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山西省长治市潞城黄牛蹄中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.在中,,则一定是(
)A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形参考答案:D略2.不等式的解集为
(
)(A)
(B)(C)
(D)参考答案:C3.的值为
A.
B.
C.
D.参考答案:A略4.不等式表示的平面区域(阴影部分)为
参考答案:D5.已知f(x)是偶函数,x∈R,当x>0时,f(x)为增函数,若x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则()A.f(﹣x1)>f(﹣x2) B.f(﹣x1)<f(﹣x2) C.﹣f(x1)>f(﹣x2) D.﹣f(x1)<f(﹣x2)参考答案:B【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是偶函数,x∈R,当x>0时,f(x)为增函数,且|x1|<|x2|,∴f(|x1|)<f(|x2|),则f(﹣x1)<f(﹣x2)成立,故选:B【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键.6.过点A(3,5)作圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=1的切线,则切线的方程为()A.x=3或3x+4y﹣29=0 B.y=3或3x+4y﹣29=0C.x=3或3x﹣4y+11=0 D.y=3或3x﹣4y+11=0参考答案:A【考点】圆的切线方程.【分析】由题意可得:圆的圆心与半径分别为:(2,3);1,再结合题意设直线为:kx﹣y﹣3k+5=0,进而由点到直线的距离等于半径即可得到k,求出切线方程.【解答】解:由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为:(2,3);1,当切线的斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为:kx﹣y﹣3k+5=0,由点到直线的距离公式可得:=1解得:k=﹣,所以切线方程为:3x+4y﹣29=0;当切线的斜率不存在时,直线为:x=3,满足圆心(2,3)到直线x=3的距离为圆的半径1,x=3也是切线方程;故选A.7.1.集合,集合Q=,则P与Q的关系是()P=Q
B.PQ
C.
D.参考答案:C8.“”是函数的最小正周期为“”的
(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A9.下列集合到集合的对应是映射的是
(
)(A):中的数平方;(B):中的数开方;(C):中的数取倒数;(D):中的数取绝对值;参考答案:A10.已知非零单位向量满足,则与的夹角是(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】由题意利用两个向量的加减法及其几何意义,可得,利用向量的夹角公式,即可求解,得到答案.【详解】因为非零单位向量满足,所以,整理得,所以,则,,,所以向量与的夹角,又因为,所以,故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,以及向量的夹角公式的应用,其中解答中根据向量的数量积的运算,求得,再利用向量的夹角公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若,其中λ,μ∈R,则λ+μ=__________.参考答案:12.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是.参考答案:4【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高,则其侧面积和体积可求【解答】解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,其主视图为原图形中的三角形PEF,如图,由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2,高PO=2,则四棱锥的斜高PE==.所以该四棱锥侧面积S=4××2×=4,故答案是4.13.函数的最小值为
;参考答案:略14.已知α∈(0,),β∈(0,),则2α﹣的取值范围是
.参考答案:(﹣,π)【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】首先,确定2α与﹣的范围,然后求解2α﹣β的范围.【解答】解:∵0<α<,0<β<,∴0<2α<π,﹣<﹣β<0,∴﹣<2α﹣<π,故答案为:(﹣,π).15.=________参考答案:-2
16.的最小值为_________.参考答案:8【分析】利用先把原式进行化简,通分后换元,通过自变量的范围解出最后值域的范围.【详解】原式可化:,设则,原式可化为,故最小值为8,此时.【点睛】1、求解三角等式时,要熟练应用三角恒等变换,尤其是“1”的代换;2、换元时要注意写出未知数的取值范围;3、利用基本不等式解题时要注意取等条件是否能够取到.17.在正数数列{an}中,,且点在直线上,则前n项和Sn等于__.参考答案:【分析】在正数数列中,由点在直线上,知,所以,得到数列是首项为1,公比为2的等比数列,由此能求出前n项和,得到答案.【详解】由题意,在正数数列中,,且在直线上,可得,所以,即,因为,所以数列表示首项为1,公比为2的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的应用,同时涉及到数列与解析几何的综合运用,是一道好题.解题时要认真审题,仔细解答,注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知,,.(1)求的值;
(2)求的值.参考答案:(1)(2)【分析】(1)根据的范围,利用同角三角函数可求得,从而构造,利用两角和差正弦公式求解得到结果;(2)根据同角三角函数求出;利用二倍角正切公式求得;根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】(1)
(2),则由(1)可知,,
【点睛】本题考查同角三角函数的求解、二倍角公式的应用、两角和差的正弦和正切公式的应用问题,属于基础题.
19.已知集合,若,求实数的值。参考答案:解:∵,∴,而,∴当,
这样与矛盾;
当符合∴略20.如图,在矩形ABCD中,已知,E、F分别是AB的两个三等分点,AC,DF相交于点G,建立适当的平面直角坐标系,证明:
参考答案:见解析【分析】首先根据已知图形建立适当的坐标系如图,然后把需要用到的点的坐标分别表示出来,最后根据向量垂直的定义进行证明.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.则,由知直线AC的方程为:由知直线DF的方程为:,由得故点G点的坐标为.又点E的坐标为,故,所以.即证得:【点睛】本题考查直线的一般方程与直线的垂直关系,涉及平面向量的计算,通过设置坐标系进行计算,属于基础题.21.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16。(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an=+++……+,(nN+),求数列{bn}的前n项和Sn。n=1n≥2
参考答案:解:(1)由等差数列的性质得:a2+a7=a3+a6∴,解得:或∵{an}的公差大于0
∴{an}单增数列∴a3=5,a6=11
∴公差d===2∴an=a3+(n-3)d=2n-1
(2)当n=1时,a1=
∴b1=2
当n≥2时,an=+++…+
an-1=+++…+
两式相减得:an-an-1=
∴bn=2n+1,n≥2
∴bn=,
∴当n=1时,S1=b1=2
当n≥2时,Sn=b1+b2+b3+……+bn
=2+=2n+2-622.数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式;(Ⅱ)设证明:当参考答案:解析:
(Ⅰ)因为所以
一般地,当时,=,即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此当时,所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为(
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