专题4-灰色聚类评估

专题4：灰色聚类评估南京航空航天大学灰色系统研究所2010,南京问题什么是灰色聚类?为什么要提出灰色聚类模型?灰色聚类评估的主要研究内容有哪些?灰色聚类有哪些最新进展?与其他评估模型相比有何不同?引言

灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成若干个可定义类别的方法。一个聚类可以看作是属于同一类的观测对象的集合。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。

灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系统简化。通过灰色关联聚类，我们可以检查许多因素中是否有若干个因素大体上属于同一类，使我们能用这些因素的综合平均指标或其中的某一个因素来代表这若干个因素而使信息不受严重损失。

灰色白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别，以便区别对待。本章结构第一节灰色关联聚类第二节灰色变权聚类第三节灰色定权聚类第四节基于三角白化权函数的灰色评估第一节灰色关联聚类

定义4.1.1设有个观测对象，每个对象观测个特征数据，得到序列如下：对所有的计算出与的灰色绝对关联度，得上三角矩阵

其中称矩阵为特征变量关联矩阵。

取定临界值，一般要求，当时，则视与为同类特征。第一节灰色关联聚类

定义4.1.2

特征变量在临界值下的分类称为特征变量的灰色关联聚类。可根据实际问题的需要确定，越接近于1，分类越细，每一组分中的变量相对地越少；越小，分类越粗，这时每一组分中的变量相对地越多。第一节灰色关联聚类

例4.1.1某公司进行市场营销主管岗位招聘,应聘者云集,招聘小组根据这一岗位的特征,提出从以下方面进行评价

(1)申请书印象(2)学术能力(3)讨人喜欢(4)自信程度(5)精明

(6)诚实(7)推销能力(8)经验(9)积极性(10)抱负

(11)外貌(12)理解能力(13)潜力(14)交际能力(15)适应能力面试官认为评价指标太多,而且有内容有重叠,希望将评价指标进行删减.因此对这些指标进行打分,以确定具有代表性的指标,既简化评价过程,又不降低质量.具体打分指标见表4.1.1第一节灰色关联聚类

对所有计算出与的灰色绝对关联度，得上三角矩阵第一节灰色关联聚类第一节灰色关联聚类

令，我们从第一行开始进行检查，挑出大于0.80的，有从而可知:应与、、在同一类中；与在同一类中；、与在同一类中；、、与在同一类中；与在同一类中；与在同一类中；与在同一类中；与在同一类中。第一节灰色关联聚类

取标号最小的指标作为各类的代表，可得15个指标的一个聚类：第一节灰色关联聚类

取临界值，则以，为代表的两个类可归入所在的类中，可归入所在的类中，这样就得到较粗的聚类：其中所在的类反映了应聘者的品质、性格、经验等内在的能力，他包括申请书印象、学术能力、讨人喜欢、精明、诚实、经验、外貌、理解能力、潜力和交际能力几个方面；所在的类则是谋职者的进取心、创造力和应变能力等外在性格的体现，他包括自信程度、推销能力、积极性、抱负和适应性五个方面。第二节灰色变权聚类第二节灰色变权聚类

定义4.2.1设有个聚类对象，个聚类指标，个不同灰类，根据第个对象关于指标的观测值将第个对象归入第个灰类，称为灰色聚类。定义4.2.2

将个对象关于指标的取值相应地分为个灰类，我们称之为指标子类。指标子类的白化权函数记为。第二节灰色变权聚类第二节灰色变权聚类

定义4.2.3设指标子类的白化权函数为如图4.2.1所示的典型白化权函数，则称为的转折点。典型白化权函数记为:第二节灰色变权聚类

定义4.2.4(1)若白化权函数无第一和第二个转折点，即如图4.2.2所示，则称为下限测度白化权函数，记为。

(2)若白化权函数第二和第三个转折点重合，即如图4.2.3所示，则称为适中测度白化权函数，记为

(3)若白化权函数无第三和第四个转折点即如图4.2.4所示，则称为上限测度白化权函数，记为。第二节灰色变权聚类第二节灰色变权聚类

命题4.2.1(1)对于图4.2.1所示的典型白化权函数，有(2)

图4.2.2所示的下限测度白化权函数，有第二节灰色变权聚类

(3)对于图4.2.3所示的适中测度白化权函数，有(4)

对于图4.2.4所示的上限测度白化权函数，有第二节灰色变权聚类定义4.2.5(1)对于图4.2.1所示的指标子类白化权函数，令

(2)对于图4.2.2所示的指标子类白化权函数，令;(3)对于图4.2.3和图4.2.4所示的指标子类白化权函数，令则称为指标子类临界值。第二节灰色变权聚类

定义4.2.6设为指标子类临界值，则称为指标子类的权。定义4.2.7设为对象关于指标的观测值，为指标子类白化权函数。为指标子类的权，则称为对象关于灰类的灰色变权聚类系数。第二节灰色变权聚类定义4.2.8(1)称为对象的聚类系数向量。(2)称为聚类系数矩阵。定义4.2.9设，则称对象属于灰类。第三节灰色定权聚类第三节灰色定权聚类定义4.3.1设为对象关于指标的观测值，为指标子类白化权函数。若指标子类的权与无关，即对任意的，总有，此时我们可将的上标略去，记为，并称为对象属于灰类的灰色定权聚类系数。第三节灰色定权聚类

定义4.3.2设为对象关于指标的观测值，为指标子类白化权函数。若对任意的总有，则称为对象属于灰类的灰色等权聚类系数。定义4.3.3(1)根据灰色定权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色定权聚类；

(2)根据灰色等权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色等权聚类。第三节灰色定权聚类灰色定权聚类求解步骤：

第一步：给出指标子类白化权函数第二步：确定各指标的聚类权。第三步：从第一步和第二步得出的白化权函数，聚类权以及对象关于指标的观测值，计算出灰色定权聚类系数第四步：若，则断定对象属于灰类。第三节灰色定权聚类

例4.3.1

采煤方法的灰色聚类分析。某煤矿采用四种不同的采煤方法，即以综采，高档普采，普采以及炮采四种方法为聚类对象，取工作面单产（万吨/月*面），回采工效（吨/工），设备投资（万元）以及回采成本（元/吨）作为聚类指标；按好、较好、差三类进行分类，每个聚类对象关于各聚类指标的观测值如矩阵所示。第三节灰色定权聚类求解过程：（１）通过专家调查，得到指标子类白化权函数分别为

（２）同时调查得工作面单产（万吨/月*面），回采工效（吨/工），设备投资（万元）以及回采成本（元/吨）的权重分别为第三节灰色定权聚类(3)由可得：同理可得。所以类似可以算出第三节灰色定权聚类综合以上结果，可得灰色定权聚类系数矩阵为由可知，在四种采煤方法中，综采方法技术经济综合效益好，高档普采方法技术经济综合效益较好，而普采和炮采方法技术经济综合效益差。第四节基于三角白化权函数的灰色评估4.1端点三角白化权函数

设有个对象，个评估指标，个不同的灰类，对象关于指标的样本观测值为，我们要根据的值基于三角白化权函数的灰色评估方法

对相应的对象进行评估、诊断．4.1端点三角白化权函数求解步骤：

第一步：按照评估要求所需划分的灰类数，将各个指标的取值范围也相应地划分为个灰类，例如将指标的取值范围划分为其中的值一般可根据实际情况的要求或定性研究结果确定。

第二步：令属于第个灰类的白化权函数值为1，连接与第个灰类的起点和第个灰类的终点，得到指标关于灰类的三角白化权函数。对于和，可分别将指标取数域向左、右延拓至，。4.1端点三角白化权函数

计算出其属于灰类的隶属度。

第三步：计算对象关于灰类的综合聚类系数：其中为指标子类白化权函数，为指标在综合聚类中的权重。

第四步：由，判断对象属于灰类；同一灰类中，可根据聚类系数的大小确定各对象的优劣或位次．4.1端点三角白化权函数例4.4.1

某地区生态环境质量评价。 农业生态环境是一个由社会、经济、自然环境组成的庞大复杂的多因素系统，为了评价其质量高低，首先必须建立一套科学的评价指标体系。根据该区域农业生态环境特点，建立如下评价指标体系（见图4.4.2），目标层为农业生态环境质量评价（），准则层包括自然生态背景（）、人类影响程度（）和农田环境状况（）。

分析步骤：（1）评价指标权重的确定 按照评价指标体系确定的层次结构，进行专家调查，构造判断矩阵，通过计算获得各层次指标权重，见表4.4.1-4.4.3。4.1端点三角白化权函数

4.1端点三角白化权函数

4.1端点三角白化权函数

（2）评价灰类的确定 鉴于尽可能精确反映研究区域农业生态环境质量状况需要，本例采用五个评价灰类，灰类序号为，分别表示“劣”、“差”、“中”、“良”、“优”，结合专家意见，确定各指标所属灰类。（3）评价指标取数域延拓值4.1端点三角白化权函数

结合研究区域实际，对各评价指标进行延拓，表4.4.5表示各指标延拓值和实际值。4.1端点三角白化权函数4）各指标白化权聚类系数 根据计算后，将相关数据代入公式4.4.1，可以计算得到各指标白化权聚类系数。（5）结果分析 利用公式4.4.2，计算各准则层及研究区域农业生态环境质量综合聚类系数，见表4.4.7。 可以看出，就该区域农业生态环境质量总体而言，当前属于“良”灰类，在自然生态背景方面，该区域属于“优”灰类，就人类影响程度来看，该区域属于“差”灰类，就农田环境状况来看，该区域属于“良”灰类。4.1端点三角白化权函数

4.2中心点三角白化权函数

在划分灰类时，我们将属于该灰类程度最大的点称为该灰类的中心点。中心点三角白化权函数的灰色评估方法的具体步骤如下：第一步：按照评估要求所需划分的灰类数，选取为最属于灰类的点（可以是中点，也可以不是，以属于灰类最大可能性为选取依据，称为中心点），将各个指标的取值范围也相应地划分为个灰类，例如将指标的取值范围划分为个小区间第二步：同时连接点与第个小区间的中心点以及与第个小区间的中心点，得到指标关于灰4.2中心点三角白化权函数类的三角白化权函数，。对于和，可分别将指标取数域向左、右延拓至，，可得指标关于灰类1的三角白化权函数和指标关于灰类的三角白化权函数（见图4.4.3）。4.2中心点三角白化权函数对于指标的一个观测值，可由公式计算出其属于灰类的隶属度。第三步：计算对象关于灰类的综合聚类系数；4.2中心点三角白化权函数其中为指标子类白化权函数，为指标在综合聚类中的权重。第四步：由，判断对象属于灰类；当有多个对象同属于灰类时，还可以进一步根据综合聚类系数的大小确定同属于灰类之各个对象的优劣或位次。4.3两类白化权函数的比较定理4.4.1

中心点三角白化权聚类较端点三角白化权聚类更为合理，端点三角白化权聚类存在两个以上灰类交叉现象，而中心点三角白化权聚类不存在此现象。证明：令端点三角白化权聚类中灰类和灰类的交叉区域为，灰类和灰类的交叉区域为，则，如图4.4.4（a）所示，若某指标取值，则这与常理有违，而对于中心点三角白化权函数，如图4.4.4，4.3两类白化权函数的比较

，则不存在两个以上灰类交叉现象。4.3两类白化权函数的比较定理4.4.2

端点三角白化权聚类可能出现某指标取值属于各灰类聚类系数之和大于1或小于1的情况，而中心点三角白化权聚类某指标取值属于各灰类聚类系数之和为1，更为规范化。证明：如图4.4.5所示，（a）为端点三角白化权函数，（b）为中心点三角白化权函数，显然有，若有指标值，即