山西省平遥县高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算（3）教学实录 新人教A版必修1

山西省平遥县高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算（3）教学实录新人教A版必修1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：山西省平遥县高中数学

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2023年X月X日第X节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过解决对数运算问题，让学生学会运用数学逻辑进行推理和论证。

2.提升学生的数学抽象能力，使学生能够从具体情境中抽象出对数函数的概念，并理解其性质。

3.增强学生的数学建模意识，通过建立对数模型，让学生学会将实际问题转化为数学问题，并运用对数函数进行解决。

4.强化学生的数学运算能力，使学生熟练掌握对数运算的基本法则，提高运算的准确性和效率。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了实数、指数函数等基础知识，具备了一定的数学运算能力和逻辑思维能力。他们能够理解函数的基本概念，并能够进行简单的函数运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中一年级学生对数学学科普遍抱有较高的兴趣，他们对于探索未知和解决难题有较强的求知欲。学生的学习能力参差不齐，部分学生能够迅速掌握新知识，而部分学生可能需要更多的时间和指导。学习风格上，有的学生偏好通过直观的图形和实例来理解概念，有的学生则更倾向于通过公式和逻辑推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习对数与对数运算时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对数概念的理解，特别是对数与指数函数的关系；二是对数运算的熟练度，包括对数的基本法则和换底公式的应用；三是解决实际问题时，如何将问题转化为对数模型。此外，学生的数学基础差异也可能导致他们在理解和应用对数知识时遇到障碍。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰讲解对数概念和运算规则，帮助学生建立知识框架。

2.讨论法：组织学生围绕对数应用案例进行小组讨论，培养学生的批判性思维和团队合作能力。

3.问题解决法：通过设计实际问题，引导学生运用对数知识进行思考和解答，提高实践能力。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示对数函数的性质和图像，增强直观性。

2.数学软件辅助：借助数学软件进行对数运算的演示和练习，提高操作技能。

3.网络资源整合：利用网络资源提供丰富案例和互动练习，拓展学习空间。教学过程设计导入环节：

1.创设情境：利用多媒体展示自然界中的对数现象，如人体细胞分裂、自然对数等，引导学生思考对数的实际应用。

用时：5分钟

2.提出问题：引导学生思考如何描述这些现象中的数量关系，引出对数的概念。

用时：2分钟

讲授新课：

1.对数概念：

-介绍对数的定义，解释对数与指数函数的关系。

-通过实例讲解对数的意义，如求解两个数的乘积。

用时：10分钟

2.对数运算：

-讲解对数的基本运算规则，包括对数加法、减法、乘法和除法。

-通过具体的例子演示运算过程，确保学生理解。

用时：10分钟

3.换底公式：

-介绍换底公式及其推导过程。

-通过练习题让学生应用换底公式进行对数运算。

用时：10分钟

巩固练习：

1.课堂练习：

-分发练习题，包括对数的基本运算和换底公式的应用。

-学生独立完成练习，教师巡视指导。

用时：5分钟

2.小组讨论：

-将学生分成小组，讨论练习中的问题，并分享解答思路。

-鼓励学生提出不同观点，培养批判性思维。

用时：10分钟

课堂提问：

1.提问环节：

-针对课堂内容，提出问题，检查学生对知识的掌握情况。

-鼓励学生积极参与，回答问题，提高课堂参与度。

用时：5分钟

师生互动环节：

1.学生提问：

-学生提出在学习过程中遇到的问题，教师进行解答。

-通过学生的提问，发现教学中的不足，及时调整教学策略。

用时：5分钟

2.教师点评：

-对学生的练习和讨论进行点评，指出优点和不足。

-鼓励学生继续努力，提高学习效果。

用时：5分钟

教学总结：

1.总结本节课所学内容，强调对数运算的重要性和应用场景。

用时：3分钟

2.布置课后作业：

-布置相关的课后作业，巩固学生对对数运算的理解。

用时：2分钟

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-对数函数的图像和性质：介绍对数函数的图像特征，如渐近线、对称性、单调性等。

-对数在科学中的应用：探讨对数在物理学、生物学、经济学等领域的应用实例。

-对数在工程学中的运用：分析对数在工程计算、数据分析、系统设计等方面的应用。

-对数在计算机科学中的角色：介绍对数在计算机科学中的基础作用，如二进制转换、算法分析等。

-对数在数学史上的地位：简要介绍对数的发明者和历史发展，增强学生对数学文化的认识。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学之美》等书籍，了解对数在数学和科学中的应用。

-观看科普视频：推荐学生观看关于对数和数学思维的科普视频，如“数学之美”系列视频。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克竞赛等，提升数学应用能力。

-实践项目：引导学生参与实际项目，如数据分析、系统设计等，将所学对数知识应用于实际问题。

-拓展学习平台：推荐学生利用在线学习平台，如Coursera、edX等，学习更多关于对数和数学分析的课程。

-组织小组研究：鼓励学生组成学习小组，共同研究对数在特定领域的应用，撰写研究报告。

-参观科技展览：组织学生参观科技展览，了解对数在科技发展中的作用，激发学生对数学的兴趣。

-制作数学模型：引导学生利用数学软件或手工制作对数函数的图像模型，加深对对数性质的理解。

-探索数学问题：鼓励学生探索与对数相关的数学问题，如证明对数函数的连续性和可导性。典型例题讲解1.例题：

已知函数\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\)，求函数的定义域。

解答：

由对数函数的定义，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0。因此，对于\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\)，需要满足以下条件：

\[

x-1>0\Rightarrowx>1

\]

所以，函数的定义域为\(x\in(1,+\infty)\)。

2.例题：

计算下列对数表达式：

\[

\log_{3}(27)-\log_{3}(9)+\log_{3}(1)

\]

解答：

利用对数的性质，我们可以将上述表达式简化为：

\[

\log_{3}\left(\frac{27}{9}\right)+\log_{3}(1)=\log_{3}(3)+0=1

\]

因为\(\frac{27}{9}=3\)且\(\log_{3}(1)=0\)。

3.例题：

如果\(\log_{2}(x-3)=3\)，求\(x\)的值。

解答：

由对数的定义，我们有：

\[

2^3=x-3\Rightarrow8=x-3\Rightarrowx=11

\]

4.例题：

设\(a=\log_{4}(2)\)，求\(a^2+2a+1\)的值。

解答：

由于\(a=\log_{4}(2)\)，我们可以将其转换为指数形式：

\[

4^a=2\Rightarrow2^2a=2\Rightarrow2a=1\Rightarrowa=\frac{1}{2}

\]

因此，

\[

a^2+2a+1=\left(\frac{1}{2}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+1+1=\frac{9}{4}

\]

5.例题：

如果\(\log_{3}(x^2+5x+6)=\log_{3}(x+2)\)，求\(x\)的值。

解答：

由对数的性质，我们有：

\[

x^2+5x+6=x+2

\]

化简得：

\[

x^2+4x+4=0\Rightarrow(x+2)^2=0\Rightarrowx=-2

\]

需要检查\(x=-2\)是否满足原方程的条件，即\(x^2+5x+6\)和\(x+2\)都必须是正数。由于\(x=-2\)使得\(x+2=0\)，因此\(x=-2\)不是有效解。所以，这个方程没有实数解。板书设计①对数概念

-对数的定义：若\(a^b=N\)，则\(b\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(b=\log_aN\)。

-底数\(a\)的条件：\(a>0\)，\(a\neq1\)。

②对数运算

-对数加法：\(\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)\)

-对数减法：\(\log_aM-\log_aN=\log_a\left(\frac{M}{N}\right)\)

-对数乘法：\(\log_aM^b=b\log_aM\)

-对数除法：\(\log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_aM-\log_aN\)

-换底公式：\(\log_aN=\frac{\log_cN}{\log_ca}\)（其中\(c\)为任意的正数，且\(c\neq1\)）

③对数函数的性质

-单调性：若\(a>1\)，则\(y=\log_ax\)在\((0,+\infty)\)上单调递增；若\(0<a<1\)，则\(y