第三章 线性代数建模

第三章线性代数

在数学建模中的应用举例内容提要线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。第一节基因间“距离”的表示

在ABO血型的人群之中，对各种群体的基因的频率进行了研究。假设我们用A、B、AB、O来表示这四种基因型，研究得到的数据如下表：基因的相对频率基因型爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iABABO0.66700.29140.00000.03160.69000.10340.08660.12000.66020.20900.06120.06960.57230.22080.20690.0000合计1.00001.00001.00001.0000问题一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，怎样来表示基因间的‘‘距离’’的合宜的量度。

解有人提出利用向量代数的方法。首先用单位向量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平方根，记为。由于对这四种群体的每一种有。

这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。记现在用两个向量的夹角来表示两个对应群体间的‘‘距离’’似乎是很合理的。

如果我们记和夹角为。由得故。基因间的距离基因型爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iABABO023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60

由上表可知，最小的基因‘‘距离’’是班图人和英国人，说明这两种人群最相似；而最大的基因‘‘距离’’是爱斯基摩人和班图人，说明这两种人群差异最大。

思考题

有甲、乙、丙三名男生，他们的身高、胸围和体重的数据如下表。这三人哪两人的体型最相似？试建立数学模型说明此问题。男生身高（cm）班图人（cm）英国人（kg）甲乙丙17516618510493125685483第四节动物数量按年龄段预测问题一、问题

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？二、问题分析与模型建立于是我们得到递推关系式：即：其中三、模型求解(MATLAB)四、结果分析

15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0~5岁的有14375头，占86.47%；6~10岁的有1375头，占8.27%；11~15岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625头，总增长率为454.16%。15第八节常染色体遗传模型1、亲体基因遗传方式与问题1）遗传方式在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花，而aa型的开白花。

16又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另一个亲体的基因为aa，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。

17下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表1-2所示。

基因型的概率分布后代基因型父体–母体（n-1代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001

182）问题农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa和aa。农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？2、模型构造1）假设（1）设an，bn和cn分别表示第n代植物中基因型为AA，Aa和aa的植物总数的百分率，n=0，1，2，…x(n)为第n代植物的基因型分布：

19当n=0时表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）。

显然有

20（2）第n-1代与第n代的基因型分布关系是通过表2-3确定的。

2）建模

根据假设（2），先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa与AA型结合，后代是AA型的可能性为；而第n-1代的aa型与AA型的结合，后代不可能是AA型。

因此当n=1，2，…时

，21类似考虑第n代中的Aa型和aa型，分别可推出将（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得

根据假设（1），有22将（4-27），（4-28）和（4-29）式联立得

用矩阵形式表示为其中23由(4-30)式进行递推，便得到第n代基因型分布的数学模型它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定。3、模型求解为了计算Mn，将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使因而有

24其中对于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分别为25因此

通过计算，得P--1=P，因此有2627所以有即在极限情况下，培育的植物都是AA型。

28

4、模型讨论若在上述问题中，不选用基因型AA的植物与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表2-4给出：

29表2-4相同基因型结合的后代基因型的概率分布后代基因型父体-母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0130于是有其中M的特征值为31通过计算，可以解出与λ1，λ2相对的两个线性无关的特征向量e1和e2，和与λ3相对应的特征向量e3，即从而得32于是，

即得。33

因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因型AA和aa。34思考题：

一种植物的基因型为AA,Aa和aa。研究人员采用将同种基因型的植物相结合的方法培育后代，开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为20%，30%，50%。问经过若干代培育后这三种基因型的植物所占的比例是多少？35思考题：

将某树群的树分成三类：幼树—树龄为0—10年，成树—树龄为10—40年，老树—树龄在40年以上。在没有采伐的条件下，假定在每一个单位时间—2年内：(1)幼树中的成长为成树，每一棵幼树平均繁殖