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山西省阳泉市马山中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.直线的倾斜角为
(
)
A.
B.
C.不存在
D.参考答案:B略2.完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是(
)
A.①简单随机抽样,②系统抽样
B.①分层抽样,②简单随机抽样C.①系统抽样,②分层抽样
D.①②都用分层抽样参考答案:B∵①是由差异明显的几部分组成,适用于分层抽样,而②总体中的个体性质相似,样本容量较小,适用于简单随机抽样。3.直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为,其斜率为(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:D4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定参考答案:B【考点】正弦定理.【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,可得A=,由此可得△ABC的形状.【解答】解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,故选B.5.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=()A.B.C.D.2参考答案:C略6.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线的准线交于A,B两点,,则C的实轴长为(
)A.2
B.
C.4
D.参考答案:D7.下列说法正确的是
(
)A.平面α和平面β只有一个公共点
B.两两相交的三条线必共面C.不共面的四点中,任何三点不共线
D.有三个公共点的两平面必重合参考答案:A略8.命题“存在R,0”的否定是
(
)
A、不存在R,>0
B、存在R,0
C、对任意的R,0
D、对任意的R,>0参考答案:D略9.如图是某几何体的三视图,则其体积是()A.8 B. C.4 D.参考答案:B【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据四棱锥的三视图,得直观图是三棱锥,底面为直角三角形,直角边分别为4,2,棱锥的高为,即可求出它的体积.【解答】解:根据三视图,得直观图是三棱锥,底面为直角三角形,直角边分别为4,2,棱锥的高为;所以,该棱锥的体积为V=S底面积?h=××4×2×=.故选:B.【点评】本题考查了利用三视图求体积的应用问题,解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征,是基础题目.10.设,则下列不等式一定成立的是(
)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为
▲
.参考答案:12.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为______
参考答案:13.抛物线的准线方程是
参考答案:略14.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,甲说:丙没有考满分;乙说:是我考的;丙说:甲说真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是_____.参考答案:甲试题分析:采用反证法,如果甲说的是假话,那丙就是满分,那么乙也说的是假话,就不成立了,如果乙说的是假话,那乙没有考满分,丙也没有考满分,那只有甲考满分.考点:1.合情推理;2.反证法.15.已知f(x)=若对任意的x∈R,af2(x)≥4f(x)﹣1成立,则实数a的最小值为
.参考答案:3 【考点】函数恒成立问题.【分析】设u=f(x)≥1,对任意的x∈R,af2(x)≥4f(x)﹣1成立,可得a≥﹣=﹣(﹣2)2+4,即可求出实数a的最小值.【解答】解:f(x)=的图象如图所示,设u=f(x)≥1,对任意的x∈R,af2(x)≥4f(x)﹣1成立,∴a≥﹣=﹣(﹣2)2+4,∵0<≤1,∴﹣(﹣2)2+4≤3∴a≥3,当u=1,x=2时取等号,∴a的最小值是3.故答案为3.【点评】本题考查恒成立问题,考查参数分离方法的运用,考查函数的最值,属于中档题.16.下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量的性质,类比得到复数z的性质;③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到:方程有两个不同复数根的条件是;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义,其中类比错误的是
.参考答案:②③
17.若为坐标原点,,,,则线段的中点到的距离为
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12)已知函数(1)求的定义域;
(2)证明函数是奇函数。参考答案:(1)由得所以的定义域为(-1,1).…………………4分
(2)因为
所以
故函数是奇函数。…………………19.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.参考答案:【考点】参数方程化成普通方程.【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.20.(满分12分)设函数。(Ⅰ)若在定义域内存在,而使得不等式能成立,求实数的最小值;(Ⅱ)若函数在区间上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围。参考答案:解:(Ⅰ)要使得不等式能成立,只需。
求导得:,
………3分∵函数的定义域为,当时,,∴函数在区间上是减函数;当时,,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数。∴,
∴。故实数的最小值为。
………6分(Ⅱ)由得:由题设可得:方程在区间上恰有两个相异实根………8分
设。∵,列表如下:
-0+
减函数增函数∵,∴。从而有,
………10分画出函数在区间上的草图(见右下),易知要使方程在区间上恰有两个相异实根,只需:,即:。
………12分略21.变量x,y满足(1)设z=求z的最小值;(2)设z=x2+y2
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