2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.2.2函数的和、差、积、商的导数学案版2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE1。2。2函数的和、差、积、商的导数学习目标1。理解导数四则运算法则.2。能利用导数四则运算法则求导．知识点导数的四则运算思考1已知函数f（x)＝x2,g（x）＝x，试求f′（x）和g′（x）．思考2分别求函数f(x）＋g（x),f（x）－g(x）,f（x)·g（x),eq\f（fx,gx）的导数．思考3你能发现f（x）±g(x)，f（x）·g（x），eq\f(fx,gx)的导数与f′（x)，g′(x)的关系吗？设两个函数分别为f(x)和g(x）,则有：两个函数的和的导数［f(x)＋g（x)]′＝________两个函数的差的导数[f（x)－g（x）]′＝________两个函数的积的导数［f(x）·g(x)］′＝______________两个函数的商的导数［eq\f(fx,gx)］′＝______________（g（x）≠0）类型一应用导数的运算法则求导例1求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(\r(x5）＋\r（x7)＋\r(x9),\r(x））;（2)y＝eq\f（x2＋1，x2＋3）；（3）y＝（x＋1）（x＋3)(x＋5)；(4)y＝xtanx。反思与感悟(1）解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2）对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．（3）利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差,利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1求下列函数的导数：（1)y＝（2x2＋3)(3x－2)；（2)y＝2xcosx－3xlnx；(3)y＝eq\f(x－1,x＋1).类型二导数运算法则的应用例2求曲线y＝eq\f（2x，x2＋1）在点(1,1)处的切线方程．反思与感悟求函数f(x）图象上的点P（x0，f（x0）)处的切线方程的步骤为：先求出函数在x0处的导数f′（x0)（即在点P处切线的斜率），再用点斜式写出切线方程，若切点未给出，可先设出,然后由题目所给条件列方程求出即可．跟踪训练2求过点P（1,3）且与曲线y＝x3－x＋3相切的切线方程．类型三知切线方程求参数例3已知函数f（x)＝eq\f(ax－6，x2＋b）的图象在点M(－1，f(－1）)处的切线方程为x＋2y＋5＝0,求函数y＝f(x)的解析式．反思与感悟（1）解答本题的关键是能正确根据条件进行求导运算、列出方程组．（2)解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标,因为切点的横坐标与导数有着直接的联系．跟踪训练3已知函数f(x）＝eq\f(alnx，x＋1）＋eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．1．设y＝－exsinx，则y′＝______________________.2．函数f（x）＝eq\f（cosx,1－x）的导数为__________________．3．设f（x)＝xlnx,若f′(x0）＝2，则x0＝________。4．设函数f(x)＝x3－3ax＋b（a≠0）．若曲线y＝f（x)在点(2，f(2））处与直线y＝8相切,则ab＝________.5．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0)（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标．1．导数的求法对于函数求导,一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时,要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广［f(x1）±f(x2)±…±f(xn)］′＝f′（x1)±f′(x2）±…±f′(xn)．3．积商的求导法则(1）若c为常数，则［c·f（x）］′＝c·f′（x）；(2)类比[f（x)·g（x）]′＝f′（x）·g（x)＋f(x）·g′（x)记忆,［eq\f(fx,gx）］′＝eq\f(f′x·gx－fx·g′x，g2x）；(3）当f(x)＝1时有[eq\f(1,gx）]′＝－eq\f(g′x，g2x）.提醒：完成作业1。2.2

答案精析问题导学知识点思考1f′（x）＝2x，g′(x)＝1。思考2［f（x)＋g（x)］′＝2x＋1，[f(x）－g（x)］′＝2x－1，[f（x)·g（x）］′＝3x2，［eq\f（fx,gx）]′＝1.思考3［f（x）±g（x）］′＝f′(x）±g′（x），[f(x)·g（x)]′＝f′（x）g（x)＋f（x）g′（x），[eq\f（fx,gx）]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)。f′(x)＋g′(x)f′（x）－g′(x）f′(x）g（x）＋f(x)g′(x)eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)题型探究例1（1)∵y＝eq\f（\r(x5)＋\r（x7)＋\r（x9)，\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2）′＋(x3)′＋（x4）′＝2x＋3x2＋4x3。（2）方法一y′＝eq\f(x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′,x2＋32）＝eq\f（2xx2＋3－2xx2＋1，x2＋32）＝eq\f（4x,x2＋32）。方法二y＝eq\f(x2＋1，x2＋3)＝eq\f（x2＋3－2，x2＋3）＝1－eq\f（2，x2＋3),y′＝（1－eq\f（2,x2＋3)）′＝（eq\f（－2，x2＋3））′＝eq\f(－2′x2＋3－－2x2＋3′，x2＋32)＝eq\f(4x，x2＋32).（3）方法一y′＝［(x＋1）(x＋3)］′（x＋5）＋(x＋1）(x＋3）(x＋5）′＝［(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3）′］(x＋5)＋（x＋1)（x＋3）＝(2x＋4)（x＋5）＋(x＋1）(x＋3）＝3x2＋18x＋23.方法二y＝(x＋1)（x＋3）(x＋5）＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，y′＝（x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23。(4)f′（x）＝（xtanx)′＝(eq\f(xsinx,cosx))′＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x）＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f（sinxcosx＋x，cos2x).跟踪训练1解(1)方法一y′＝(2x2＋3）′（3x－2）＋（2x2＋3）(3x－2）′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.方法二∵y＝（2x2＋3）(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9。(2）y′＝（2xcosx－3xlnx）′＝（2x）′cosx＋2x（cosx）′－3·［x′lnx＋x(lnx)′]＝2xln2cosx－2xsinx－3（lnx＋x·eq\f（1,x))＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3。（3）y′＝(eq\f(x－1，x＋1))′＝eq\f（x－1′x＋1－x－1x＋1′，x＋12）＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12）＝eq\f(2，x＋12）。例2解y′＝eq\f(2x2＋1－2x·2x，x2＋12)＝eq\f（2－2x2,x2＋12)，∴当x＝1时，y′＝eq\f(2－2，4)＝0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0。因此曲线y＝eq\f(2x,x2＋1)在点(1，1）处的切线方程为y＝1。跟踪训练2解设切点P0(x0，xeq\o\al（3，0）－x0＋3)．∵y′＝3x2－1,∴k＝3xeq\o\al（2，0)－1。故曲线在点P0处的切线方程为y－（xeq\o\al（3，0)－x0＋3)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0），将P（1，3)代入,得2x30－3xeq\o\al(2,0）＋1＝0，即2(xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al（2，0）)－(xeq\o\al（2，0）－1）＝0.分解因式得(x0－1)2（2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f（1，2），故切点为(1,3)或（－eq\f(1，2），eq\f(27，8))．故切线方程为2x－y＋1＝0或x＋4y－13＝0.例3解由函数f(x)的图象在点M（－1,f(－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0,知－1＋2f（－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－eq\f（1，2）。∵f′(x）＝eq\f(ax2＋b－2xax－6,x2＋b2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－a－6，1＋b)＝－2,，\f（a1＋b－2a＋6，1＋b2)＝－\f（1,2）,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2b－4，，\f(a1＋b－2a＋6,1＋b2)＝－\f(1，2）,))解得a＝2，b＝3或a＝－6,b＝－1(由b＋1≠0,故b＝－1舍去）．∴所求函数解析式为f(x）＝eq\f(2x－6,x2＋3)。跟踪训练3解f′（x）＝eq\f(a\f(x＋1，x)－lnx，x＋12)－eq\f(b，x2)。由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f（1,2）,且过点(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(f1＝1，，f′1＝－\f(1,2），))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝1，，\f（a，2）－b＝－\f（1，2）。))解得a＝1，b＝1.达标检测1．－ex(sinx＋cosx)2.eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2)3．e4．965．解∵直线l过原点，∴直线l的斜率k＝eq\f（y0，x0）(x0≠0),∵点(x0,y0)在曲线C上，∴y0＝xeq\o\al（3,0）－3xeq\o\al（2,0)＋2x0,∴eq\f（y0,x0）＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3xeq\o\al(2，0）－6x0＋2，又k＝eq\f(y0,x0)，∴3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝eq\f（