2017版数学知识方法篇专题3函数与导数第10练含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第10练重应用—-函数的实际应用[题型分析·高考展望]函数的实际应用也是高考常考题型,特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现,多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1。(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x。将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f（x）,则y＝f(x）的图象大致为（)答案B解析由已知得,当点P沿着边BC运动，即0≤x≤eq\f(π，4)时，PA＋PB＝eq\r（4＋tan2x）＋tanx；当点P在CD边上运动时，即eq\f(π，4)≤x≤eq\f（3π,4）时，PA＋PB＝eq\r（1－\f(1，tanx)2＋1）＋eq\r（1＋\f（1，tanx)2＋1），当x＝eq\f（π,2）时,PA＋PB＝2eq\r(2);当点P在AD边上运动时，即eq\f（3π,4)≤x≤π时，PA＋PB＝eq\r(tan2x＋4）－tanx。从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x＝eq\f（π,2)对称,且f(eq\f（π，4)）＞f(eq\f(π,2）),且轨迹非线型，故选B.2.（2015·四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2。718…为自然对数的底数,k,b为常数）。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时。答案24解析由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（eb＝192，,e22k＋b＝48,）)∴e22k＝eq\f（48,192）＝eq\f（1,4),∴e11k＝eq\f(1，2)，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k）3·eb＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)））3·eb＝eq\f(1,8）×192＝24。3。（2015·上海)如图,A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米,AC＝3千米,BC＝4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地,经过t小时,他们之间的距离为f(t）（单位：千米)。甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t＝t1时乙到达C地.（1)求t1与f（t1)的值；(2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f(t）在［t1，1］上的最大值是否超过3？说明理由.解（1)t1＝eq\f（3,8).记乙到C时甲所在地为D,则AD＝eq\f（15,8）千米.在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcosA，所以f（t1)＝CD＝eq\f（3，8)eq\r（41）(千米)。(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时eq\f（3，8）小时，从A到B总用时eq\f（7，8）小时.当t1＝eq\f（3，8)≤t≤eq\f(7,8）时，f(t)＝eq\r(7－8t2＋5－5t2－27－8t5－5t·\f（4，5))＝eq\r(25t2－42t＋18)；当eq\f（7，8）≤t≤1时，f（t)＝5－5t,所以f（t)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r（25t2－42t＋18)，\f（3，8)≤t≤\f(7,8），,5－5t,\f(7,8)＜t≤1。))因为f(t）在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(3,8)，\f（7,8)）)上的最大值是feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,8）))＝eq\f(3\r(41），8）,f（t)在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（7，8)，1))上的最大值是feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7，8））)＝eq\f（5,8)，所以f（t）在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3,8)，1))上的最大值是eq\f(3\r（41),8)，不超过3.4。（2015·江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M，N为C的两个端点，测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的距离分别为20千米和2。5千米.以l2，l1所在的直线分别为x，y轴,建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝eq\f（a，x2＋b）（其中a，b为常数）模型.(1)求a，b的值；（2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t。①请写出公路l长度的函数解析式f(t）,并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。解（1)由题意知,点M，N的坐标分别为(5，40)，（20，2.5)。将其分别代入y＝eq\f（a，x2＋b），得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（a，25＋b）＝40,，\f（a,400＋b)＝2.5,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1000，,b＝0。）)（2）①由(1)知，y＝eq\f(1000，x2）（5≤x≤20)，则点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（t，\f（1000，t2）)）,设在点P处的切线l分别交x，y轴于A，B点,y′＝－eq\f(2000,x3)，则l的方程为y－eq\f(1000,t2)＝－eq\f（2000,t3）（x－t），由此得Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3t，2)，0）），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(3000,t2)）).故f（t）＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3t，2)））2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3000，t2）））2)＝eq\f(3,2）eq\r（t2＋\f（4×106，t4)），t∈［5，20］.②设g（t）＝t2＋eq\f(4×106，t4),则g′(t)＝2t－eq\f(16×106，t5)。令g′（t)＝0,解得t＝10eq\r(2)。当t∈(5，10eq\r(2))时，g′(t)＜0，g（t)是减函数;当t∈（10eq\r（2)，20）时,g′(t）＞0，g（t）是增函数。从而当t＝10eq\r（2）时，函数g（t)有极小值，也是最小值,所以g（t）min＝300，此时f（t)min＝15eq\r(3)。答当t＝10eq\r(2）时，公路l的长度最短，最短长度为15eq\r(3)千米.高考必会题型题型一基本函数模型的应用例1某地上年度电价为0。8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0。55元～0.75元之间,经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时）与（x－0。4)（元)成反比。又当x＝0.65时，y＝0。8。（1)求y与x之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0。3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％？［收益＝用电量×（实际电价－成本价)]解(1）∵y与（x－0。4)成反比，∴设y＝eq\f（k，x－0。4）(k≠0).把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0。8＝eq\f（k，0。65－0.4），k＝0.2.∴y＝eq\f（0。2,x－0.4）＝eq\f(1,5x－2），即y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(1,5x－2)。(2）根据题意，得(1＋eq\f（1,5x－2）)·（x－0。3)＝1×（0.8－0.3)×（1＋20%）。整理,得x2－1.1x＋0.3＝0,解得x1＝0.5，x2＝0。6。经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根.∵x的取值范围是0.55～0.75,故x＝0。5不符合题意,应舍去.∴x＝0。6。∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评解决实际应用问题的关键在于读题,读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：eq\f（读题,文字语言）⇒eq\f(建模,数学语言）⇒eq\f（求解，数学应用）⇒eq\f（反馈,检验作答)。变式训练1(1)（2015·北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(）A.6升B.8升C.10升D。12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电,每台进价已按原价a扣去20％，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25％销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.答案（1)B（2)y＝eq\f(a，3)x(x∈N＊)解析(1)由表知，汽车行驶路程为35600－35000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2）设每台新价为b,则售价b(1－25%）,让利b×25%，由于原价为a,则进价为a(1－20％)，根据题意,得每件家电利润为b×（1－25%)×20%＝b×(1－25％）－a（1－20％）,化简得b＝eq\f(4，3)a。∴y＝b×25％·x＝eq\f（4，3）a×25%×x＝eq\f（a,3）x（x∈N*)，即y＝eq\f(a,3)x（x∈N＊）。题型二分段函数模型的应用例2已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元。设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x）万美元，且R(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x,0〈x≤40，,\f（7400，x）－\f（40000，x2)，x〉40。)）(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。解(1）当0〈x≤40时，W＝xR(x)－（16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x〉40时，W＝xR（x）－（16x＋40）＝－eq\f（40000，x)－16x＋7360。所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f（40000,x)－16x＋7360，x〉40.)）(2）①当0<x≤40时，W＝－6（x－32）2＋6104，所以Wmax＝W(32）＝6104；②当x〉40时，W＝－eq\f(40000,x）－16x＋7360，由于eq\f（40000,x)＋16x≥2eq\r（\f（40000,x）×16x）＝1600，当且仅当eq\f(40000，x)＝16x,即x＝50∈(40，＋∞）时，取等号,所以此时W有最大值5760.因为6104＞5760，所以当x＝32时，W取得最大值6104万元.点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2。15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2。85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元。现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km。答案9解析设出租车行驶xkm时,付费y元，则y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(9,0<x≤3，，8＋2.15x－3＋1，3〈x≤8，，8＋2。15×5＋2.85x－8＋1,x〉8，))由y＝22.6，解得x＝9.高考题型精练1。某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10％)，又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为(）A.略有盈利 B。略有亏损C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a（1＋10%)n＝a×1。1n元，经历n次跌停后的价格为a×1。1n×（1－10％）n＝a×1。1n×0.9n＝a×（1.1×0.9)n＝0。99n·a〈a，故该股民这支股票略有亏损.2。lg0.09＝－2.9543)（)A。2015年B.2011年C。2016年D。2008年答案B解析设1995年生产总值为a，经过x年翻两番,则a·(1＋9％）x＝4a.∴x＝eq\f（2lg2,lg1。09)≈16.3。某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年)的函数关系图象正确的是(）答案A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求,而后3年年产量保持不变，故选A。4。某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位:万元）为y1＝4.1x－0。1x2，在B地的销售利润（单位:万元)为y2＝2x，其中x为销售量（单位:辆）,若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10。5万元 B.11万元C.43万元 D。43.025万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4。1x－0.1x2＋2（16－x)＝－0。1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－eq\f（21，2）)2＋0.1×eq\f(212,4）＋32。因为x∈［0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时,总利润取得最大值43万元.5。一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同）,汽车在时间t内的路程为s＝eq\f(1,2）t2米，那么此人(）A.可在7秒内追上汽车B。可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D。不能追上汽车,但期间最近距离为7米答案D解析s＝eq\f(1，2）t2，车与人的间距d＝(s＋25）－6t＝eq\f（1,2）t2－6t＋25＝eq\f(1，2）(t－6)2＋7。当t＝6时，d取得最小值7。6.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.答案600解析设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则eq\f（40－x，40)＝eq\f(y，60）,解得y＝60－eq\f（3，2)x.矩形的面积S＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(60－\f(3,2）x））＝－eq\f（3，2）（x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600。7。某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*）,则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元。答案58解析由题意知每台机器运转x年的年平均利润为eq\f（y，x)＝18－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(25，x））),而x＞0，故eq\f（y,x)≤18－2eq\r(25）＝8，当且仅当x＝5时,年平均利润最大,最大值为8万元。8。一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0。3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少。为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0。09mg/mL。那么一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过________小时才能开车.（精确到1小时)答案5解析设至少经过x小时才能开车,由题意得0。3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0。3，x≥log0。750.3＝eq\f（lg0.3,lg0。75）≈4。2,∴至少经过5个小时才能开车.9。商家通常依据“乐观系数准则"确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x〈1)确定实际销售价格c＝a＋x（b－a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a）是（b－c）和(b－a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值等于________.答案eq\f（\r(5)－1,2）解析依题意得x＝eq\f(c－a，b－a)，（c－a)2＝（b－c)(b－a),∵b－c＝（b－a）－（c－a)，∴（c－a)2＝(b－a)2－（b－a)(c－a)，两边同除以（b－a)2，得x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f（－1±\r（5），2)。∵0〈x〈1，∴x＝eq\f（\r（5）－1,2）.10.某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件.(1）据市场调查,若价格每提高1元，销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入eq\f(1，2)(x2＋x)万元作为技改费用，投入eq\f（x，4)万元作为宣传费用.试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?解（1）设商品的销售价格提高a元,则(10－a)（5＋a)≥50，即0≤a≤5,所以商品的价格最多可以提高5元。(2)由题意知改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx＝eq\f(1,2)(x2＋x）＋eq\f（x，4)＋50(x＞5）,即m＝eq\f(1，2）x＋eq\f（3，4)＋eq\f（50，x)≥2eq\r（\f（1,2）x·\f（50,x））＋eq\f(3,4)＝eq\f(43，4)，当且仅当x＝10时等号成立.故销售量至少应达到eq\f(43,4）万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.11。某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度）.（1）求θ关于x的函数关系式;(2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米。设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解（1)设扇环的圆心角为θ,则30＝θ(10＋x）＋2（10－x），所以θ＝eq\f(10＋2x，10＋x)（0＜x＜10）.（2)令t＝17＋x,则y＝eq\f(39,10）－eq\f(1，10）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(t＋\f（324,t)))≤eq