大学物理非线性振动

§8.3

非线性振动一、非线性振动系统由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。下面以单摆做自由振动为例进行分析单摆的线性振动将sinθ按泰勒级数展开可得单摆θ很小时，θ3以上可忽略不计，同时令ω2=g/L可得由上式可知，小角度下单摆的运动是简谐振动，其周期为单摆的非线性振动随着θ的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程。可以证明单摆的周期变为式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。当时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。可见单摆的周期是一个向无穷大发展的非线性变化。两边积分得单摆线性振动的相图即T/T’随摆幅θm变化关系可见，线性振动的相轨迹为椭圆,中心点是稳定的奇点.初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。单摆非线性振动的相图如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方程两边积分可得单摆无阻尼线性振动的相图当t=0时，θ=θ0可见，其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，表示运动仍是周期性往复摆动。当摆幅增大π到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为鞍点,如上图.单摆无阻尼非线性振动的相图鞍点和中心点一样也是一个奇点，但是在鞍点上

说明鞍点是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状．从势能曲线和相图上可知处势能最大，势能曲线、相图、鞍点双曲点的存在，预示着混沌运动的可能．假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来，双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。二、非线性振动系统的混沌行为仍以单摆为例,前面已经讨论过它的自由振动,下面分析其阻尼振动和受迫振动有阻尼、无策动力的振动小摆幅时运动方程为小摆幅时,按阻尼的大小其运动状态可分为过阻尼、临界阻尼、和阻尼振动.从相图可知,无论单摆从什么初始状态出发,最后都要静下来.其状态最终要落到中央焦点处,这一点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来,称为“吸引子”单摆阻尼振动的相图(小摆幅)有阻尼、并有策动力的振动大摆幅时运动方程是非线性的单摆阻尼振动的相图(大摆幅)此时,从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心的吸引子.振动方程为这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分析.有策动力、有阻尼时单摆的相图保持其他两个参量不变,f逐渐增加时,单摆的相图会产生如下变化:f=1.07,出现2倍的周期,f

变化两个周期后单摆才恢复原状;f=1.15,相轨迹分布看似没有规律,反映了某种内在的结构特征;f

=1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布,恢复单倍周期状态,但此时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转;f=1.50,

又出现貌似无规则的运动,但比f=1.15,时更为混乱.由此可见,在受迫阻尼振动中,单摆的运动反映出如下特征:描述运动特征的动力学方程是非线性的;这些非线性方程是确定性的,不包含任何随时间变化的随机项;在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对初始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果.这就是单摆的混沌行为.系统出现的一种貌似随机的运动。混沌:一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条件下用计算机进行数值计算。混沌现象具有如下特征:对初值敏感依赖——最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。运动不可重现,不可预报;相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子”;混沌现象研究表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是非线性的，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象。自70年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。混沌不仅是数理学科的理论,而是遍布各个领域.如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫口模型”等等．比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情