第三章 轴向拉压变形

上一讲回顾(3)许用应力极限应力n安全因数强度条件

(变截面)(等截面)由强度条件解决的几类问题强度校核截面设计确定承载能力

等强原则与最轻重量设计连接部分的强度计算（假定计算法）＃安全因数法的优缺点◎结构可靠性设计概念1Page第三章轴向拉压变形§3-1引言

§3-3桁架的节点位移§3-4拉压与剪切应变能§3-5简单拉压静不定问题§3-6热应力与预应力§3-2拉压杆的变形与叠加原理

§3-7拉压杆弹塑性分析简介§3-8结构优化设计概念简介2Page

本章主要研究:

轴向拉压变形分析的基本原理

简单拉压静不定问题分析

结构优化设计概念简介热应力与预应力分析3Page思考：为什么要研究变形？

下述问题是否与变形（小变形）相关？各杆内力？

A点位移?各杆材料不同，温度变化时内力？AF123AF45§3-1引言4Page胡克的弹性实验装置历史回顾：“胡克定律”1678年由RobertHooke提出。Hooke是伦敦皇家学会第一任会长(1662)，他对弹性体作了许多实验，他与牛顿是同时代人，没有受牛顿影响而系统地阐述了万有引力定律。§3-2拉压杆的变形与叠加原理一、拉压杆的轴向变形与胡克定律中国郑玄（127-200）在《考工记·弓人》的注就提到弓的“每加物一石(dàn,10斗）)，则张一尺”。唐初贾公考又对郑注作了详细解释。5Page胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压刚度轴向变形横向变形(伸长为正)适用范围：线弹性体，比例极限范围内6Page二、拉压杆的横向变形与泊松比试验表明：对传统材料，在比例极限内，且异号。——泊松比横向正应变定义：7Page1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法……等。泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家和力学家。1798年入巴黎综合工科学校，成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。8Page

许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3；

基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜，1/4；

科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;

1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松比是独立的材料常数，否定了单常数理论。

1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题时指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x，并得出=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论泊松比研究简史9Page典型材料常数对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：弹性常数钢与合金钢铝合金铜铸铁木(顺纹)E/GPa200-22070-72100-12080-1608-12m0.25-0.300.26-0.340.33-0.350.23-0.2710Page例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？11Page例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。FFdD解：先求内周长,设ds弧长改变量为du,e’＝du/dsdu=e’ds12PageO三、多力杆的变形与叠加原理例：已知E，A1，A2，求总伸长解：1.内力分析。轴力图2.变形计算。（用何方法？）方法一：多载荷作用下各段变形叠加步骤：*用截面法分段求轴力；*分段求出变形；*求代数和。A1A213Page一般阶梯形杆：讨论：n－总段数FNi－杆段i轴力变截面变轴力杆14Page解法二：各载荷效应叠加与解法一结果一致，引出叠加原理(a)(b)例：已知E，A1，A2，求总伸长（续）15Page叠加原理：几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。叠加原理的适用范围*材料线弹性*小变形*结构几何线性16Page叠加原理成立。材料线性问题叠加原理不成立。材料非线性问题OOOOOO17Page*几何非线性问题例讨论：1.C点位移是否与载荷成正比关系？2.叠加原理是否成立？求

与关系。例：已知，初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，18Page(2)杆伸长：解：(1)节点C平衡：(4)(3)关系：(三次抛物线关系,瞬时机构,叠加原理不成立)(微小)例：已知，初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，求

与关系。19Page解：距端点x处截面的轴力为总伸长为例：已知，求

(1)为常量dx微段伸长20Page例：已知，求

（续1:分析方法）需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。(2)为变量求解难点讨论如何写出表达式？在x段再建立x坐标系,取dx微段研究21Page解：1、叶片的外力作用于微段上的离心力为例：图示涡轮叶片，已知，角速度，求叶片横截面上的正应力与轴向变形。22Page2、叶片的内力与应力3、叶片的变形dx微段:总伸长：23Page§3-3桁架的节点位移例：已知,求桁架节点A的水平与铅垂位移解：1、轴力与两杆伸长（缩短）(拉)(压)(伸长)(缩短)由节点A的平衡由胡克定律24Page精确位移求法：计算困难：需解二次方程组由于内力随位移变化，需迭代求解.

以B、C为圆心作圆交于A’点杆1伸长到点，杆2缩短到点，2、节点A的位移的精确计算及其困难。25Page小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形。实用解法：*按结构原几何形状与尺寸计算约束反力与内力；*采用切线代圆弧的方法确定节点位移。3、小变形问题实用解法26Page4、节点位移计算27Page例：ABC刚性杆，求节点C的位移。然后画B点位移思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？再画C点位移答：切线代圆弧的近似。1解：先计算杆1内力与伸长28Page例：画出节点A的位移杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+转动(切线代圆弧)29Page例：画节点A的位移*左图杆2不受力，不伸长转动。右图B点位移由杆1和2确定（与左图A点相同）;3杆3伸长到A’’，然后转动，与刚性梁对应点交于A’’’点。

刚梁AB先随B点平动，B至B’点,A至A’点；然后绕B’点转动；

思考：点A有无水平位移？30Page*设想固定BD中点和BD方位例：求A，C相对位移O*D点随OD杆变形发生位移，DC杆平移、伸长、转动，由对称性，C点到达C’点。31Page§3-4拉压与剪切应变能两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)方法一：方法二：例：无摩擦，求32Page功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。应变能（）：构件因变形贮存能量。

外力功():构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）弹性体功能原理：33Page一、轴向拉压应变能*线弹性材料拉压杆应变能D外力功弹性体功能原理：对线弹性体：（如何推导）34Page*非线性弹性材料外力功计算应变能如何计算计算?功能原理是否成立?*塑性与非弹性材料35Page二、拉压与剪切应变能密度单向受力应变能密度：单位体积内的应变能，用表示单向受力应变能密度单向受力体应变能36Page纯剪切拉压杆单向受力体应变能（常应力等直杆）纯剪应变能密度（变力变截面杆）37Page2、应变能计算3、位移计算例：计算节点B的铅垂位移。解：1、轴力分析38Page例：用能量法求A，C相对位移。解：1、轴力分析12周边四杆轴力：2、应变能、外力功计算杆2轴力：3、位移计算39Page作业Ⅱ版：3－4，12，16Ⅲ版：3－4，10，1340Page上一讲回顾（4）★拉压杆胡克定律★拉压杆横向变形与泊松比★叠加原理及其适用范围★桁架小变形节点位移

按结构原尺寸计算约束反力与内力;由切线代圆弧的方法计算节点位移.为拉压刚度，伸长为正，缩短为负。（变截面、变轴力杆）,（阶梯形杆）泊松比★拉压与剪切应变能概念41Page§3-5简单拉压静不定问题*静不定问题：*静定问题：*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。一度静不定AF123静定问题由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。42Page静不定问题求解思路

AF1234静定结构杆1和杆2的轴力可由平衡方程唯一确定增加杆3和杆4，2度静不定，平衡方程数不变，赘余力增加2个杆1和杆2的伸长由轴力唯一确定，点A位移确定A点的约束包含2个变形协调条件普遍规律：赘余力数等于约束（协调）条件数，加上平衡方程，所有约束力能完全唯一确定43Page静不定问题求解步骤协调方程赘余反力数=协调条件数求解物理方程：F123F平衡方程44Page解：1、平衡方程2、变形协调方程3、胡克定律4、补充方程F123F45Page1、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；静不定问题分析特点：5、联立求解平衡方程及补充方程2、与静定问题相比的内力特点：F123内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增大，轴力亦增大。46Page2、几何方面3、物理方面4、支反力计算何时问题：补充方程：解1：1、静力学方面例：求杆两端的支反力。47Page2、物理方面3、求解解2：1、几何方面例：求杆右端的支反力。4、由平衡方程48Page例：各杆拉压刚度EA，杆1，2长l解：1、画变形图(画法2,教材P72图为画法1)设节点C位移至C’，过C’点向三杆作垂线2、根据变形图画受力图，假设各杆均受拉。对照书上例题。思考：总结画受力画变形图注意事项。可否先画受力图，后画变形图？可否假设杆1，3受压，杆2受拉求解？49Page解：1、平衡方程3、物理方程2、变形协调方程C50Page5、强度校核4、解答符合强度要求思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强?设51Page6、设计截面思考：由上式设计的能否取各自由轴力计算的值？为什么？设4、解答52Page解：1、协调条件例：ABC刚性块，各杆EA，求轴力。分析：如何建立变形协调条件？考虑刚性块ABC转动：2、代入物理方程53Page4、解答3、平衡方程54Page问题：如何建立变形协调条件？下述变形协调条件是否正确？例：钢丝绳不能承压，初拉力，求绳拉力。分析：上述变形协调条件的错误在于遗漏了初应力。正确的变形协调条件是：当思考：当如何求解？55Page解：(1)变形协调条件设，代入物理方程例：钢丝绳不能承压，初拉力，求绳拉力。56Page(2)平衡方程(3)解答：(不合题意，舍去)由平衡：57Page§3-6热应力与预应力思考：当温度变化时，杆内可能引起应力吗？AA图1图2(各杆材料不同)图3图458Page历史追踪都江堰规模宏大、布局科学、费省效宏，代有兴建，历经2260而不衰，是世界水利史上设计施工最完美、最先进、最科学独一无二的无坝式引水枢纽。与之兴建时间大致相同的古埃及和古巴比仑的灌溉系统，都因沧海变迁和时间的推移，或湮没、或失效，唯有都江堰至今还滋润着天府之国的万顷良田。

当时还未发明火药，李冰便以火烧石，使岩石爆裂，终于在玉垒山凿出了一个宽20公尺，高40公尺，长80公尺的山口。因形状酷似瓶口，故取名“宝瓶口”，把开凿玉垒山分离的石堆叫“离堆”。

宝瓶口59PageA在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存在的应力，分别称为初应力（或称预应力）与热应力。60Page解：(1)平衡方程（设各杆受拉）代入物理方程(2)协调方程例：3杆制造误差长，1、2杆，3杆，求各杆内力规律观察：61Page设由温度变化引起：解答成为（比较预应力与热应力）解答：62Page例：制造误差，同时作用外载。1、利用叠加原理求解思考：装配应力有利还是有害？工程中能否利用？用于设计等强结构：如预应力钢筋混凝土。载荷内力装配或/和温度内力63PageF2、一般解法(1)平衡方程（同前）(2)协调方程(3)物理方程(同前)规律探索：从单纯外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合静不定问题，求解方程唯一不同：F64Page有无装配应力与热应力静不定问题的协调方程比较*桁架无装配应力与热应力*桁架有装配应力与热应力n:静不定度i:杆数其中制造误差热膨胀伸长65Page建立协调方程例（方法一）赘余杆：杆3和杆4协调方程：66Page建立协调方程例（方法二）结构看作两部分组合，A点位移相同。协调方程：讨论方法优缺点。67Page建立协调方程例68PageFBCA30o30o图(a)图(b)横截面积例：杆长弹性模量试求两杆的应力和A点的铅垂位移，其中载荷§3-7拉压杆弹塑性分析简介69PageFBCA30o30o12F300300解：1.求内力与应力应力：内力：70Page2.求位移根据应力应变关系，以应力等于100MPa为界，位移分两段计算。FBCA30o30o不需分段算需分段算71Page§3-8结构优化设计概念简介结构优化设计：所设计的结构或构件，不仅满足强度、刚度与稳定性等基本要求，同时又在追求某种或某些目标方面（例如重量最轻、承载能力最高等），达到最佳程度。设计变量：可由设计者调整