2023年数学考点版

单选：1．函数的定义域是(D）．A.B．ﻩC. D.且2．函数在x=0处连续,则k=(C)．A.－2B．-1C3．下列不定积分中,常用分部积分法计算的是（C）.A．B．C．D．4.设A为矩阵，Ｂ为矩阵，则下列运算中（A)可以进行.A．ＡＢB.ABTC.A+BD.BＡT5.设线性方程组的增广矩阵为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为(B）.Ａ．１Ｂ．2C．3Ｄ6.下列各函数对中,（D）中的两个函数相等.A．, B．，+１C.,D.，7.当时,下列变量为无穷小量的是（A）.Ａ.Ｂ.C.D．8.若,则f(x)=(Ｃ）.Ａ．B．-C.D.－9.设是可逆矩阵，且,则（Ｃ）.A．B.C.D．10.设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是(B).A.B．Ｃ．Ｄ．填空:1．设函数,则．２．设某商品的需求函数为，则需求弹性-3.积分０4．设均为阶矩阵,可逆，则矩阵方程的解X=5.已知齐次线性方程组中为矩阵，则３．6．已知某商品需求函数为q=1８0–4p，p为该商品价格，则该商品的收入函数Ｒ（q)=45q–0.２5q２．7．曲线在点处的切线斜率是.8.0.9．设为阶可逆矩阵，则(Ａ)＝n．10.设线性方程组,且,则时,方程组有唯一解.微积分计算题:１．设,求.2.计算积分．3．设,求.由于所以４.计算积分.解:代数计算题:1．设矩阵A＝,计算．解:由于且所以2．求线性方程组的一般解.解：由于增广矩阵所以一般解为(其中是自由未知量）。3.设矩阵A=，B=,计算（ＡB)-1．解:由于AB=＝(ABI)=所以(AB）-1=4.求线性方程组的一般解.解：由于系数矩阵所以一般解为（其中，是自由未知量)应用题:１．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台），固定成本为１8(万元),求最低平均成本．解:由于总成本函数为＝当=０时，C(０)=18，得c＝18,即Ｃ()=又平均成本函数为令,解得=3（百台）该问题的确存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为（万元／百台)。2.设生产某种产品个单位时的成本函数为:（万元)，求:(1）当时的总成本、平均成本和边际成本;（２)当产量为多少时,平均成本最小？解：（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为:,,．所以,，,.（2)令，得（舍去）.由于是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值，所以当20时，平均成本最小.(一）填空题1．.２.设,在处连续,则.3．曲线在的切线方程是x－2y＋1=0.4.设函数，则．5．设,则.（二)单项选择题1.函数的连续区间是（D）A．Ｂ．C．D.或2.下列极限计算对的的是(B)A.B.C．D．3.设,则（B）．Ａ．B．C．D．４.若函数f（ｘ)在点x０处可导，则(Ｂ)是错误的.A．函数ｆ(x)在点x０处有定义B.，但Ｃ.函数ｆ(ｘ)在点x０处连续D．函数ｆ(x)在点x0处可微5.当时，下列变量是无穷小量的是（Ｃ）.A.B.Ｃ.Ｄ．(三)解答题１.计算极限(1）(2）原式=（3）原式===(４）原式==（5）原式＝=(6)原式===4２．设函数，问:(1）当为什么值时，在处有极限存在？（２)当为什么值时，在处连续.(1)当（2).函数f(x)在x=０处连续．３．计算下列函数的导数或微分:(1),求(2)，求(3）,求(4）,求=（５）,求∵∴（6),求∵∴（7),求∵=∴(８)，求(９），求＝＝=（１0),求4.下列各方程中是的隐函数,试求或（1），求方程两边对x求导：所以(2）,求方程两边对x求导：所以5．求下列函数的二阶导数：（1),求(2),求及（一)填空题1.若，则.2.sinx+c．３．若,则．4.设函数.5．若，则.（二）单项选择题1．下列函数中，(D）是xｓiｎｘ2的原函数.Ａ．cosx2B.2cosx2Ｃ．-2cｏsx2D．-ｃoｓx22.下列等式成立的是（C).A.Ｂ． C.D．３.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（Ｃ）．Ａ．,B.C．D.4．下列定积分计算对的的是（D）．A.Ｂ.C．D.5.下列无穷积分中收敛的是(B).Ａ．Ｂ.Ｃ.D.(三)解答题1.计算下列不定积分（1）原式=＝（２）原式=＝(3)原式=（4)原式=（５）原式==(6)原式=（７)∵（+)(-)1(+)０∴原式=（8）∵（+)１(-）∴原式==＝2.计算下列定积分(1）原式==（2）原式==（3）原式＝=（4)∵(+）（－）１(+)0∴原式＝=(5）∵（+)（－）∴原式=＝（6)∵原式＝又∵（+)(-)1-(+)0∴＝故:原式=(一）填空题1.设矩阵,则的元素.2.设均为3阶矩阵，且,则=-７2.3．设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是A,B可互换.４.设均为阶矩阵,可逆,则矩阵的解．5.设矩阵，则A＝．（二）单项选择题１.以下结论或等式对的的是(C)．A．若均为零矩阵,则有B.若，且,则C.对角矩阵是对称矩阵D．若,则２．设为矩阵,为矩阵,且乘积矩阵故意义,则为（Ａ）矩阵.A．ﻩB．ﻩＣ． D．3.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(C）．｀Ａ．，B．Ｃ．Ｄ.4.下列矩阵可逆的是(A)．A．Ｂ．Ｃ.Ｄ.５．矩阵的秩是(Ｂ）.A．０B.1Ｃ．2D三、解答题１．计算（1)解：原式=(2）解:原式=（3)原式=2．计算原式==3.设矩阵,求。解：＝4．设矩阵，拟定的值，使最小。解:所以当时，秩最小为2。５．求矩阵的秩。解：所以秩=２６．求下列矩阵的逆矩阵：（１)解:所以。(2)Ａ=.解：所以。７．设矩阵，求解矩阵方程.四、证明题1．试证：若都与可互换，则，也与可互换。证明：∵,∴即,也与可互换2.试证：对于任意方阵,,是对称矩阵。证明:∵∴,是对称矩阵。３.设均为阶对称矩阵，则对称的充足必要条件是:。证明:充足性∵,,∴必要性∵,,∴即为对称矩阵。4.设为阶对称矩阵,为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。证明：∵,∴即是对称矩阵。（一)填空题1.函数在区间内是单调减少的.2．函数的驻点是,极值点是，它是极小值点.3.设某商品的需求函数为，则需求弹性４.行列式．5.设线性方程组，且，则时,方程组有唯一解．（二）单项选择题1.下列函数在指定区间上单调增长的是（Ｂ).A．sｉnxB．exC．x２ﻩＤ.3–x2．已知需求函数,当时,需求弹性为（C）.Ａ.Ｂ.C.D.3.下列积分计算对的的是(A）.A．B．Ｃ.D．4.设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是(D）.A.Ｂ.C.D．5.设线性方程组,则方程组有解的充足必要条件是（C).A.B.C．Ｄ．三、解答题1．求解下列可分离变量的微分方程:（1)原方程变形为：分离变量得：两边积分得：原方程的通解为：（2)解：分离变量得:两边积分得：原方程的通解为：2.求解下列一阶线性微分方程:(1）解：原方程的通解为：（2）解:原方程的通解为:3.求解下列微分方程的初值问题:(1),解：原方程变形为:分离变量得:两边积分得:原方程的通解为:将代入上式得：则原方程的特解为：（2),原方程变形为:原方程的通解为:将代入上式得：则原方程的特解为:4.求解下列线性方程组的一般解：（1）解:原方程的系数矩阵变形过程为:由于秩（)=２<n=4，所以原方程有无穷多解,其一般解为：（其中为自由未知量）。（2）解：原方程的增广矩阵变形过程为：由于秩()＝２＜n=４，所以原方程有无穷多解，其一般解为:（其中为自由未知量）。5.当为什么值时,线性方程组有解,并求一般解。解：原方程的增广矩阵变形过程为:所以当时，秩()=2<n=4，原方程有无穷多解,其一般解为：6．为什么值时，方程组解：原方程的增广矩阵变形过程为：讨论：（1）当为实数时,秩(）=3=ｎ=3,方程组有唯一解；（2)当时，秩()=２＜n=３，方程组有无穷多解；（3)当时，秩()=3≠秩()=２,方程组无解；７.求解下列经济应用问题：(1）设生产某种产品个单位时的成本函数为:（万元)，求：①当时的总成本、平均成本和边际成本；②当产量为多少时,平均成本最小？解:①平均成本函数为：（万元/单位)边际成本为：∴当时的总成本、平均成本和边际成本分别为:(万元/单位）（万元/单位)②由平均成本函数求导得:令得唯一驻点（个)，(舍去)由实际问题可知,当产量为2０个时，平均成本最小。（2)．某厂生产某种产品件时的总成本函数为(元),单位销售价格为(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少.解：由得收入函数得利润函数:令解得:唯一驻点所以，当产量为２５0件时，利润最大,最大利润：(元）(元）即利润将减少25元。(3)投产某产品的固定成本为3６(万元）,且边际成本为(万元/百台）．试求产量由４百台增至６百台时总成本的增量，及产量为多少时,可使平均成本达成最