大学物理A1 课件 0第二章 质点动力学1

第２章质点动力学§2-1牛顿运动定律§2-2动量和动量守恒定律§2-3功、机械能和机械能守恒定律§2-4质点的角动量定理及角动量守恒定律§2-1牛顿运动定律

质点动力学的任务：研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。以“力——物体间的相互作用”为中心。

1686年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中发表了牛顿运动三定律。Newton’sLawsofMotion1.牛顿第一定律任何物体都保持静止或沿一条直线作匀速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。

2.牛顿第二定律运动的改变和所加的力成正比;并且发生在这力所沿的直线的方向上。3.牛顿第三定律每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体之间的相互作用永远相等，且指向对方。2.1.1牛顿第一定律(惯性定律)任何物体都保持静止或匀速直线运动态，直至其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。惯性——物体保持其运动状态不变的特性。即：物体保持其原运动状态的能力。惯性质量:物体惯性大小的量度引力质量:物体间相互作用的“能力”大小的量度。2.1.2牛顿第二定律物体的动量1、定律的一般表述：物体所受的合外力等于物体动量对时间的变化率。数学描述为：2、定律的常用表述：当物体的质量不变，且速度远远小于光速时，物体的加速度同物体所受的合外力成正比，同物体的质量成反比。讨论（1）牛顿第二定律是：质点动力学基本方程；（2）仅成立于惯性参照系；（3）力和加速度是瞬时关系。2.1.3牛顿第三定律作用力与反作用力定律注：(1)作用力和反作用力成对，同时存在。

(2)分别作用于两个物体上，不能抵消。

(3)属于同一种性质的力。

(4)物体静止或运动均适用。2.1.4国际单位制(SI)量纲1、七个基本物理量长度(length)L单位：米m时间(time)T单位：秒s

质量(mass)M单位：千克kg电流(electricity)I单位：安培A热力学温度T

单位：开尔文K物质的量N单位：摩尔mol发光强度J单位：坎德拉

1960年，第十一届国际计量大会通过了国际单位制2、导出量：

基本物理量构成不考虑数字因素时，导出量与基本量之间的关系可以用量纲来表示。如其他力学量：用L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲，其他力学量Q的量纲与基本量量纲之间的关系可按下列形式表达出来：其中p,q,s为量纲指数。如速度[Q]=LT-1。力——物体间的相互作用2.1.5常见力：１.力的基本类型引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用1)引力相互作用是存在于自然界中一切物体之间的一种作用.它是一种弱力，只有在大质量物体（如地球、太阳、月亮等天体）附近这种作用才有明显的效应2)电磁相互作用是存在于一切带电体之间的作用带电粒子间的电磁力比引力强得多3)核力相互作用是一种只在１０－１５

m的范围内起作用的相互作用，是短程力2.引力重力2)重力：重力是地球对物体万有引力的一个分力，另一分力为物体随地球绕地轴转动提供的向心力.大小：方向： 垂直地面向下。1)万有引力定律与宇宙速度万有引力1.重力不等同于万有引力。2.常用的重力加速度g常量，只是适用于地球表面3.弹性力

物体发生形变时产生的力。方向：恢复形变的方向。大小：fk=μN其中：μ为滑动摩擦系数4.摩擦力当两个互相接触的物体有相对运动或有相对运动的趋势时，就会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力１）库仑摩擦定律（１）动摩擦力fk

与正压力N成正比，与两物体的表观接触面积无关（２）当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；（３）静摩擦力可在零与一个最大值（称为最大静摩擦力）之间变化，视相对滑动趋势的程度定．最大静摩擦力fs

也与正压力N成正比，它一般情况下大于动摩擦力．最大静摩擦力：大小：fs=μsN其中：μs为最大静摩擦系数；N为正压力。２）黏滞阻力流体（液体或气体）不同层之间由于相对运动而造成的阻力，称为黏滞阻力或湿摩擦力2.1.6牛顿定律的应用解题步骤：确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。(2)进行受力分析，画出示力图。(3)建立坐标系(4)对各隔离体建立牛顿运动方程(矢量式—分量式)(5)解方程。进行文字运算，然后代入数据求解例1.

在相对地面静止的流体中,某物体从t=0时刻开始由静止竖直自由下落。已知阻力的大小与物体相对于流体的运动速率成正比，即：，为常数。物体受的浮力为。求:任意时刻物体的速度和终极速度。

解：取竖直向下为x轴的正方向,如图所示。这是个一维问题,可用正负号表示矢量的方向。物体在流体中竖直自由下落时,受到重力mg,浮力F和阻力f的作用。xo按牛顿第二定律:，分离变量后积分可得重力和浮力都是恒力，而阻力随着物体加快下落而增大，最终三个力达到平衡，物体匀速下落，这时的速度称为终极速度或收尾速度。以vf表示终极速度,令t趋于无穷大,则有xo例2.

t=0时刻,一根长为L的均匀柔软的细绳通过光滑水平桌面上的光滑小孔由静止开始下滑.

设绳刚开始下滑时下垂部分长为a。

求:在任意时刻t,绳自桌边下垂的长度。解：设绳开始下滑后t时刻下垂部分的长度为x(>a)，在桌面上的那段绳受到的支承力和重力抵消，整根绳所受合力为绳的下垂部分所受的重力：根据牛顿第二定律得:分离变量积分于是故任意时刻自桌边下垂的绳长

例3.

一质量为m

的小球最初位于如图所示的A点，然后沿半径为r

的光滑圆弧的内表面ADCB下滑。试求小球在C时的角速度和对圆弧表面的作用力。解：取自然坐标系,小球受力如图根据牛顿第二定律切向：法向：①②由①式代入②式得小球对圆弧的作用力为第一定律：指出了惯性的存在甲对地：静止甲对乙：匀速运动符合第一定律甲对丙：加速运动，但没有受力，第一定律不符合2.1.7惯性系惯性力

惯性参考系(简称惯性系):牛顿第一定律适用的参考系

凡相对惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系地球——近似的惯性参考系，地球有自转角速度：对一般地面运动足够精确1.伽利略(G.Galileo)相对性原理设：S系相对S系以v的速度沿x方向作直线运动。时，两系重合。P点在参照系中的描述分别为:S系OxyzOzyxvvtPS系(1)伽利略坐标变换正变换：(2)伽利略速度变换正变换：逆变换：(3)加速度变换式1.加速平动参考系设有一质量为m的质点，在真实的外力的作用下相对于某一惯性系S产生加速度，则根据牛顿第二定律，有假设另有一参考系S相对于惯性系S以加速度沿直线运动。在S参考系中,质点的加速度是,则将上式代入右式可得S系中假设另有一参考系S相对于惯性系S以加速度沿直线运动。在S参考系中,质点的加速度是,则将上式代入右式可得S系中上式表明,在S系中看，质点受的合外力并不等于，而是多了一项,故牛顿第二定律在非惯性参考系S中不成立。上式可改写为：若假想在S系中观察时，除了真实的外力外，质点还受到另外一个力的作用,则质点受到的合外力等于。这样在S系中就可形式上应用牛顿第二定律了！这种在非惯性系中形式上应用牛顿第二定律而必须引入的假想的力叫做惯性力，记为于是，在加速平动参考系中有:对于其它类型的非惯性系,惯性力有不同形式的表达式。其中，是加速平动参考系相对于惯性系的加速度。——惯性力引入惯性力后，在非惯性系中牛顿第二定律在形式上被恢复了。非惯性系中的牛顿第二定律：合外力虚拟力惯性力不是物体间的相互作用（不能归结为自然界的四种基本力），但它是确实存在的一种特殊的力，它既无施力者,也无反作用力,不满足牛顿第三定律。真实力物体间的真实相互作用物体的惯性在非惯性系中的表现§2-2

动量和动量守恒定律危急中，此位先生为什么挡住小孩，而不去挡汽车？有机械运动量转换时，同时考虑质量与速度两个因素，才能全面地表达物体的运动状态2.2.1质点和质点系的动量定理1.冲量质点的动量定理牛顿运动定律则或令(1)冲量单位：反映力在时间过程中的累积效应(2)质点动量定理：

质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。讨论：冲量的方向与动量增量的方向一致。动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。计算时可采用平行四边形法则,或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。∵冲量3.冲力当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力称为冲力。平均冲力分量式：∵冲量例2-7.飞机以v=300m/s(即1080km/h)的速度飞行,撞到一质量为m=2.0kg的鸟,鸟的长度为l＝0.3m。假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动,试估算它们相撞时的平均冲力的大小。解:以地面为参考系,把鸟看作质点,因鸟的速度远小于飞机的,可将它在碰撞前的速度大小近似地取为v0=0m/s,碰撞后的速度大小v＝300m/s。由动量定理可得碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度l的距离所需的时间，则:对第i个质点写出动量定理：整个系统：等式两边求2.质点系的动量定理xyzO设n个质点构成一个系统根据牛顿第三定律合外力的冲量系统末动量系统初动量质点系的动量定理：即：合外力的冲量等于系统总动量的增量思考：内力的冲量起什么作用？

例2-8.质量m=1kg的质点从O点开始沿半径R=2m的圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为m。试求从s到t2=2s这段时间内质点所受合外力的冲量。解：Omv1mv2

例2-9.

如图用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为q=40kg·s-1，A以v=2.0m·s-1的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤粉质量)hA

解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。如何求煤粉动量的改变量？xyO时间内落下的煤粉质量为则有设由动量定理可得煤粉所受的平均冲力为与x轴的夹角：煤粉给传送带的平均冲力为与x轴的夹角：

例2-10.

一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4105t/3(SI),子弹从枪口射出时的速率为300ms-1。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：(1)子弹走完枪筒全长所用的时间t。(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I。(3)子弹的质量。解:(1)(2)(3)令例2-11.一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚好触及水平桌面,现松开绳的上端,让绳落到桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的绳重G的三倍。解：考虑dy段的下落过程:依牛顿第三定律,dy段对桌面的作用力大小亦为F:Oyy+dyydy即：动量守恒定律为系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。时，动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.2.2动量守恒定律时1.动量守恒定律几点说明：(5)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一(2)系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外力=0；(3)

若系统所受外力的矢量和≠0，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。(1)

动量守恒定律只适用于惯性系。(4)内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，内力>>外力,可略去外力。认为系统动量守恒例2-12.水平光滑冰面上有一小车,长度为L,质量为

M。车的一端有一质量为m的人,人和车原来均静止。若人从车的一端走到另一端,

求:人和车各移动的距离。解:设人速为u,车速为v。系统在水平方向上动量守恒，Mv+mu=0车地人地人地人车车地人地车地人车§2-3功、机械能

和机械能守恒定律2.3.1功功率度量能量转换的基本物理量，描写力对空间积累作用。１．功(work)１）恒力的功ab定义：矢量式作用在沿直线运动质点上的恒力F，在力作用点位移上作的功，等于力和位移的标积。0</2

dW

>0/2<

dW

<0功是标量，但有正负之分２）变力的功ABO单位：J（eV）1eV=1.610-19J直角坐标系中合力作功=各力作功的代数和W1W2WN示功图(功的图示法)

假设物体沿x轴运动，外力在该方向的分力所做的功可用右图中曲线下面的面积表示。力

位移曲线下的面积表示力F所作的功的大小注意：①功是标量(代数量)W>0力对物体做功W<0物体反抗阻力做功W=0力作用点无位移力与位移相互垂直②功是过程量与力作用点的位移相关与参考系的选择相关讨论：(1)一对相互作用力的功一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零。因为，力作用点的位移不一定相同。(2)什么条件下,一对内力做功为零?

作用点无相对位移。

相互作用力与相对位移垂直。例2-5.一质点做圆周运动，有一力作用于质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力做的功W=？C

.xyOPRm解：例2-6.

设作用力的方向沿

Ox

轴，其大小与x

的关系如图所示，物体在此作用力的作用下沿Ox

轴运动。求物体从O运动到2m的过程中，此作用力作的功W。

解：方法1示功面积求解方法2由图写出作用力F与位移x的数值关系，积分求解O21x/mF/NFW=1J例:

一人从10m深的井中提水.起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功.解：选铅直向上为坐标y轴的方向，井中水面处为原点,由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量P.F=P=P0-ky=mg-0.2gy=107.8-1.96y（N）

人的拉力所作的为：3)功率(power)——反映作功快慢程度的物理量单位时间内力所作的功称为功率。定义：(1)平均功率(2)瞬时功率瞬时功率等于力和速度的标积。功率的单位(SI)：瓦特（W)2.常见力的作功1)重力的功水平基准面物体从a到b重力做的总功：结论：重力对小球做的功只与小球的始末位置有关，与小球的运动路径无关。2)弹性力的功弹性力弹性力的功为结论：弹性力做的功只与始末位置有关，与运动路径无关。3)万有引力的功OMm结论：万有引力作功与路径无关只与始末位置有关,与运动路径无关.作功与路径无关，只与始末位置有关保守力A（B）保守力沿任意闭合路径所做的功为零。

重力、弹性力、万有引力、静电力4）摩擦力的功为滑动摩擦系数摩擦力的功与质点运动的路径有关。摩擦力为非保守力2.3.2动能质点的动能定理动能质点因有速度而具有的作功本领单位：焦耳(J)2.质点的动能定理(theoremofkineticenergy)

牛顿第二定律的积分形式之一合外力对质点所做的功等于质点动能的增量注意：（1）动能是标量，是状态量v的单值函数,也是状态量；（2）功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，动能是状态量。功是能量变化的量度；（3）动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，动能也与参考系有关。2.3.3质点系动能定理把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有:

(1)内力和为零,内力功的和是否为零？不一定为零ABABSL(2)内力的功也能改变系统的动能例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。2.3.4势能势能差1.保守力和保守力场作功只与物体的始末位置有关，与物体的运动路径无关的力——保守力若质点在某一部分空间内的任何位置，都受到一个大小和方向完全确定的保守力的作用．我们称这部分空间存在着保守力场保守力作功与路径无关，只取决于系统的始末位置。存在由位置决定的能量EP—势能函数2.势能保守力做的功等于势能增量的负值凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，将该函数定义为此物体系的势能，是状态函数。

１）质点系的势能注：势能是相对的

2）几种势能xzy0设地面为势能零点，P点的重力势能（1）重力势能把势能零点为弹簧原长０处OXMkx(2)弹性势能(3)万有引力势能为势能零点3.几种常见和势能曲线保守力重力势能曲线hEpO弹力xEpO引力rrEpO势能零点x=0h=0质点mgh势能(EP)RMm2R例:

以地球和物体为系统以无穷远为势能零点写出系统的引力势能.2.地面ER=01.无穷远

E=0解:2.3.5功能原理机械能守恒定律1.根据质点系的动能定理其中=动能+势能——机械能质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质点系机械能的增量。-------质点系的功能原理1）当各微元过程都满足时２.机械能守恒定律系统机械能守恒。2）当过程满足时，系统初、末态机械能相等。机械能守恒定律:当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能守恒。能量守恒定律：在孤立系统内，无论发生什么变化过程，各种形式的能量可以互相转换，但系统的总能量保持不变。例:长为l的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦系数为0,滑动摩擦系数为Oy求:满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为b时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？解:(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为，沿铅垂向下取Oy

轴。例当y>b0

，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。设链条下落长度y=b0

时，处于临界状态Oy

(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，摩擦力的功重力的功根据动能定理有例雪橇从高50m的山顶A点沿冰道由静止下滑,坡道AB长为500m．滑至点B后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处.若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路程.功能原理的应用s’解: