微积分iii-2003春十三周答案

2003-x2y2z2

(a0到坐标原点的距离的平方成反比，则该球体的质量MzZ（ ）.（中

M2ka,

1a 3

M

Z1a3

M

Z1a 2

M

Z1a2r2aM

d2d

22a2

kr2sindr0

2acos Z

d2d

rcosr2sindr2M 2

{(x,y)R

x2y2t2,t0}

fx,yDtDt内可微，f(0,0)1Dt的正向边界为Ctfx,yDt

2

2

1f(x,y),试对曲线Ctn0(t

t01cost

dl（ (A)

2

2

2

2

dllim1costCfn0dllim1cost(x

t

t

1f(,)t

tlim 1f(x,y)dxdy

f(0,0)Dt01cosDt

2

t,)B(

,)

,2

)的两段线段构成则cos2ydxsin2xdy（ （中L(A)

2

I(cos2ydxsin2xdy)(cos2ydxsin2 2(sin2ysin2x)dxdysin2xdy0dyD设有空间区域

:

2R2,z02及：x2y2z2R2x0y0z0，则（C（易2（A）xdv4

ydv4

zdv4

s

Hx2y2zHR

3xi3

3j3

zk 则ds=（ s

zH zHds0dz0d (3rR)rdr ssx2y2z21

xxcoss

dxdzcos2

zcos2

（A。(难

tan1由轮换对称性，可将原式转化为：原式

zzcosS

cos21x2y1x1x2y1x2y1x2y1x2y D 1x2y1x2y1x2y1x2y

x2y21）D

D

112cos2112cos21

令1令12

40cos2u4向量场FX(x,y)iY(x,y)j在区域D内有连续的偏导数，C是D中任意简单闭 ).（易）若F

0D内必有

X 若FC

0D内必有可微函数(x,ydX(x,y)dxY(x,D

，则F

dl0 LDFdlL 则FC.

0设

(xyzR3x2y2z1)21,x0,y0xx2y2z

的值为（

4 3

2 3

83

2cos

2d2d x2y2x2y2zr3记I aex20

(a0,则（A）.（中

(A)2

1e

I112

1e

I

1eII

I

11aa2a20 0aa ey2a200

I 1212120d er 0 122d400er21e4 rr2x2若I1(xy)2dI2(xy)2d,D0y

,则 )（易

I1I2

I1I2

I1I2 (D)

I2r有关xx由柱面y ，y ，xz4与坐标平面z0所围成立体图形之体积xx（

V44

4dz

xdy1282 2

11

。xx

。

。 2xy)dy ).（中21-x2y1-x2y设区域是由z

x2y2与z

(xz)dv（

4

8

8(xz)dvd4drcosr2sindr8 y2设是由曲线x

绕zz4(x2y2z)dv=（

4

8

2

.3x2y22zr23(x2y2z)dv(r2z)dv4dz2d2z(r2z)rdr2563 O（0，0）A(,0)的曲线族yasinx(a0）L沿该曲线从O到A的积分(1y3)dx(2xy)dy的值达到最小，则该曲线为（ L

2

1cosx2答：I(a) (1y3)dx(2xy)dyL

(1y3)dx(2xy)dyL(23y2)dxdydxasinx(23y2)dy4a4a3DI(a)44a2

a1x2dydzy2dzdxz2dxdys

7s为24x2y0z x4x2y答：x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xy 7)7 x3dydzy3dzdxz3dxdy12R5sx2y2z2R2 答：x3dydzy3dzdxz3dxdy3(x2y2z2s

d

d

R3R2r2sindr12R522x2y1f(xI1

f(z)dzx,bzIag(zf(z)dzab

，g(z 答案a1b

2,g(z)(2z22z2zI

f2

d2

rdr

f(z)(2

2

c2 cCx（A

1nC

，则ndl(A) (B)2 (C) (D)2ndlfndl(f)dxdycC为正向闭曲线：xxyxI2xyx

y。

xdyydxxy，则I1xdyydxxy

I1

I2

前者用公式，后者直接用第一类曲线积分计算I 2dxdy22a24aa aDI a

a0aa00dx 0

dx dx

2 a22a

x2y2z2Cz

，其正向为：向z轴负向看去取逆时针方向。则IcC(z2)dl

（62。

22p273--5P(x0y0z0P点的切平面方程为x0(xxa2

)y0(yy

)z0(zz

)a b4 cx2y2a b4 cx2y2za b4 c ax2y2 x ybL(xy)dS8L(xy)dSS1S a c aa c a x2y2 x)1 x ya 1 yxS

yS 1 x1

y2 8abc

d

d1

1 a p273--6.（1）几何意义：axbycz

a2b2c2

1t1，则t

a2b2c2

（t为参数到原点的有向距离。如下图所示，以球面的球心为原点，以通过球心、与平面axbycz pconst垂直的方向为纵轴建立柱坐标系，则t到uvaxbycz上的点RtR

trrtO对于距离原点O为t和tdtdS（球台）dldtsin（因为这个环带状面积是斜的，不是平面的原点O为tr2r2RsindS2rdl2Rdt，dS2Rdtt从RR积分就可以得到ouvwaxbycz0v-waxbya2b2ca2b2cISf

a2b2c2)dSS*u2v2w21

u11