩阵二、矩阵的秩定义矩阵的阶梯矩阵中非零行的行数称为的秩,记为秩（）。求法阶梯矩阵,则秩(）=阶梯矩阵中非零行的行数例求矩阵的秩。解秩（）例求矩阵的秩。解：秩（)练习1矩阵的秩是；矩阵的秩是；矩阵的秩是；阶单位矩阵的秩是。练习2矩阵的秩是。定义:设的阶方阵，若秩,则称为满秩矩阵;若秩,则称为降秩矩阵；定理：(1)、对任何方阵,有秩（)＝秩()（２)、设为满秩矩阵，则§5逆矩阵大家知道，数的运算,除法是乘法的逆运算,那么，矩阵是否也有除法运算呢?例求(）()=或()=定义:对于方阵，若存在同阶方阵,使得,则称是的逆矩阵，记为,可称为可逆矩阵。一般地,若,则=,=例设,=＝，ﻩ，均可逆，且=,=定理：矩阵可逆的充足必要条件是是满秩矩阵，并且逆矩阵是唯一的。例矩阵不可逆矩阵不可逆矩阵可逆例设矩阵,求。解=＝，=一般地,=（其中)=(其中)性质：（１）、(）=(2）、(）=(3)、()＝()例试证若=，且＝，则为对称矩阵。证＝,可逆，即存在又==,即=用左乘上式得:==＝是对称矩阵例设为阶方阵，且＝,证明可逆，并求。证＝,即从而可逆，且§6逆矩阵的求法例设＝=(其中)则有＝＝=。于是有下面公式：公式：设＝，若,则可逆，且=例设，求解可逆,＝＝例设，则=。一般地,设是可逆矩阵，对施行若干次初等行变换化为,可以证明对施行同样的初等行变换化为,于是可以得到求逆矩阵方法如下:逆矩阵求法：作一个矩阵,则例设,求。解=＝例解矩阵方程（1）、,其中,（２）、，其中,解(１)、，==(2）、=＝===一般地:若(1)、（可逆），则(2)、(可逆)，则第2章综合练习题一、填空题１、设，，则,。２、设，，则＝。３、当时,矩阵可逆。４、设,当,时，是对称矩阵。５、设A=，则A=。6、设,则秩（）＝。7、设矩阵方程，假如可逆，则。8、若，且＝，则=。二、单项选择题１、设、是两个阶方阵，下列结论对的的是（）。、，则,、、若秩，秩，则秩、、若秩，秩，则秩2、设是矩阵,是矩阵,则下列运算故意义的是(）。、、、、3、下列矩阵中，可逆的矩阵是由于(）。、、、、4、设矩阵，则(）、4、３、2、15、设、是同阶方阵，若满足条件（）,则可逆。、、、、6、设、是同阶对称矩阵，则是（)。、零矩阵、对角矩阵、可逆矩阵、对称矩阵7、设下面矩阵能进行乘法运算,那么（）成立。、设，且，则、设,且可逆,则、可逆，则、,则有，或三、计算题1、设矩阵，,计算。2、设矩阵,，计算。３、设矩阵，，计算。4、设矩阵，求。5、设矩阵，,求解矩阵方程。四、证明题1、若为阶方阵，且,试证可逆，并且。2、设阶矩阵、满足，证明可逆,并求其逆。第3章线性方程组§1线性方程组的求解方法(消元法）线性方程组有如下二种类型:Ⅰ、非齐次线性方程组矩阵形式：(其中为系数矩阵)Ⅱ、齐次线性方程组矩阵形式:(其中为系数矩阵)解法：对于非齐次线性方程组：(1）、先写出方程组的增广矩阵;(2）、阶梯矩阵行简化阶梯矩阵;(3)、写出方程组之解。对于齐次线性方程组：(1）、先写出方程组的增广矩阵;(2)、阶梯矩阵行简化阶梯矩阵;（3)、写出方程组之解。例解方程组解增广矩阵=，故方程组的解为例解方程组解增广矩阵=原方程变为，故方程组的一般解为（其中x为自由未知量）例解方程组解增广矩阵＝从中最后一行可以得到，是一个矛盾方程,故原方程组无解。§２线性方程组解的情况的鉴定设有：非齐次线性方程组（个方程，个未知量，为系数矩阵,为增广矩阵）齐次线性方程组（个方程,个未知量，为系数矩阵）解的情况鉴定定理1：（1)、非齐次线性方程组有解的充要条件是：秩()=秩；（2）、齐次线性方程组一定有解。解的情况鉴定定理2:若非齐次线性方程组有解,则（1)、当秩时,方程组有唯一解；（2）、当秩时,方程组有无穷多组解。对于齐次线性方程组,则(1）、当秩时，方程组只有零解（唯一解）；（2)、当秩时,方程组有非零解(无穷多组解)。例讨论为什么值时,方程组有非零解？解当即时,秩（未知量个数)从而方程组有非零解。例当时，方程组有无穷多组解？解增广矩阵＝当时，秩()=秩(未知量个数)，从而有无穷多组解。例判断方程组是否有解?解增广矩阵=故当时,秩（）＝秩方程组有唯一解当时，秩(）,秩,秩（）秩方程组无解例为什么值时,下列方程组有解?有解时,求出它的解。解增广矩阵=当,即时，秩，秩（),秩秩（)方程组无解;当,即时,秩秩(未知量个数）方程组有无穷多组解;当时,增广矩阵方程组的一般解为(其中为自由未知量)。综合练习题一、填空填１、方程组有解的充要条件是。2、设元齐次方程组只有零解,则秩。３、若线性方程组有唯一解，则。４、设方程组的增广矩阵则当时,方程组有解。方程组的增广矩阵则当时，方程组有唯一解。线性方程组有非零解,则=。当=时，线性方程组无解?齐次方程组的系数矩阵，此方程组的一般解为。二、单项选择题1、非齐次方程组有无穷多解的充要条件是（)。、、秩(）、秩秩()、秩秩()２、若非齐次方程组有唯一解,那么有（)。、秩()、秩、秩秩()、秩秩()3、齐次方程组有非零解的充足必要条件是（）。、秩、秩、秩、秩４、齐次方程组(）。、一定有非零解、一定只有零解、一定有解、也许有解5、若线性方程组只有零解,则()。、有唯一解、也许有解、有无穷多解、无解6、线性方程组解的情况是(）。、无解、只有零解、有唯一解、有无穷多解三、计算题1、解方程组其中参数为什么值时无解？为什么值时有无穷多组解？并求其一般解。2、线性方程组的增广矩阵通过初等行变换后得到如下阶梯形矩阵:（1)、当为什么值时，方程组有解？（２)、在有解的情况下，求其一般解。3、解下列线性方程组经济数学基础期末复习提纲现将本课程的重要知识点小结如下：求函数定义域记住：若则;若则；若则;若则;若则且例1函数的定义域是。例2函数的定义域是。例３函数的定义域是。2、求函数值对于，则称为函数值。例１设函数，则（)。A、4B、0Ｃ、D、1例2设则。３、复合函数的运算己知复合函数，求本来的函数,则用变量代换;己知单个函数，求其复合函数，则直接代入即可;例1若函数,则。例2若函数，则。例3设,则（)。A、B、C、D、例４若函数，则(）。A、Ｂ、C、D、４、判断两个函数是否相同假如两个函数的定义域和相应关系都相同，则这两个函数相同;假如两个函数的定义域和相应关系有一不同，则这两个函数不同。例１下列各函数对中，（）中的两个函数相等。A、Ｂ、C、D、5、判断函数的奇偶性若，则是偶函数，其图象关于轴对称；若，则是奇函数,其图象关于原点对称。常见的偶函数是：等;常见的奇函数是:，等。运算规律:偶偶=偶，奇奇=奇，奇偶=非奇非偶偶偶＝偶,奇奇=偶,奇偶=奇下列函数中为奇函数是（）。Ａ、B、C、D、下列函数中为奇函数是（）。A、B、C、D、例3函数的图形关于对称。6、极限概念若（常量）,则称极限存在；若，则称极限不存在;若,则称极限存在；若，则称极限不存在;若,则称为无穷小；若(或）,则称为无穷大。注意：（1)、有界量(或常量）无穷小=无穷小；(２)、,例如:当时,;当时,。例1当时，下列变量中(）是无穷大量。Ａ、B、C、D、例2当时，下列变量中（）是无穷小量。A、B、C、D、例3已知，当()时,是无穷小量。Ａ、B、C、D、例4下列极限存在的是（)。A、B、Ｃ、D、7、极限计算（1)、对于,则先分解因式;（2）、对于,则先提取公因式;(3）、对于具有根式的极限,则先进行有理化;(4)、对于,则先进行通分；（5)、重要极限：例1;。例2求下列极限1）、4)、５)、8、连续概念函数在点处连续性的判别方法:若则在点处连续;若则在点处间断。例1函数在处连续，则()。A、B、C、Ｄ、例２函数在处()。A、左连续B、右连续C、连续D、左右皆不连续例3已知函数，若在内连续,则。例4函数的间断点是。9、导数概念定义1：定义2：记住:可导连续极限存在；极限不存在不连续不可导。可导可微例1设,则（）。A、B、Ｃ、1D、例2若在点处有极限，则结论(）对的。A、在点处可导B、在点处连续Ｃ、在点处有定义D、在点处也许没有定义1０、求切线斜率及切线方程曲线在点处的切线斜率为；曲线在点处的切线方程为注意:（1)、直线的斜率为；（2)、两直线平行，则斜率相等。例1曲线在点处的切线方程是（)。Ａ、Ｂ、C、D、例2曲线在点（０,１）处的切线斜率是（）。Ａ、Ｂ、C、D、例3曲线在点(）处的切线平行于直线。A、B、Ｃ、D、11、导数计算（１)、记住12个导数基本公式及导数运算法则；（2）、纯熟掌握：１)、复合函数求导法：设,则2）、隐函数求导法：两边同时对求导(把当作是复合函数）3)、二阶导数：４)、微分:例1若求。例2函数,则。例3设,求。例４已知，求。12、单调性及极值单调性:先求驻点，分割区间,然后判断（。极值：先求出函数的可疑极值点，若函数在附近先升后降，则为极大：先降后升,则为极小。例１下列函数在区间上单调增长的是()。A、Ｂ、C、D、例2函数的驻点是。例３函数在区间内()。A.单调增长B。单调减少C。先增长后减少Ｄ。先减少后增长例４下列结论中对的的有()。A、是的极值点,且存在，则必有；B、是的极值点，则必是的驻点,;C、若,则必是的极值点;D、使不存在的点，一定是的极值点。例5下列结论中（)不对的。A、在点处连续，则一定在点处可微；Ｂ、在点处不连续,则一定在点处不可导;C、可导函数的极值点一定发生在其驻点上；D、若在区间内恒有，则在内函数是单调减少的。13、需求函数设需求函数为,则需求弹性设需求函数为,则需求弹性经济意义:当价格为时,再提价1％,则需求量将变动％。若需求量对价格的函数为,则需求弹性。已知需求函数为,当时,需求弹性为（）。Ａ、Ｂ、C、D、若需求量对价格的函数为，则需求弹性（）。A、B、Ｃ、D、14、极值应用题记住：若需求函数为：，则价格函数为：成本函数为：（),平均成本函数为:收入函数为：（，平均收入函数为:利润函数为：,平均利润函数为:注意：由需求函数可求出价格函数,从而可求出收入函数。例１设某商品的需求函数为,则其收入函数为。例２某厂生产某产品件的成本函数,则生产20件该产品时,每件产品的平均成本为。例３某厂生产一批产品的固定成本为20２３元，每生产一吨产品的成本增长60元。对这种产品需求规律为，其中为价格，为需求量，试求：（１)、成本函数，收入函数;（2)、产量为多少吨时利润最大？例4某厂生产某种产品件时的总成本函数（元),单位销售价格为（元/件）,问产量为多少时利润最大？并求最大利润。例5某厂天天生产某种产品件时的成本函数（元），为使平均成本最低，天天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少？15、不定积分与定积分的概念记住:(1)、若，则称为的一个原函数（原函数有无穷多个，一般记为）（2）、若，则称为不定积分,不定积分与导数是互逆运算,于是有例1设的一个原函数是,则。例2函数的原函数是。例３若，则。例4若，则(）。Ａ、Ｂ、C、D、例５;。例６，(3）、定积分是一个常数。于是有例8。例9计算:1）2）16、积分计算（1)、凑微分法若,则例1若,则(）。A、B、C、D、例2()。Ａ、B、C、D、例3下列等式成立的是（）。A、B、C、D、例4计算：1)、2)、3)、(2）、分部积分法记住分部积分公式：不定积分定积分应用：对于形如的积分，分别用凑微分；对于形如的积分,则用凑微分。例5计算：1)、2）、３)、4）、（3）、运用对称性求积分若是偶函数，则若是奇函数,则例1。例2下列积分中的定积分值为0的是（)。A、Ｂ、C、D、17、广义积分记住:(1)、；（2）、广义积分:当时收敛；当时发散。（3)、广义积分:当时发散；当时收敛。（4）、广义积分:当时发散;当时收敛。例1若,则。例2广义积分是（判断其敛散性)。例3下列广义积分中，()是收敛的。A、B、C、D、18、已知切线斜率，求曲线方程设所求的曲线方程为,则有已知切线斜率,然后两边积分并把已知点代入即可。例1在切线斜率为的积分曲线族中，通过点的曲线方程为(）。A、B、C、D、１9、已知边际经济函数，求经济函数成本函数当产量从增至时,成本的增量为收入函数当产量从增至时,收入的增量为利润函数当产量从增至时,利润的增量为例1投产某产品的固定成本为36万元，且边际成本为(万元/百台），试求产量由４百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最大？例2已知某产品的边际成本为(万元),其中为产量，单位为百吨,边际收入为（万元/百吨）,求:（1)、利润最大时的产量;(2）、从利润最大时的产量的基础上再增产1百吨,利润会发生什么变化?例3设边际收入函数为,则平均收入函数为。2０、矩阵的概念及运算（1）、矩阵运算设,则加减;；数乘:乘积：可乘条件:列数=的行数注意以下式子不成立:1)、2)、且;或3）、；转置：设，则注意:1)、若是矩阵，则是矩阵。2)、，，（2）、特殊矩阵对角矩阵:，数量矩阵：，单位矩阵：注意：对称矩阵:若，则称是对称矩阵。(3)、初等变换矩阵的初等行变换:(1)、用一个非零数乘矩阵某行;(2)、把某行的倍数加到另一行中去；(３）、互换任意两行的位置。矩阵阶梯矩阵行简化阶梯矩阵矩阵求秩：定义：矩阵的阶梯矩阵中非零行的行数称为的秩,记为秩(）。求法:阶梯矩阵,则秩（)=阶梯矩阵中非零行的行数矩阵求逆；定义:若，则性质:(1）、()＝（2）、()=（3）、()=（)求法:（1)、（2）、(４）、矩阵方程1）、若（可逆）,则2)、若（可逆),则重点掌握:矩阵求逆、矩阵乘积、矩阵转置、矩阵求秩。例１设矩阵,,,计算。例2设矩阵,,计算。例3设矩阵，求。解矩阵方程例5设矩阵，，求解矩阵方程。例６设是矩阵，是矩阵,则下列运算故意义的是(）。A、B、C、Ｄ、例７设,是同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(）。A、若，则必有或B、C、秩秩秩D、例8设，均为阶方阵,在下列情况下能推出是单位矩阵的是()。Ａ、B、Ｃ、D、例９设，是单位矩阵,则)。Ａ、B、C、D、例１０计算矩阵乘积。例１1设，当时，是对称矩阵。例12设为阶可逆矩阵,则。例13若矩阵，则。21、线性方程组解的情况鉴定设有非