2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1课时直线的参数方程检测4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精第二讲第二节第一课时直线的参数方程一、选择题（每小题5分,共20分)1．已知直线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3＋4t，y＝－4＋3t）)(t为参数)，下列命题中错误的是（)A．直线经过点(7，－1）B．直线的斜率为eq\f(3,4）C．直线不过第二象限D．｜t|是定点M0（3,－4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确,由于参数方程不是标准式,故｜t|不具有上述几何意义，故选D．答案：D2．以t为参数的方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－\f(1,2)t，y＝－2＋\f(\r（3),2）t）)表示（）A．过点(1，－2)且倾斜角为eq\f(π，3）的直线B．过点(－1,2)且倾斜角为eq\f（π,3)的直线C．过点（1,－2）且倾斜角为eq\f（2π,3)的直线D．过点(－1,2)且倾斜角为eq\f(2π，3)的直线解析:化参数方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1－\f(1，2)t，y＝－2＋\f（\r（3）,2）t)）为普通方程得y＋2＝－eq\r（3)(x－1)，故直线过定点（1,－2），斜率为－eq\r(3),倾斜角为eq\f(2π,3).答案：C3．双曲线eq\f（x2，9）－eq\f(y2,4)＝1中，被点P（2，1)平分的弦所在的直线的方程是(）A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25C．4x－9y＝6 D．不存在解析：设直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋tcosα,,y＝1＋tsinα))(t为参数），代入双曲线方程,得4（2＋tcosα)2－9（1＋tsinα）2＝36，整理得(4cos2α－9sin2α)t2－(16cosα－18sinα）t－29＝0。设方程的两个实根分别为t1,t2，则t1＋t2＝eq\f（18sinα－16cosα,4cos2α－9sin2α）.因为点P平分弦，所以t1＋t2＝0，即18sinα－16cosα＝0,tanα＝eq\f（8,9），即k＝eq\f(8,9).因此弦所在直线方程为y－1＝eq\f(8,9)(x－2）,即8x－9y＝7.答案：A4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是（)A．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋t，，y＝3＋t）)（t为参数） B．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1－t，,y＝5－2t))(t为参数）C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－t，，y＝3－2t))（t为参数） D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f（2\r（5）,5)t,，y＝5＋\f（\r(5)，5）t)）（t为参数）解析：题目所给的直线的斜率为2,选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为eq\f(1,2），所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.答案：C二、填空题(每小题5分,共10分)5．过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))且倾斜角为30°的直线和曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，，y＝t－\f（1，t）））(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为__________________。解析：直线的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－3＋\f(\r(3)，2）s，，y＝\f(1，2）s)）(s为参数)，曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋\f（1，t），,y＝t－\f（1，t)）)（t为参数)可以化为x2－y2＝4。将直线的参数方程代入上式，得s2－6eq\r(3)s＋10＝0,设A，B对应的参数分别为s1，s2,∴s1＋s2＝6eq\r（3），s1s2＝10，｜AB｜＝｜s1－s2|＝eq\r(s1＋s22－4s1s2）＝2eq\r(17）.答案：2eq\r(17）6．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝eq\f（π,6），设l与曲线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ,,y＝2sinθ))（θ为参数）交于两点A，B，则点P到A,B两点的距离之积为__________________。解析：直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcos\f（π，6),，y＝1＋tsin\f(π，6）)）则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(\r（3),2)t，，y＝1＋\f(1,2）t.))曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，把直线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(\r(3)，2)t，，y＝1＋\f(1,2)t）)代入x2＋y2＝4得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3),2）t)）2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2）t）)2＝4，t2＋(eq\r(3）＋1）t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2。答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设直线l过点P（－3,3），且倾斜角为eq\f（5π,6)。（1）写出直线l的参数方程;(2）设此直线与曲线C：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，,y＝4sinθ)）（θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·｜PB|；(3）设AB中点为M，求｜PM｜.解析：（1）直线l的参数方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3＋tcos\f(5π，6）＝－3－\f（\r（3），2)t，,y＝3＋tsin\f（5π,6）＝3＋\f（1，2)t)）（t为参数)．（2)把曲线C的参数方程中参数θ消去,得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－3－\f（\r(3),2）t）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（3＋\f（1,2)t）)2－16＝0。即13t2＋4(3＋12eq\r（3））t＋116＝0.由t的几何意义，知｜PA|·|PB|＝|t1·t2|,故｜PA|·|PB|＝｜t1·t2|＝eq\f（116，13)。（3)由t的几何意义，知中点M的参数为eq\f(t1＋t2,2)，故｜PM|＝eq\f（1,2)｜t1＋t2|＝eq\f(23＋12\r（3），13）。8．已知直线l过点P(3,2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA｜·|PB｜的值为最小时直线l的方程．解析：设直线的倾斜角为α，则它的方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋tcosα,,y＝2＋tsinα,))(t为参数）由A、B是坐标轴上的点知yA＝0,xB＝0,∴0＝2＋tsinα,即｜PA|＝|t|＝eq\f（2,sinα），0＝3＋tcosα，即｜PB|＝|t｜＝－eq\f（3，cosα).故|PA｜·|PB|＝eq\f（2,sinα）。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3，cosα)))＝－eq\f(12,sin2α)。∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°,即α＝135°时，|PA｜·|PB|有最小值．∴直线方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f（\r（2),2)t，y＝2＋\f(\r(2),2）t))（t为参数），化为普通方程即x＋y－5＝0。eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图)的东偏南θ（θ＝arccoseq\f（\r(2）,10））方向300km的海面P处，并以200km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解析：方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h）台风中心eq\x\to（P)(eq\x\to（x)，eq\x\to（y))的坐标为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\x\to（x）＝300×\f(\r（2），10)－20×\f(\r（2），2）t，，\x\to(y）＝－300×\f（7\r(2),10)＋20×\f(\r(2），2)t。）)此时台风侵袭的区域是(x－eq\x\to（x)）2＋(y－eq\x\to（y）)2≤［r（t)］2,其中r（t)＝10t＋60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有(0－eq\x\to(x))2＋(0－eq\x\to(y）)2≤(10t＋60）2，即eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（300×\f（\r（2),10）－20×\f(\r(2)，2)t））2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－300×\f（7\r(2),10)＋20×\f（\r（2)，2)t)）2≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24。即12小时后该城市开始受到台风的侵袭方法二：如图，设在时刻t(h）台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km）．若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60。由余弦定理知OQ2＝PQ2＋OP2－2·PQ·POcos∠OPQ。又由于OP＝300，PQ＝20t，所以cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝eq\f(\r（2），10)×eq\f（\r(2），2）＋eq\r(1－\f（2,102)）×eq\f（\r（2