第12章动量定理

第12章动量定理§12-1动量定理§12-2质心运动定理

实际上的问题是：(1)

联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。(2)

大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要研究质点系整体的运动情况。

对质点动力学问题：可由前一章内容建立运动微分方程求解。

对质点系动力学问题：可以逐个质点列出其动力学微分方程联立求解，但求解过程很复杂。§12-1动量定理

本章将要讲述求解动力学问题普遍适用的方法,即动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)，它们揭示了质点和质点系动量，动量矩或动能的变化与其受力的主矢、主矩或功之间的关系，可以求解质点系动力学问题。由于在理论体系上是从牛顿定律出发，推导出动力学普遍定理。因此，所用参考系，除特别说明者外都应是惯性系。

质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。(1)质点的动量：质点的质量与速度的乘积

称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与

相同。单位是kgm/s。1.动量在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积表征了质点机械运动的强弱，例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。

(12-1)式中n为质点数，mi为i质点的质量，

为质点速度矢量。

如i质点的矢径为

，其速度为，代入式(12-1)，因mi不变，则有：令

为质点系总质量，与重心坐标类似，定义质点系质量中心（质心）代入上式，得上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。(12-2)(12-3)

刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，确定的瞬时质心是刚体内某一确定的点。对于质量均匀分布的规则刚体，质心就是几何中心（形心），由式(12-3)可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。(12-3)

曲柄连杆机构的曲柄OA以匀角速度w转动，设OA=AB=l

，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m，滑块B的质量也为m。试求当j

=45º时，系统的动量。

例题12-1

解：曲柄OA：滑块B：连杆AB：

(p为速度瞬心，

)例题12-1例题12-1思考题12-1

质量均为m，长度均为l的两相同匀质杆AC0与BC0以铰链C0相连接。两杆上各点的速度分布如图所示，且其外端点A，B的速度矢相等，即。试计算该系统的动量。讨论：注意vC≠0，质心C不是铰链C0（铰链C0速度为零）。质心C是空间运动的点，下一瞬时，将不再与铰链C0重合。解：2．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。如力

是常矢量，则此力的冲量为：

(12-4)冲量的单位：N·s=kg·m/s2·s=kg·m/s与动量单位相同。元冲量为：而力

在时间t内的冲量为矢量积分：

(12-5)

如力

是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内，力的冲量称为元冲量。3.动量定理(1)质点的动量定理式(12-6)是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。

式(12-7)是质点动量定理的积分形式。对上式积分，时间由0到t，速度由

变为

，得(12-7)(12-6)

质点动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点动量的变化等于质点所受合力在此时间间隔内的冲量。(2)质点系的动量定理质点系的外力与内力

外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：

设质点系有n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点

i，对整个质点系，有n个方程，相加得因质点系动量增量为：上式可变为式(12-8)是质点系动量定理的微分形式，表明质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；式(12-9)表明质点系动量对时间的导数等于该质点系所受全部外力的主矢。或(12-8)(12-9)式(12-10)为质点系动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力的冲量矢量和。对式(12-8)积分，得

另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。(12-10)

(12-12)

动量定理是矢量式，在应用时常采用投影式，如式(12-9)和式(12-10)在直角坐标系的投影式分别为：(12-11)

由式(12-11)和式(12-12)，如果质点系受到外力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即(3)质点系动量守恒定律以上结论称为质点系动量守恒定律。同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变。如，则

注意，质点系动量的投影为零，并不意味着每一质点动量投影都是零。

质量为m2的大三角形柱体，放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m1的小三角形柱体，试求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。系统初始时静止。例题12-2解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析：水平方向px=常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则例题12-2运动分析：设大三角块速度

，小三角块相对大三角块速度为

，则小三角块。例题12-2

质点系在力作用下其运动状态跟质点系质量分布状态有关，前面定义了质心的位置，即(1)质量中心

质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即§12-2质心运动定理(12-13)(2)质心运动定理

由式(12-3)知，质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，则动量定理的微分形式可写成(12-13)

对质量不变质点系，该式改写为(12-14)上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系外力矢量和，称为质心运动定理；它同质点动力学基本方程相似，可以把质点系质心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量，作用着质点系的全部外力。将式（12-14）两边栽固定直角坐标系上投影：(3)质心运动守恒定律

从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变，称为质心守恒。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。——该结论称为质心运动守恒定律。

只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。

电动机的外壳固定在水平基础上，定子(包括外壳）重为P1，转子重为P2，转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。试求转子以角速度

作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的水平和铅垂约束力。例题12-3

解:取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图。运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例题12-3a1=0，a2=e2根据质心运动定理，有(m2=P2/g)例题12-3m1=P1/g所以:

可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。其最大值和最小值为（按绝对值）：

浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,试求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。例题12-4解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标xC保持不变。例题12-4m1=P1/g,m2=P2/g,m3=P3/g设船的位移x１，向右，杆的质心水平位移重物的位移例题12-4计算结果为负值，表明船的位移水平向左。例题12-4

当质点系的动量守恒时，其中各质点的动量是否也必须保持不变？思考题12-2

如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1

，船长l，水的阻力不计。试求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g例题12-5

取人与船组成质点系。因不计水的阻力，故外力