2023年高考数学专项练习痛点问题之概率统计经典解答题含解析

2023年高考数学专项练习痛点问题之概率统计经典解答题

【秒杀总结】

★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：

一是统计的基本研究过程:收集数据一整理数据-分析数据一统计推断.

收集数据整理数据分析数据统计推断

三种抽样方法：五种统计图表：两种数字特征：三种统计推断：

简单随机抽样频率分布表，集中趋势(众数、中用样本估计总体

(抽签法、随机法)，频率分布直方图，位数、平均数)，(估计思想)，

系统抽样，茎叶图，散点图，离散程度(极差、方回归分析(拟合思想)，

分层抽样.列联表.差、标准差).独立性检验(检验思想).

二是随机事件的基本研究过程:随机事件一事件概率一基本概型.

随机事件事件概率基本概型

八种常见事件：三种常见求法：七种概率模型：

随机事件，基本事件，用频率估计概率，古典概型，几何概型，

等可能事件,并事件，交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率，对立事件概率，

互斥事件，对立事件,相互独立式，条件概率,相互独立事件概率，

事件.转化为简单事件的概率.独立重复试验概率.

三是随机变量的基本研究过程:随机变量一概率分布模型一分布列及数字特征.

随机变量概率分布模型分布列及数字特征

两类随机变量：四种分布模型：三个问题：

离散型随机变量，两点分布,超几何分布，概率分布列，数学期望，方

连续型随机变量.二项分布，正态分布.差.

【典型例题】

例1.(2023-内蒙古赤峰.统考模拟预测)已知函数/(x)=x-ln(ax+1)(aW0,a€H).

(1)若求a的值;

(2)已知某班共有n人,记这n人生日至少有两人相同的概率为P(n),nW365，将一年看作365天.

(i)求/(t1)的表达式；

(ii)估计P(50)的近似值(精确至U().01).

,,2V,i!Ml'.IO

参考数值：屋而=0.0348687,晨石七0.0304049,-0.00121583,e-Tr-0.000924459.

例2.(2023我•四川成鄢•高三树稔中学校考期末)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在

卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.名)

(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、

右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而W

且门将即使方向判断正确也有春的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球£也

oFIFAWORLDCUP

大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；GWR

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训

练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向

另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第九次传球之前球在甲脚下的概

率为pn,易知Pi=l,p2=0.

①试证明：｛外一方｝为等比数列；

②设第沱次传球之前球在乙脚下的概率为斗，比较“。与电的大小.

例3.(2023•山西•统考一模)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子

里装有2个白球1个红球,这些小球除颜色外完全相同.

(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球,求取出的两球中有红

球的条件下，第二次取出的是红球的概率；

(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一

个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

例4.(2023秋•浙江•高三校联考期末)抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是

非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢

弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数(双)的分布列及数学期望；

(3)取了n伍=2,3,4,…)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率.

例5.（2023-全国•方三专题练习）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元

广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴

的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以

各组的区间中点值代表该组的取值）：

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下

表：

广告投入4（单位:万元）12345

销售收益孤单位:万元）2327

表中的数据显示，工与y之间存在线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏，并计算夕关于工的回归

方程.

夕的跖-nxy

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=V-------------,a=y-bx.

£力，一nx2

»=1

例6.(2023•全国•南三专题练习)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示,其中编

号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”,

负者称为“负者i”,第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为:，而乙、丙、丁

相互之间胜负的可能性相同.

136

(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；

(2)求甲获得冠军的概率；

(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

例7.(2023卷•浙江杭州•高三淅江看杭州第二中学校才开学考诚)中国在第75届联合国大会上承诺,

将采取更加有力的政策和措施,力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取206()年之

前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心,预示着中国经济结构

和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽

车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情

况,一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量0(单位:万台)关于双年份)的线性回归

方程为y=4.7工一9459.2,且销量y的方差为sj=等，年份z的方差为s&=2.

(1)求y与z的相关系数r,并据此判断电动汽车销量V与年份工的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

性别购买非电动汽车购买电动汽车总计

男性39645

女性301545

总计692190

依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关;

（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取3人，记这3

人中，男性的人数为X,求X的分布列和数学期望.

①参考数据：V5x127=V635七25；

n

x）（y,：—y）

②参考公式：⑴线性回归方程：g=6c+a,其中5=日〃—,a=y—bx；

£（为-无产

t=i

Z（今一石）（然一歹）

（"相关系数：/=/「F，若/＞。9,则可判断g与Z线性相关较强.

（电一历）2天（仅一。）2

Vt=li=l

n(ad—bcY

(m)z2=，其中?i=a+b+c+d,附表:

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.100.050.0100.001

&2.7063.8416.63510.828

例8.（2023・全国•南三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置

了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交

车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用之表示活动推出的天数，沙表示每天使

用扫码支付的人次（单位:十人次）,统计数据如表1所示：

表1：

X1234567

y611213466101196

根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.

参考数据：

7100.51

yV

i=li=l

62.141.54253550.123.47

其中劭=1g然，V=

1=1

参考公式：

对于一组数据（孙小）,（如,s）,…，（诙其回归直线u=a+%的斜率和截距的最小二乘估计分别

n

犯j—nwu

为8=V----------,a=v—^u.

，喏-rvur

i=i

⑴根据散点图判断，在推广期内，n=a+b①与y=c・d”（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为

扫码支付的人次"关于活动推出天数力的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于c的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支

付的人次；

例9.（2023-全国•高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进

行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为5（）,根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次

最大续航里程X近似地服从正态分布用样本平均数元和标准差s分别作为〃、。的近似值

），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程XW[250,400]的概率；

（参考数据：若随机变量X〜N（〃,尸），则一（7&X<〃+a）七0.6827,WX&〃+2a）之

0.9545,-3（r《X<〃+3cr）、0.9973）

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动，客户可根

据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0、1、2、3、……、20）移

动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格）,则可获得购车优惠券3万元;若遥控车最终停在“微

笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是遥控车开始在第

0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次:若掷出正面,遥控车向前移动一格（从到Z+1）;若

掷出反面,遥控车向前移动两格（从R到k+2）,直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，

游戏结束.设遥控车移到第九（l&n&19）格的概率为R,试证明｛2-E-｝是等比数列，并求参与

游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到0/万元）.

【过关III试】

1.(2023-方三乐时练习)设两名象棋手约定谁先赢>l,fc€N)局，谁便赢得全部奖金a元.已知每

局甲赢的概率为p(0Vp<l),乙赢的概率为1—P，且每局比赛相互独立.在甲赢了局，乙

赢了n(n<fc)局时・，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？请回答下面的问题.

(1)规定如果出现无人先赢处局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自

赢得全部奖金的概率之比进行分配.若a=243,%=4,力=2,九=1,p=则甲应分得多少奖金？

(2)记事件A为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k=4,m=2,n=1时比赛继续进

行下去且甲赢得全部奖金的概率/(p).规定:若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小

概率事件,请判断当0>,时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.

2.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校才模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间

（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击

后有4■的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发,从而可能连续

多次跳过冷却时间持续发动攻击;技能二是每次发动攻击时有义的概率使得本次攻击以及接下来

的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得

到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触

发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮

攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1,技能一和技能二的各次触发均彼此独立：

（1）当“突击者”发动一轮攻击时,记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”,事件B为“技

能一和技能二各触发1次”，求条件概率

（2）设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为P,„求P,,.

3.(2023-全国•it三专题练习)现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发

炮弹,每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立.已知射击训练有4,6两种型号的炮弹，对于4型号

炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为汉0<p40.4),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为

().6,击中两弹目标飞行物必坠段;对子3型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为g(()VqV

1),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4,击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8,击中三弹目标

飞行物必坠毁.

(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行

物的概率不低于0.936；

(2)若p+q=1,试判断在一次训练中选用X型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率

更大？并说明理由.

4.(2023•全Bl•it三专题练习)某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验

试剂品a分为两类不同剂型上和a2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂©和的合格的概

率分别为；和1■，第二次检测时两类试剂©和电合格的概率分别为/和*已知两次检测过程相

互独立，两次检测均合格,试剂品a才算合格.

(1)设经过两次检测后两类试剂0和矽合格的种类数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为''与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对

其家庭成员逐一使用试剂品a进行检测,如果有一人检测呈阳性,则检测结束,并确定该家庭为“感

染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0VpVI)且相互独立，该家庭至少检测了

3个人才确定为“感染高危户”的概率为.f(p)，若当p=p。时,/(〃)最大,求的值.

5.(2023-全国•高三专题练习)某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球

跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男(甲同学)2女(乙同学和丙同学)三人参加这两

个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6,女生单独完成“夹球跑”的概率为a(0<aV0.4).

假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为3

(1)证明:在的概率分布中，P(§=1)最大.

(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下:该代表队先指派一人上场投篮,如果投中，则比赛终止,如

果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止.该班代表队的

领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为。=P(g=i)(i=l,2,3),每位同学能否

命中相互独立.请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均

值最小？并给出证明.

6.(2023春•河南郑州•高三郑州四中校考阶段练习)在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老

师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了

200名学生的数学成绩，将成绩分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6组,

得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于9()分为优t频里

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于

70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在[70,100]内的学

0.010

生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学

0.005

生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数学期望.

5060708090100分数

7.(2023-全国•三专题练习)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素

是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：

性别锻炼

不经常经常

女生4060

男生2080

(1)依据a=0.01的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼,求他是男生的概率；

(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神,塑造健康体魄”的主题活动，在该

活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者

都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第71次传球后球在甲手中的概率.

附.2=_______n(ad-bc)?________

,,,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

7.879

xa6.63510.828

8.（2023-全国•高三专题练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着

重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业

对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份t20172018201920202021

年份代码±3=1-2016)12345

销量夕/万辆1012172026

（1）统计表明销量y与年份代码/有较强的线性相关关系,利用计算器求y关于工的线性回归方程，

并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破5（）万辆；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查

了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有仞名，购置

新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.

①若位=95,将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体,试用⑴中的线性回

归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果

精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p,将样本中的频率视为概率,从被调查的所有男性车主中

随机抽取5人,记恰有3人购置新能源汽车的概率为/⑺），求当仅为何值时，〃p）最大.

9.(2023•全国•高三专题练习)为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、

3进行体育运动和文化项目比赛，由y1部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三

局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若4部、B部中的一方能连续两天

胜利，则其为最终冠军；若前两天4部、5部各赢一天,则第三天只进行一局附加赛,该附加赛的获胜

方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p(0VpV1),每局比赛的结果没有平局且结果互相

独立.

(1)记第一天需要进行的比赛局数为X,求£(X),并求当E(X)取最大值时p的值；

(2)当p=时，记一共进行的比赛局数为匕求P(Y45).

10.(2023-全国•南三专题练习)学校篮球队30名同学按照1,2,…，30号站成一列做传球投篮练习，篮

球首先由1号传出，训练规则要求:第小(14m&28,mCN)号同学得到球后传给馆+1号同学的概

率为4,传给m+2号同学的概率为4，直到传到第29号(投篮练习)或第30号(投篮练习)时,认

OO

定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为1,30号同学投篮命中的概率为设传球传到

JI

第n(230,neN)号的概率为

⑴求R的值；

(2)证明：{8+LR}(2<n<28)是等比数列；

(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小.

H.(2023秋•浙江杭州•南三淅江省牺户中学期末)核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去

完成，每次只派一人,每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则

撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为,也，虫.假

设初，g,小互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.

(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；

(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为5,桃，公,其中彷，生，公是功,P2,03的

一个排列.

①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望E(X)；

②假定1＞“＞小＞科,为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？

12.(2023•全国•高三专题练习)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验,得到如下丢失数据的

列联表：

患病未患病总计

没服用药203050

服用药Xy50

总计MN100

设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为生从服用药物的动物中任取2只，未患病数为人工作

人员曾计算过P患=0)=笔=0)

⑴求出列联表中数据x,y,M,N的值：

(2)求£与〃的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义：

(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？

n{ad—bc)2

(参考公式，其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>卜)0.100.050.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

13.（2023•全国•高三专题练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕

业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统

计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位:千人），得到如下表格：

大学A大学B大学。大学。大学

2022年毕业人数H千人）7654

2022年考研人数y（千人）0.50.40.30.2

⑴已知"与%具有较强的线性相关关系，求：y关于C的线性回归方程y=bx+a；

（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.

①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：

②若人大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为p,3p-l,该省对小浙、小江两人的考研补

贴总金额的期望不超过075万元，求p的取值范围.

_n.__n_

Z（g一元）（仅一切ZXiVi-T画

参考公式：B------------=V----------,a=y-bx.

22（x,-x）2-nx2

i=lt=l

14.(2023-全国•高三专题练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使

用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名

的离散型切比雪夫不等式:设X为离散型随机变量，则P(|X—学，其中才为任意

A

大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件IX—川W/1

的概率作出估计.

(1)证明离散型切比雪夫不等式；

(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数n>5.在一次抽奖游戏中，有n个不透明的箱子依次

编号为1,2,…山,编号为i(lWiVn)的箱子中装有编号为0,1,…,i的i+1个大小、质地均相同的小

球.主持人邀请n位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为

X，并记X=f圣.对任意的人是否总能保证P(XWO.E)>0.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)？

1=1

并证明你的结论.

附:可能用到的公式(数学期望的线性性质):对于离散型随机变量x,x,x?,…,X.满足x=fx,,

1=1

则有E(X)=fE(X,).

i=l

15.(2023.全国•南三寿题练习)甲、乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金25G元,谁先赢满5局，谁便

赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为汉Ovpv1),甲赢的概率为1-0每局游戏相互独立,

在乙赢了3局甲赢了1局的情况下,游戏设备出现了故障,游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为

合理？有专家提出如下的奖金分配方案:如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲、乙按

照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比乙分配奖金.

(1)若p，则乙应该得多少奖金；

(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的

概率/(A),并判断当目二得时，事件4是否为小概率事件，并说明理由.(注:若随机事件发生的概率

小于0.05,则称随机事件为小概率事件)

16.(2023-全国•高三专题练习)某大型养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为p.

(1)若p=0.9,从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为&求£的概率分布及数学期望；

(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下:按每eN*)只鸡一组分组,

并把同组的k只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组卜只鸡逐只化验.设每只鸡的

化验次数为随机变量〃，当且仅当248时，〃的数学期望E⑺V1,求p的取值范围

17.(2023•全国•高三专题练习)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高

一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了50()名高一学生进行在线调查，得到了这500名学

生的日平均阅读时间(单位:小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],

(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读

时间在(10,12]内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间

和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读

时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生

中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10

人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]

024681012141618日平均阅读时间/小时

内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生

中恰有足名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k=0,1,2,…，10.当P(fc)最大时,写出

k的值.(只需写出结论)

18.(2023-全国•高三专题练习)某学校开展投篮活动，活动规则是:每名选手投篮n次(n>3,neN*

)，每次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮.规定

每名选手第一次站在两分线处投篮.站在两分线处投进得2分,否则得。分;站在三分线处投进得3

分，否则得0分.已知小明站在两分线处投篮投进的概率为07,站在三分线处投篮投进的概率为

0.5,且每次投篮相互独立.

(1)记小明前2次投篮累计得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)记第k次投篮时，小明站在三分线处投篮的概率为痣，k=1,2,…,求曲的表达式.

19.(2023-全国•高三专题练习)2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，

知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分,答错得1分，不限制答题次数.已

知小明能正确回答每题的概率都为且每次回答问题是相互独立的，记小明得几分的概率为

p(n)，nEN*.

⑴求p(2),0(3)的值；

⑵求p(n).

20.（2023秋•湖南长沙•商三长沙一中校考阶段练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动,

分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分,第二、

三名各积2分，第四名积1分,每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分,

获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、

第二名的概率均为获得第四名的概率为《；甲参加"双人对战''活动，每局比赛获胜的概率为:.

（1）记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为X,

求X的分布列与数学期望；

⑵“挑战答题”比赛规则如下:每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若

第一次答错时，答题结束,积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引

更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到九10）阶，规定每轮答题获得5个

积分进2阶,没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品,记乙每次获得5个积分的概率

互不影响，均为得,记乙进到n阶的概率为,求p12.

21.(2023-全国•高三专题练习)2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名

高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进

行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜:若比赛三场还没有决出胜

负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛，乙赢概率

为4；甲与丙比赛,丙赢的概率为P，其中1Vp

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种

安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策，问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进

行比赛？

(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；

若平局，两队各获奖金L8万元.在比赛前，已知业余队采用了⑴中的最优决策与甲进行比赛，设赛

事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围.

22.(2023春•史庆•南三统考开学考试)某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本,检测其

质量指标值小(其中：1()()400)，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值150&mV1004SV150或350&馆

m350<400

等级A级B级

(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的(50%分位

数；

(2)从样本的B级零件中随机抽3件,记其中质量指标值在

[350,400]的零件的件数为异求《的分布列和数学期望；

(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按5()()个一箱包装，已知一个月级零件的

利润是10元，一个4级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件

的利润.

痛点问题之概率统计经典解答题

【秒杀总结】

★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：

一是统计的基本研究过程：收集数据一整理数据-分析数据一统计推断.

收集数据整理数据分析数据统计推断

三种抽样方法：五种统计图表：两种数字特征：三种统计推断：

简单随机抽样频率分布表，集中趋势(众数、中用样本估计总体

(抽签法、随机法)，频率分布直方图，位数、平均数)，(估计思想)，

系统抽样，茎叶图，散点图，离散程度(极差、方回归分析(拟合思想)，

分层抽样.列联表.差、标准差).独立性检验(检验思想).

二是随机事件的基本研究过程:随机事件一事件概率一基本概型.

随机事件事件概率基本概型

八种常见事件：三种常见求法：七种概率模型：

随机事件，基本事件，用频率估计概率，古典概型，几何概型，

等可能事件,并事件，交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率，对立事件概率，

互斥事件，对立事件,相互独立式，条件概率,相互独立事件概率，

事件.转化为简单事件的概率.独立重复试验概率.

三是随机变量的基本研究过程:随机变量一概率分布模型一分布列及数字特征.

随机变量概率分布模型分布列及数字特征

两类随机变量：四种分布模型：三个问题：

离散型随机变量，两点分布,超几何分布，概率分布列，数学期望，方

连续型随机变量.二项分布，正态分布.差.

【典型例题】

例1.(2023-内蒙古赤峰•统考模拟fl测)已知函数/(2)=x-ln(ax+1)(aW(),a€H).

⑴若/3)20,求a的值;

(2)已知某班共有n人,记这n人生日至少有两人相同的概率为P(n),nW365，将一年看作365天.

(i)求/(t1)的表达式；

(ii)估计P(50)的近似值(精确至U0.01).

,,,,2V,i!Ml'.IO

参考数值：e下〜0.0348687,屋司70.0304049,-0.00121583,e-Tr-0.000924459.

【解析】⑴由题意得，当a>0时，/3)的定义域为(一!，+8)；当a<0时，/㈤的定义域为(一8,—£),

又/(o)=(),且f3)又o,所以心=o是/3)的极小值点，故/'(o)=o.

而于是l-a=0,解得a=l.

下面证明当a=l时，/(rr)>0.

当a=1时,/(c)=.-r-ln(x+1),/'(z)=1-.；]=Ui,n>-1,

所以当rr>0时，/'(工)>0,/(2：)在(0,+8)单调递增；

当一1cHV0时J'(z)<0,f(x)在(-1,0)单调递减,

所以/(工)>/(0)=0,即a=l符合题意.

综上,a=1.

365x364x363x-x(365-n+1)

(2)(i)由于"人生日都不相同的概率为

365”

365x364X363x-x(366-n)

故n人生日至少有两人相同的概率为P(n)=1-

365”

(ii)由(1)可得当rr>—1时，工一ln(z+1)>0,即ln(l+x)<a;,当且仅当z=0时取等号,

由(i)得

记力=(一+…(—噩)，

则Int=ln(l-套)+ln(l-+…+足(1-温)

__1____2__49=1+2+…+49=49x50=245

—酝―W365-365-2x365---7T，

245245

即CVe-H,由参考数值得■g0.0348687,

于是P(50)=1->1-0.0348687=0.9651313,故P(50)=0.97.

例2.(2023秋•四川成都•方三树檐中学校考期末)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在

卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、

右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而

且门将即使方向判断正确也有系的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球

OFIFAWORLDCUP

大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；Q/W

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训

练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向

另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第八次传球之前球在甲脚下的概

率为叩，易知Pl=1邛2=。・

①试证明：上一5｝为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较pw与qw的大小.

【解析】(1)方法一：X的所有可能取值为0,1,2,3,

在一次扑球中，扑到点球的概率P=[x

JJ»

所以P(X=0)=或借):爵,P(X=1)=竭•借)匕粽,

P(X=2)=C?.(5x,=色,P(x=3)=c；(t丫=忐，

所以X的分布列如下：

X0123

P24

尸(丫、=192241243=1

E(X)-729*1+729*~+7293-729-3

方法二:依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p=Jx[■=],

JJJ

门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,易知X〜B(3,。),

所以P(X=k)=5x(g)x(―),A;=0,l,2,3,

故X的分布列为：

X0123

P5126481

729243243729

所以X的期望E(X)=3x[=q.

(2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为p”，

则当打，2时，第九一1次传球之前球在甲脚下的概率为p,i,