第1章线性空间1-3

线性代数与矩阵论

刘彬

南京工业大学理学院

矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。作为数学的一个重要分支,理论具有极为丰富的内容；作为一种基本工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。特别是计算机的广泛应用为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。例如，系统工程、优化方法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着密切的联系。从而，使矩阵理论近年来在内容上有相当大的更新。因此，学习和掌握矩阵的基本理论与方法，对于研究生来说是必不可少的。主要参考书目：1.刘彬,线性代数与矩阵论

,电子版2.

张明淳，工程矩阵理论，东大出版社3.

刘慧等，矩阵论及应用，化工出版社矩阵论内容要点索引线性代数（矩阵代数）

Ch.1线性空间Ch.2线性变换Ch.3欧氏空间矩阵理论Ch.4矩阵分析Ch.5矩阵分解第一章线性空间§1.1线性空间的定义和性质

线性空间是我们以前学习过的n维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有

一数域的概念

重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。设P

是由一些复数组成的集合，其中包括不为0）仍是P

中的数，则称P

为一个数域．0与1，常见数域：注意：自然数集N及整数集Z定义都不是数域．如果P

中任意两个数的和、差、积、商（除数有理数域Q；实数域R；复数域C.是一个数域．例．证明：数集证：

又对设则有设于是也不为0．矛盾）（否则，若则于是有为数域．二线性空间的基本概念及其性质而且这两种运算满足一些重要的规律,如

引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在线性代数中，我们讨论了数域P上的n维向量足上述这些重要的规律，即

数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满引例2设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；定义了一种运算叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：如果加法和数量乘线性空间的定义在P与V的元素之间还加法满足下列四条规则：

①

⑤

⑥

数量乘法与加法满足下列两条规则：

⑦

（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

数量乘法满足下列两条规则

:②

⑧

④

对

都有V中的一个元素β，使得

;（β称为的负元素）

③

在V中有一个元素0，对3．线性空间的判定：注：

1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者

4.在本书中我们主要讨论实数域或复数域上的线性空间，分别简称为实线性空间或复线性空间。

例1引例1,2中的Pn,P[x]例2数域P上的次数小于n

的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵用表示．均为数域P上的线性空间．构成数域P上的一个线性空间，按多项式的加法和数量乘

例4实数区间上的所有实值连续函数构成的集合，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成实线性空间，称之为连续函数空间。记为由所有定义在实数R上的连续函数组成的空间。

例5全体正实数R＋，判断R＋是否构成实数域R上的线性空间

.1)加法与数量乘法定义为：

2)加法与数量乘法定义为：

例5全体正实数R＋，1)加法与数量乘法定义为：

⊕不封闭，如：

解：1）所以R＋不构成实数域R上的线性空间.

2)首先，R＋≠，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.,且

ak

唯一确定．

,且

ab

唯一确定；

事实上,

其次，加法和数量乘法满足下列算律

②

①

③

R＋，

R＋，即1是零元；

即

a的负元素是⑤

;R＋；

⑥

;⑦

⑧

∴R＋构成实数域

R上的线性空间．

;从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。

证明这里仅证明（1）(3）,其余的证明留作练习。（1）零向量0是唯一的.（3）（4）若，则或。

(1)设和都是零元素,则由定义有：

又

零元素是唯一的。

（3）先证

(注意等号两边的“0”代表不同的对象）；

（2）一个向量的负向量是唯一的.对任意

是V中的零元素，根据零元素的唯一性得

再证

是的负元素，根据负元素的唯一性得

最后证

§1.2线性空间的基、维数与向量的坐标

引入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）

在线性代数中讨论n维向量时，我们曾引进了线性组合、线性相关(无关)、等价向量组、极大无关组等许多重要概念,而这些概念仅与n维向量的加法及数乘有关，所以不难将它们推广到一般的数域P上的线性空间V。

定义3设是向量空间V的r个向量，是数域P中任意r个数.我们把和叫做向量的一个向量组合或线性表示.如果V

中某一向量可以表示成向量的线性组合，我们也说可以由线性表示.例向量组1=(1,2,3),2=(1,0,2)与向量组β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1)定义4设和是向量空间V的两个向量组,如果每一个都可以由线性表示,而每一也可以由线性表示,那么零向量显然可以由任意一组向量线性表示，因为就说这两个向量组等价.等价.定义5设若存在不全为零的数

，使得

则称向量组为线性相关的；如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立。

则称为线性无关的．

例令P是任意一个数域。中向量1=（1,2,3),2=（2,4,6),3=（3,6,9）

例5在连续函数空间C（R）中，讨论向量组的线性相关性:

解

根据定义5，向量组是线性相关的，但向量组中任意两个都是线性无关的。

1=（1,0,0)，2=（0,1,0)，3=（0,0,1）线性相关;线性无关。例6在多项式空间中，讨论向量组的线性关性:

解

若

则必有

是线性无关的。

2.设向量组线性无关,而线性相关.那么β一定可以由线性表示.1.单个向量是线性相关的充要条件是＝0;3.设向量组线性无关,而且可以被线性表示，则.由此推出，两个等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量。

仿照以前的证明，可得以下常用的一些结论

:两个以上的向量线性相关的充要条件是其中一个向量可用其余向量线性表示。

定义6

设V是数域P上一个向量空间.V中满足下列两个条件的向量组叫做V的一个基:（1）线性无关；（2）V的每一个向量都可以由线性表示:线性空间的基底，维数与坐标向量空间Ｖ的基所含向量个数n叫做Ｖ的维数,记,而关于基称为的坐标.注意：1.若线性空间V只含有一个零向量，则称V

2.若V中有任意多个线性无关的向量，则称V是无限维的。例如实多项式空间中，对任意正整数n,

都是线性无关，从而是无限维.

3.若V有一个基，则基是不唯一的。但由于V的不同基是等价的，从而不同基含有相同个数的向量，因此V的维数是唯一确定。另外，根据前面的结论2，在V的一个基下的坐标是唯一的。

是零空间，并称零空间的维数为0;本课程主要讨论有限维线性空间，不讨论无限维线性空间。

例

3维几何空间R3＝

是R3的一组基；

也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，

就是Pn

的一组基．称为Pn的标准基.

下的坐标，其中

解：设

，则有线性方程组解之得，

．

∴ξ在基

下的坐标为

．

例在线性空间中求向量在基

例7求复数集C分别作为实线性空间和复线性空间（对于通常的加法与数乘）的一个基、维数及任一复数在对应基下的坐标。

解(1)C看成实线性空间,则可验证:（2）C看成复线性空间,则可验证:例8求实线性空间的一个基、维数及任意矩阵在这个基下的坐标。

其维数dimC=2，复数在基1,i下的坐标为1,i是V的一个基，其维数dimC=1，复数在基1下的坐标为

1是V的一个基，

解

设

若有实数，使得

是中线性无关组，又对任意，有则容易推得,故是的

—个基，

任意矩阵A在这个基下的坐标为解可由线性表示，所以例9求实线性空间的一个基、维数及多项式在这个基下的坐标。（a为任一实数）也是的一个基。根据公式，任意有：

是线性无关的，且任意

为的一个基，其维数，在这个基下的坐标为

另外，容易验证故在下的坐标为

例10已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.

解:即x可由a线性表出.任取R＋中的一个数a,且，则a是线性无关的.故R＋是一维的，任一正实数就是R＋的一组基.数1是R＋的零元素.§1.3基变换与坐标变换

从例9可看出，同一个向量在两个不同基下的坐标一般是不同的，因此在处理一些问题时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.

本节主要讨论这个问题。

定义7设n维线性空间V中有两个基（旧的）与（新的）它们之间的关系为：此关系可形式地写成

由过渡矩阵的定义看出，过渡矩阵A的第j列正好是向量在基下的坐标（）。

上式称为基变换公式，其中矩阵称为从基到基的过渡矩阵。可以证明过渡矩阵必是可逆的。

在形式书写法下有下列运算规律注：；

；若

线性无关，则

定理1设n维线性空间V的一个基到另一个基的过渡矩阵是A，V中元素在这二个基下的坐标分别是（）和（），则有坐标变换公式

或

证明

可形式地写成又

根据向量在基下的坐标唯一性得到

或例在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

解：∵

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

而，∴

故，由基

到基

的过渡矩阵为到基

由基的过渡矩阵为

而，例考虑中以下两组向量：证明：和都是的基．求出由基到基的过渡矩阵。解：因此，由基到的过渡矩阵是这里