最优控制习题集与参考答案解析

最优控制习题及参考答案习题1 通过x()=1，x)=2，使下列性能指标为极值的曲线：tfJ=∫

(2+)dtt0解：由已条件知：t0=0，tf=1d由欧拉方程得： (2)=0=1x=t+C2将x()=x)=2代入，有：C2=，1=1得极值轨线：x*t)=t+1习题2 性能指标：

J=∫

1(2+)t0边界条件x()=0，x)是自由情况下的极值曲线。1 2解： 上题得：x*t)=Ct+1 2

x*t)x由x()=0得：C2=0x0L由

t=tf

=2tf)=1t=t=0 tf0 1f是：x*t)=0【分析讨论】对于任意的x()=0x)自由。2 0 1 0有：C=x，C=0，即：x*t)2 0 1 0其几何意义：x)自由意味着终点在虚线上任意点。习题3 知系统的状态方程为：

1t)=2t)，2t)=ut)边界件为：1()=2()=1，1)=2)=0，31∫试求使性能指标J=∫0

u2t)t2极小值的最优控制u*t)以及最优轨线x*t)。⎡x⎤解： 已知条件知：f=⎢2⎥⎣u⎦aiton函数：H=L+λTf

H=1u2+λx

+λu⎧=0⎩=−⎩=−λ2 1

2 12 2⎧λ=C ①得：⎨1 1⎩2=t+C2 ②H由控制方程：u

=u+2=0得：u=−2=t−C2 ③由状态方程：2=u=t−C2得：xt)=1Ct2−Ct+C ④2 2由状态方程：1=2

1 2 3得：xt)=1Ct3−1Ct2+Ct+C ⑤1 61

2 2 3 4⎤

⎡0⎤将x()=⎢⎥，x)=⎢0⎥代入④，⑤,⎦ ⎣⎦联立解得：1=由③、④、⑤式得：u*t)=0t−29

，C2=2，3=C4=191x*t)=1

5t3−t2+t+1x*t)=5t2−t+12 9习题4 知系统状态方程及初始条件为=u，

x()=1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1∫J=∫0解： H=x2e2t+u2e2t+λu⎪⎧=u⎪列方程：⎨=−2e2t⎩⎪e2tu+λ=0⎩

(x2+u2)e2tt①②③由③得，u代入①得，x

1e2tλ ④=−=−1e2tλ=−2x 1e2t

e2tλ=− +2将②，③代入，并考虑到u=

1e2t(−2e2t)+e2t(−2e2t)2=−整理可得：+2−x==−特征方程：s2+2s−1=01=−1+

，2=−1− 21 2于是得：x*t)=Cet+Ce21 2)= u=λ*t③e2t①−)= u=λ*t)=e2t

1e

t+Cse2t)22s2由x()=1，得：1+C2=1 22s21由λtf)=λ)=0得：11

+C2s2e =0 ⑥⑤、⑥联立，可得、C2代回原方程可得x*→u*（略）习题5 求使系统：1=2，2=u由初始状态1()=2()=0

出发，在tf

=1时转移到目标集11)+2)=1，并使性能指标J= ∫

1u2t)t2 0为最小值的最优控制u*t)及相应的最优轨线x*t)。解：本题f(iL(i)与习题3同故H(i)相同→方程同→通解同⎧1=2=−t+C2⎪⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C⎨：⎪⎨

1 61 2 2 3 4⎪x=1Ct2−Ct+C⎪2 2⎪

1 2 3u=t−C2⎡0⎤x(0)=⎢⎥⎣0⎦由 ，有：3=C4=0 ①由1)+2)=1，有：1C

1C

+1C−C=161 2 2

21 22C−3C=1 ②31 2 2ϕ ψT由λ)= + ⋅γ=0ψ=1+2−1x x⎤：λ)=⎢⎥γ=0⇒λ)=λ⎦ 1 2于是：1=−1+C21=C2 ③3 6、③联立，得：1-C2=-7 7于是：u*=−3t+67 7x*=−1t3+3t21 4 7x*=−3t2+6t2 4 7习题6 已知一阶系统：t)=−xt)+ut)，x()=3f（１）试确定最优控制u*t)，使系统在t=2时转移到x()=0，并使性f能泛函

∫2∫J= 1+u2)t=in0f f（２如果使系统转移到xt)=0的终端时间t自由问u*t)f f解： H=1+u2+λu−λx⎪⎧=−x+u⎪方程：⎨=λ⎩⎪u+λ=0⎩协态方程得：λ=Cet ①1 t控制方程：u

=− e ②−t−t① tf

1 t代入状态方程：=−x− e2=x()=0

⇒xt)=2e

1Cet41C⎧ −1C=3C⎪2 41⎨Ce2−1Ce2=0⎪2 41解得：1=4 ，e−1

e4C2=4e−1代入②得：u*t)=−②xtf)=t

6 ete4−1C⎧ −1C=3C⎪2 41⎪⎪Ce−tf⎪

1Cetf=04⎨2 14⎪⎪Htf)=0⎪⎩解得：1=

40−60.325u*t)=−et习题7 系统状态方程及初始条件为t)=ut)，x()=1试确定最优控制u*t)，使性能指标

1 tf 2f ∫J=tf ∫2 0

ut为极小，其中终端时间tf未定，

xtf)=0。解： H=1u2+λu2协态方程得：=0

→λ=1 ①控制方程：u+λ=0

→u=−1 ②由状态方程：=u=1

⇒xt)=t+C2 ③由始端：x()=1

→C2=1由末端：xtf)=0

→tf+1=0 ④ϕ考虑到：Htf)=−t

ψt

⋅γ=−1∂f ∂f12有： u+λu=121C2−C2=1⇒C2=221 1 11=±2 ⑤当1=

2时，代入④有：tf

=1=11 2当1=−

2时，代入④有：tf

=1=−1，不合题意，故有C= 211 21最优控制

u*=−2习题8 设系统状态方程及初始条件为1t)=2t)，1()=2性能指标为

2t)=ut)，J=1∫tfu2t

2()=12 0要求达到xtf)=0，试求（1）tf

=5时的最优控制u*t)；f（2）t自由时的最优控制u*t)；解：本题f(iL(iH(i)与前同，故有f⎧⎪1=1⎪⎪2=−t+C2⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C6⎨1 16⎪

2 2 3 4⎪x=1Ct2−Ct+C⎪2 2⎪

1 2 3u=t−C2⎡2⎤

⎡0⎤

⎪C4=2⎪3=15 ① 由x()=⎢⎥

x)=⎢0⎥，得：⎨

1−

C2+3+C4=0⎣1⎦

⎣⎦ ⎪6 2⎪C

−C+C=0⎪ 1 2 3⎩2联立得：1=.C2=8，

⇒ u*

=t−②tf自由⎧C=1⎪43=2⎪1Ct3−1Ct2+Ct

+C=06⎨ 1f6⎪

2 2f 3f 4⎪1Ct2−Ct

+C=0⎪21f⎪

2f 3⎩Htf)=0联立有：C2t2−Ct

+2=0， 无论C为何值，t均无实解。2f 2f 2 f习题9 定二阶系统

t)=xt)+1，x()=−11 2 4 1 412t)=ut)，1

2()=−4控制约束为ut)≤ ，要求最优控制u*t)，使系统在t=t2 f并使

时转移到xtf)=0，其中tf自由。

∫tf∫J= u2t)t=in0解：H=u2+λx

+1λ

+λu12 41 2

⎧−1λ λ≤1⎪22 2⎪本题属最小能量问题，因此：

u*t)=⎪−1

λ>12⎨ 22⎪⎪1 λ

<12⎪ 22⎩⎪=0→λ=C由协方程：⎨1 1 12 1 2 1 2⎩=−λ→λ=Ct2 1 2 1 22是t的直线函数。当u*t)=−1λ

=1Ct−1C

时（试取）22 21 2 2xt)=1Ct2−1Ct+C2 41

2 2 3xt)=

1Ct3−1Ct2+1t+Ct+C1 21

4 2 4 3 41由始端条件→3=C4=4由末端条件→

1Ct3−1Ct

2+1t

+1=021f

4 2f

2f 41Ct2−1Ct

+1=041f

2 2f 4另：Htf)=01：1= C2=t=39 f于是，λ

1t ⎧2=时，t<02=− ⎨9 ⎩2

=时，t=9在t从0→3段，2

≤1满足条件。故，u*

=−1λ=1=−22 810 1 2 3 4 t习题10 设二阶系统

1t)=−1t)+ut)，1()=12t)=1t)，

2()=0控制约束为ut)≤1，当系统终端自由时，求最优控制u*t)，使性能指标J=21)+2)取极小值，并求最优轨线x*t)。解由题意，f

⎡−1+u⎤= ，

ϕ=x

+x,

L=0， ⇒

H=λu−λx

+λx⎢ ⎥ 1 2

1 11 21⎣ 1 ⎦⎨1由控制方程可得：u*=⎧⎨1⎩

1<01>0⎧

=λ−λ

⇒λ=Cet+C由协态方程可得：⎨

1 1 2 1 2 1⎩2=0ϕ ⎡2⎤

⇒2=1由λt

)= =⎢⎥

⇒C=C

=e1fxtf)f

⎣1⎦ 1 2⎧λ=et1+1→在t>的围内λ>1⇒⎨1 1故：u*=1

t∈[,]

⎩2=1若需计算最优轨线，只需把u*=1代入状态方程，可得：⎧x*t)=e−t−1⎪1⎨x*t)=e−t−t+2⎪2习题11 设系统状态方程为

1t)=2t)，1()=10∫性能指标为J=1∫2 0

2t)=ut)，∞1(4x2+u2t1

2()=20试用调节器方法确定最优控制u*t)。⎡0 1⎤解：由已条件得：A=⎢ ⎥⎣0 0⎦

⎡0⎤，B=⎢⎥，⎣1⎦

⎡4 0⎤Q=⎢ ⎥⎣0 0⎦

，R=1⎢1 0⎥∵[B B]=⎡⎢1 0⎥⎣ ⎦

,可控——优解存在考虑到

Q=⎡4 0⎤=⎡2⎤[2 0]=DTD，故⎢0 0⎥ ⎢0⎥⎢0 0⎥ ⎢0⎥

D=[2 0]⎡D⎤ ⎡2 0⎤∵⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣A⎦ ⎣0 2⎦

∴闭环系统渐近稳定由Ricai程TP+A−R1BTP+Q=0，有⎡0 0⎤⎡1

2⎤+⎡1

2⎤⎡0 1⎤−⎡1

2⎤⎡0⎤[0]⎡1

2⎤+⎡