山西省阳泉市盂县秀水镇第二中学2023年高三数学理期末试题含解析

山西省阳泉市盂县秀水镇第二中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若（为虚数单位，），则等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A因为，则．所以，故答案选A．2.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．

B．－

C．

D．－参考答案：A略3.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0

B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0

D．x＋y－3＝0参考答案：A4.在复平面内，复数(1﹣i)2对应的点P位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】展开完全平方式，得到复数对应的点P的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点P的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5.对于实数和，定于运算“”：设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（

） A． B． C． D．参考答案：D7.已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为（）A．3B．5C．6D．7参考答案：C略8.已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为

(A)

(B)8

(C)9

(D)12参考答案：C略9.执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2017=336×6+1，故程序框图输出的i的值为337．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．10.对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，与的夹角，且，都在集合中，则

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合）若，则的取值范围是____________.参考答案：【知识点】平面向量基本定理F2=y=y(-)=-y+(1+y),y,x.【思路点拨】根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的二分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．12.已知数列{an}为1，3，7，15，31，…，2n﹣1，数列{bn}满足b1=1，bn=an﹣an﹣1，则数列的前n﹣1项和Sn﹣1为

．参考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考点】8E：数列的求和．【分析】an=2n﹣1．数列{bn}满足b1=1，n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．可得bn=2n﹣1．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：an=2n﹣1．数列{bn}满足b1=1，n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．∴bn=2n﹣1．∴=．∴数列的前n﹣1项和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案为：2﹣22﹣n（n≥2）．13.（5分）设a，b为正实数，则的最小值为．参考答案：2﹣2【考点】：基本不等式．【专题】：不等式．【分析】：把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣2【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．14.已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣12]【考点】数列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]15.在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．参考答案：4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，利用?=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴?=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．16.男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，由此利用对立事件概率计算公式能求出出场的两名运动员号码不同的概率．【解答】解：男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数n=3×4=12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，∴出场的两名运动员号码不同的概率p=1﹣=．故答案为：．17.＝

．参考答案：由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积，即由微积分基本定理可知所以

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（），且曲线C与直线l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）设A、B为曲线C上的两点，且，求的最大值．参考答案：（Ⅰ）直线的普通方程是，曲线的直角坐标方程是，依题意直线与圆相切，则，解得或，因为，所以．（Ⅱ）如图，不妨设，，则，，，所以，即，时，最大值是．19.已知函数

（1）若

且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证参考答案：解：（1）因为，x0，则，

当时，；当时，.所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值.

因为函数在区间（其中）上存在极值，所以

解得.

（2）不等式即为

记

所以

令，则，，在上单调递增，

，从而，故在上也单调递增，

所以，所以

.

（3）由（2）知：恒成立，即，

令，则，

所以,，，

…

…

，

叠加得：

.

则，所以20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+1经过椭圆C的左焦点． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0），即椭圆的左焦点，可得c=1．又=，b2=a2﹣c2．即可得出． （Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设直线ABd的方程：y=k（k﹣2），与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．利用△＞0，解得k2．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．利用根与系数的关系及+=t，可得P坐标，代入椭圆方程即可得出．【解答】解：（I）直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0），即椭圆的左焦点，∴c=1． 又=，∴a=，b2=a2﹣c2=1． 故椭圆C的方程为=1． （Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在． 设直线ABd的方程：y=k（k﹣2）， 联立，化为：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． △=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2． 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 则x1+x2=，x1x2=， ∵+=t， ∴x1+x2=tx，y1+y2=ty． x==， y===． ∵点P在椭圆上，∴+2=2， ∴16k2=t2（1+2k2）， k2， ∴t2===4， 解得﹣2＜t＜2．， ∴t的取值范围是为（﹣2，2）． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.选修4—1：几何证明选讲在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

（1）求证：；

（2）若AC=3，求的值。参考答案：解：（1）连结BP，∵四边形ABCP内接于圆，∴∠PCD=∠BAD又∠PDC=∠BDA∴△PCD～△BAD∴又∵AB=AC∴

（5分）（2）连结BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

又∵