第3章线性系统的时域分析

第三章线性系统的时域分析法3.1系统时间响应性能指标3.2一阶系统时域分析3.3二阶系统时域分析3.4高阶系统时域分析3.5线性系统的稳定性分析和稳定判据3.6线性系统的稳态误差

3.1系统时间响应的性能指标线性控制系统常用的分析方法:

时域分析法，根轨迹法、频域分析法时域分析法：

控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态（动态）和稳态性能时域分析

在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应是由动态响应和稳态响应组成。动态响应TransientResponse

又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程稳态响应Steady-stateResponse

指系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现形式。稳定是系统能够运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义3.1.1典型输入信号为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的响应过程。

常根据系统常见的工作状态来选取典型输入信号，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。

典型输入信号：根据系统常遇到的输入信号的形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。1.阶跃函数(Stepfunction)

如电流突然接通、负载突变2.斜坡函数（速度函数）(Rampfunction)如船闸升降、机床加工斜面典型输入信号3.加速度函数(Accelerationfunction)4.正弦函数（Simusoidalfunction）如海浪的扰动力5.单位脉冲函数与单位冲激函数(Impulsefunction)单位冲激函数的性质时间响应的性能指标通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。假定：系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，输出量及各阶导数均等于零。动态性能指标：

稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的指标动态性能指标动态性能指标示意图1h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标示意图2动态性能指标1、上升时间tr(RiseTime):

阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间。若阶跃响应曲线不超过稳态值，则定义阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间为上升时间单位阶跃响应2、峰值时间tp

(PeakTime):

阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间单位阶跃响应3、延迟时间(DelayTime):

阶跃响应曲线第一次到达终值一半所需的时间单位阶跃响应4、最大超调量(MaximumOvershoot):%,Mp5、调节时间ts(SettlingTime):

阶跃响应曲线到达并保持在允许误差范围所对应的时间称为过渡过程时间或称调节时间。误差范围常用终值的2%或5%6、振荡次数N

在0<t<ts内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半称为振荡次数。单位阶跃响应时域动态性能指标tr或tp评价系统的响应速度；ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。σ%评价系统的阻尼程度。h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts系统输出响应的求取

极点运动模态实数单极点σm重实数极点σ一对复数极点σ+jωm重复数极点σ+jω

根据拉氏反变换的部分分式法可知，有理分式C(S)的每一个极点（分母多项式的根）都对应于c(t)中的一个时间响应项，称为运动模态。每种模态代表一种类型的运动型态。运动模态零极点与运动模态的关系C(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应项（运动模态）的线性组合。系统输出信号拉氏变换的极点是由传递函数的极点和输入信号拉氏变换的极点组成。传递函数极点所对应的运动模态称为系统的自由运动模态或振型(modeofvibration)。传递函数的零点不形成运动模态，但却影响各模态在响应中所占的比重，因而，也影响时间响应及其曲线形状。传递函数的极点对应的时间响应分量称为瞬（暂）态分量；输入信号拉氏变换的极点对应的时间响应分量称为稳态分量;零极点与运动模态的关系3.2一阶系统的时域分析输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系

用一阶微分方程表示的系统称为一阶系统常见的温度控制系统和液压控制系统中的被控对象都是一阶系统将典型输入信号加入系统

通过分析系统时域响应来得到系统的性能指标（动态、稳态）一阶系统的时域分析1单位阶跃响应

稳态分量暂态分量Unit-StepResponseofFirst-orderSystemR(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。延迟时间：上升时间：调节时间：超调量：稳态误差：响应速度与时间常数T成反比，T越小，响应速度越快。td=0.69Ttr=2.2Tts=3T(=5%)4T(=2%)ess=02一阶系统的单位冲激响应R(s)＝1可知，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，这时输出称为单位冲激响应，记作h(t)

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems3一阶系统的单位速度响应Cs=t-T是稳态分量，也就是速度函数与输入信号斜率相同，时间滞后一个时间常数T。Ct按指数规律衰减到零，衰减速度由极点决定Unit-rampResponseoffirst-orderSystems4一阶系统的单位加速度响应跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表1:一阶系统对典型输入信号的响应系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。输出响应输入信号3.3二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统1.典型二阶系统的数学模型无阻尼自振角频率，单位是rad/s阻尼比（相对阻尼系数），阻尼系数与临界阻尼系数的比值两种二阶系统的典型形式二阶系统的特征根二阶系统的特征方程为：特征根等于：特征根分析s1,s2为位于复平面的左半部的一对共轭复根特征根分析s1,s2为一对相等的负实根阻尼比特征根（闭环极点）无阻尼过阻尼临界阻尼系统输出量发散欠阻尼分析当取不同值时的二阶系统的时域响应C(t)及性能指标针对不同的典型输入信号二阶系统的时域响应二阶系统的单位阶跃响应

(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应有阻尼自振角频率求反拉氏变换，可得(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应

稳态响应为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差;

暂态响应为按指数衰减的正弦振荡形态，其振荡频率为(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应衰减的振荡衰减速度与什么相关？与特征根分布关系如何阻尼比的减小将导致系统响应的振荡加剧，且衰减速度变慢；

临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调,单调上升过程(2)临界阻尼()(3)过阻尼()1、过阻尼状态的两个特征根均为负实数，其响应为两个衰减的指数项的线性组合。2、响应速度与两个特征根相关的两个时间常数共同决定3、响应曲线是无振荡单，无超调，调上升。不同于一阶系统；tc(t)0二阶过阻尼系统一阶系统响应1(3)过阻尼()（4）

=0（零阻尼）系统处于等幅振荡状态，振荡频率为n反之，如果系统以n

做等幅震荡，则可以断定，系统特征根必有共轭虚根（对高阶系统也成立），系统处于临界稳定状态。不稳定单位阶跃响应单位阶跃响应闭环极点0000取不同值（>0）时二阶系统的单位阶跃响应的曲线

二阶欠阻尼单位阶跃响应性能指标t)(tc)(ptc1ptst误差带0rta.上升时间当阻尼比一定时，系统响应速度与成正比当n一定时，阻尼比越小，上升时间越短b.峰值时间c.超调量阻尼比越大，超调量越小，反之亦然d.调整时间当阻尼比时e.振荡次数N动态性能指标：反映系统阻尼程度综合指标，反映响应速度与阻尼程度反映系统响应速度t)(tc)(ptc1ptst误差带0rt二阶系统欠阻尼情况的阶跃响应性能指标在控制工程中，除了不容许产生振荡响应的系统，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

二阶系统一般取性能指标已知系统参数，求系统性能指标已知性能指标要求，调整系统参数

典型例题例1要求系统性能指标为1、求解，n

求解K,KA例2.如图所示单位反馈随动系统，K=16s-1,T=0.25s,求：（1）求

和ts;（2)若要求=16%，当T不变时K应当取何值？解（1）求出系统闭环传递函数为因此有：（2）为使

=16%，由式当T=0.25不变时，则有二阶系统性能的改善例3.加入速度反馈后，对系统性能指标有何影响？可增大阻尼比，减小超调量3.二阶系统的单位脉冲响应

方法一：定义方法二：对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同值时二阶系统的单位脉冲响应.

方法三：利用线性定常系统的齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。≥1，即为临界阻尼或过阻尼，脉冲响应g(t)不改变符号；

单位脉冲响应曲线第一次与时间轴交点的时间为峰值时间tp;3.4高阶系统的时间响应

常见高阶系统的单位阶跃响应如下图所示：主导极点求高阶系统的时间响应很是困难，通常将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。这就是所谓的主导极点的概念

高阶系统中离虚轴最近的极点，如与虚轴的距离小于其他极点离虚轴距离的1/5，且该极点附近没有零点，可以认为系统的响应主要由该极点决定，称之为主导极点。非主导极点对应时间响应在上升时间之前能基本衰减完，只影响0~tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响。主导极点可为实数，也可为共轭复数。具有一对共轭复数主导极点的高阶系统可当作二阶系统分析。主导极点偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点，对系统的影响很小。高阶系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点决定，即输入信号决定暂态分量就是系统的自由运动模态，形式由传递函数极点决定。高阶系统时间响应高阶系统时间响应1、暂态分量的各个运动模态衰减的快慢取决于对应的极点和虚轴的距离，越远衰减得越快。2、各模态对应的系数和初相角取决于零极点的分布。若某一极点越靠近零点，则相应的系数越小。若某极点远离零点，越靠近原点和其他极点则相应系数越大。3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小的运动模态或衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统就近似为较低阶系统。稳定性是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。不稳定的系统会在微小的扰动作用下偏离原平衡态，并随时间的推移而发散3.5线型定常系统的稳定性平衡位置的稳定性力学系统中，外力为零时，位移保持不变的位置称平衡位置。

平衡位置的稳定性取决于：扰动消失后，系统能否能自行返回到原平衡位置。悬挂的摆，垂直位置是稳定平衡位置。倒立的摆，垂直位置是不稳定平衡位置。控制系统的稳定性不论扰动引起的初始偏差有多大，扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到初始平衡态，此类系统称为大范围稳定系统。如只有扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在扰动消失后恢复初始平衡态，此类系统称为小范围稳定系统。稳定的线性系统必然在大范围内和小范围内都稳定。假设系统具有一个平衡工作点，在该平衡工作点上，当输入信号为零时，系统的输出信号也为零。控制系统稳定性1892年俄国学者李雅普诺夫控制系统稳定性

控制系统稳定性：

线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原工作点），则称系统渐进稳定，简称稳定；

反之，若在初始扰动下，系统动态过程随时间推移而发散则称系统不稳定。

线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，与外界条件无关线性定常系统微分方程一般形式：线性系统稳定的条件考虑初始条件，对上式取拉氏变换：线性系统稳定闭环特征方程式的根都位于S的左半平面

充要条件线性系统稳定的条件系统稳定性几点说明1、线性系统的稳定性是系统的固有特征（结构、参数），与系统输入信号无关，而非线性系统常与外界信号有关。2、稳定系统，输出信号中的暂态分量都趋于零。3、线性定常系统，如不稳定，输出信号将随时间的推移趋于无限大。实际系统，系统不稳定，其物理变量往往形成大幅值的等幅振荡或趋于所能达到的最大值。4、如有闭环极点实部为零（位于虚轴上），其余极点都具有负实部，这时称系统为临界稳定。此时，系统输出信号将出现等幅振荡，振荡的角频率就是纯虚根的正虚部。反之，如做等幅振荡，可知有纯虚根。工程上，临界稳定属于不稳定，因为参数的微小变化会使极点具有正实部而导致系统不稳定如何判别系统稳定性？1、求出闭环极点？2、实验？高阶系统难求如果不稳定，可能导致严重后果特征方程根的分布（避免求解）→稳定判据3.5.1劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)系统特征方程系数ai>0即所有系数为正数，系统不缺项。线性系统稳定必要条件系统特征方程为：系统稳定性例：劳斯表系统特征方程为：则劳思表中各项系数如下：劳斯表中第一列的系数均为正值系统稳定劳斯判据充要条件如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，系统不稳定！！！符号变化的次数等于该特征方程式在S右半平面上根的个数。

已知一调速系统的特征方程式为例3-5试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。已知某调速系统的特征方程式为

例3-6求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：劳斯判据的特殊情况劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余项不全为零劳斯表中出现全零行在这两种情况下，系统处在不稳定状态或临界稳定状态,系统存在正实部根或大小相等符号相反的实根或共轭虚根。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，相应的系统为不稳定!

其符号变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目.如果第一列系数符号相同，相应的系统临界稳定!

且方程中有成对共轭纯虚根存在。

以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列1、劳斯表某一行中的第一项等于零

（而该行的其余项不全为零）判定方法已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例3-7劳斯表第一列中系数的符号变化2次，则该方程在S右半平面上有两根，系统为不稳定解：列劳斯表-32-3-2/020

用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。辅助方程式的根也是特征方程的根！！且辅助方程式阶数总是为偶数，即其根的数目总是偶数。辅助方程的根为大小相等符号相反的实根或共轭虚根。2、劳斯表中出现全零行判定

若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应系统不稳定！如果第一列系数符号相同，相应的系统临界稳定!列劳斯表第一列无符号变化，显然这个系统处于临界稳定状态。有两对共轭虚根，系统做等幅振荡，振荡的频率为2，16038166248012SSS000161220161221620813456SSSS同时，用辅助方程还可以解出剩余的两个根0161620128223456=++++++SSSSSS

稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根离虚轴的距离远近，也就是稳定程度。劳斯判据的应用实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离如何判断一个稳定系统最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”？令S=Z+a代入原方程式中，得到以Z为变量的特征方程式。然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线S=a右侧。劳斯判据的应用sa0jω.为判断根是否在直线s=a的左侧或右侧，可假定s=a处为新坐标系Z的虚轴，在新的坐标系下面使用routh判据便可判知。例3-8用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线S=-1的右方。

解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入特征方程：列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线S=-1的右方。12114120123----ZZZZ已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答当

例3-9时，闭环系统的稳定条件是什么？（Kp>0）

.列劳斯表解:闭环系统的特征方程为利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值

例.已知方框图，系统以的频率做等幅振荡试确定振荡时的参数3.5.2赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统特征方程的一般形式为：各阶赫尔维茨行列式为：（一般规定）赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：

特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。103例：系统特征方程为：试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。104解：第一步：由特征方程得到各项系数２１３５第二步：计算各阶赫尔维茨行列式结论：系统不稳定。１０控制系统的性能

动态性能

稳态性能

稳态误差

3.6线性系统的稳态误差3.6线性系统的稳态误差

由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差又称原理性误差。另外，制造误差、参数变动、非线性因数都可引起稳态误差。本节只讨论系统原理性误差。无差系统:在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统有差系统:在阶跃输入作用下有原理性稳态误差的系统误差的稳态分量反映控制系统在稳态时跟踪参考输入信号或抑制扰动信号的能力，反映控制系统的精度，属于稳态性能，是对系统控制精度的度量。

对稳定的系统该研究稳态误差才有意义。稳态误差误差e(t)包含瞬态分量和稳态分量两部分3.6线性系统的稳态误差误差：一般采用在输出端定义的误差，即期望输出与实际输出之差3.6.1误差的定义在输入端定义：在输出端定义：两种定义：偏差，可测量误差，不可直接测量被控量的期望值Cr(t)可知，框图中，偏差不为0时，偏差产生作用，使得输出量趋于期望值可得对应等效框图中，误差位置：误差和偏差的关系输入信号引起的误差Er(s)扰动作用下的误差En(s)控制器)(sR)(sG)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN•系统对扰动期望输出为零，扰动产生的输出端误差信号为

输出对扰动的传递函数控制器)(sR)(sG)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN•当输入信号和扰动信号都存在时，可以采用叠加原理求总的偏差。条件：当SE(s)的极点均位于S左半平面（包括S=0的极点）求解稳态误差方法一:终值定理可以得出稳态误差的终值，但不能得出稳态误差的时间表达式已知r(t)=t,f(t)=-1(t),求系统稳态误差+-R(S)F(S)C(S)•判断是否满足条件：3.6.2系统型别K:为系统的开环增益，如何计算？设系统开环传递函数为ν为积分环节数！

系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别对于不方便得到系统开环传递函数的系统，可以由系统误差传递函数包含s=0的个数来得到系统的型别方法二:静态误差系数求稳态误差以系统型别来求取稳态误差的优点在于：

可以根据已知输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。下面的讨论都假定系统为单位负反馈。此时满足：1）阶跃输入作用下的稳态误差Staticpositionerrorconstant1）阶跃输入作用下的稳态误差１）把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。０型系统称为有（静）差系统。２）要使系统对阶跃输入作用不存在稳态误差，必须选用Ｉ及Ｉ型以上的系统。2）斜坡输入作用下的稳态误差Staticvelocityerrorconstant2）斜坡输入作用下的稳态误差０型系统稳态时，不能跟踪斜坡输入II型及II型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差3）加速度输入作用下的稳态误差Staticaccelerationerrorconstant3）加速度输入作用下的稳态误差０、I型系统稳态时，不能跟踪斜坡输入III型及III型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差0型系统只能跟踪阶跃信号（存在有限误差）I型系统可以跟踪阶跃、斜坡（存在有限误差）信号.II型及以上系统可完全跟踪阶跃、斜坡、抛物线（存在有限误差）信号方法二:静态误差系数求稳态误差减小系统稳态误差的方法？

1）静态误差系数法实质是用终值定理法求得系统稳态误差值。2）只有当输入是阶跃、斜坡和加速度函数或是三种函数的线性组合时，静态误差系数才有意义。3）以上结论是针对系统为单位负反馈，如不是单位负反馈，则求出的是稳态偏差,误差可用下式求出：几点说明例3-11某调速系统框图如下，Kc=0.05V/(r/min)，求R(t)=1(t)V时的稳态误差+-R(S)C(S)0.1kc•方法三:动态误差系数法Ci便是动态误差系数，根据收敛条件t可知，本方法可以描述稳态误差ess(t)的时间表达式，而不是误差信号中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况。1）求稳态误差的关键是将误差传递函数展开成s的幂级数。2）适用于输入信号和扰