向量值函数的导数与积分

第九章向量值函数的导数与积分●

§9.1向量值函数及其极限与连续★

§9.2向量值函数的导数与微分●

§9.3向量值函数的不定积分与定积分§9.2向量值函数的导数与微分9.2.1向量值函数的导数与微分内容小结与作业9.2.2空间曲线的切线及法平面方程1．向量值函数导数与微分的概念义，如果极限定义9.2.1

设向量值函数在t的某邻域内有定存在，则称向量值函数r(t)在t处可导，并称极限值为向量值函数r(t)在t处的导数，记为或者明显地，

也是一个向量值函数．如果向量值函数r(t)在t处可导，则r(t)在t处连续.9.2.1向量值函数的导数与微分与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的高阶导数，如r(t)的二阶导数定义为的导数,即:向量值函数的导数的几何解释（a）二维向量值函数的情形（b）三维向量值函数的情形如果点P和Q的位置向量为r(t)与r(t+t),那么这个向量可以看作是割线向量．当时,割线向量如果存在，且趋于曲线在点P处的切线向量．线．这样,曲线r(t)在点P处的切向量为则称为曲线r(t)在点P处的切向量,过P点且以为方向向量的直线为曲线r(t)在点P处的切向量值函数的导数的物理意义:r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在t时刻的位置,对应的几何曲线为质点的运动轨迹,是质点在时间段[t,t+t]上的位移,是质点在这段时间内的平均速度，是质点在时刻t的瞬时速度v(t)，即速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,是质点在时刻t的瞬时加速度a

(t).向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到.其中各分量函数在点t处可导,则r(t)在点t处可导,且定理9.2.2

设三维向量值函数同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.的二阶导数为三维向量值函数例1

计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：．解这里,(1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面上的椭圆曲线;(2)中的三维向量值函数对应的图形是三维空间上的螺旋曲线．且在区间I内光滑的．如果一个向量值函数在区间上满足连续，例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的．我们就称在区间上是一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这条曲线为分段光滑曲线．解因为光滑的．曲线在点(1,0)(对应t=0)突然改变了方向，在曲线上出现了尖点的特征．所以，该曲线不是是否为光滑曲线？

例2

判断曲线

尖点解质点的速度为质点的速率为质点的加速度为例3

一个质点的位置向量为求质点的速度、加速度与速率．可导的向量值函数r

=r

(t)的微分定义为对于可导的二维向量值函数对于可导的三维向量值函数对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr

是一个与与切向量同向；平行的向量，曲线的切向量当dt

>0时,dr与反向.当dt

<0时,dr与切向量数值函数，设u(t),v(t)为可导的向量值函数，常数，则有定理9.2.1

C为常向量(即C的各分量都为常数),k为f(t)为可导2．向量值函数的求导法则

(7)链式法则：设u(s)为可导的向量值函数，s=f(t)为可导的数值函数，则例4

设r(t)是可导的向量值函数，且如果(C为常数)，证明：与垂直．证因为则由求导法则(5)知因此，几何意义:

如果一条曲线位于一个以原点为球心的也就是说与垂直．垂直于位置向量球面上,那么它的切向量

例5

如果质量为m的质点的位置向量为r(t),角动量转动力矩为证明：证由求导法则（6），知注意到则特别，当M(t)=0时,从而L(t)为常向量.这就是物理学中的角动量守恒定律．空间曲线在点t0处的切线向量为空间曲线在点的切线方程为称过点P且与向量T(t)垂直的平面为空间曲线的法平面，其方程为9.2.2空间曲线的切线与法平面切线方程与法平面方程．且点(1,1,1)与

t=1对应,所以，在点(1,1,1)处曲线的切线向量为因此，所求切线方程为例6

求空间曲线在点(1,1,1)处的解因为所求法平面方程即