山西省长治市潞城辛安泉中学2023年高三数学文联考试卷含解析

山西省长治市潞城辛安泉中学2023年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则等于（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：D略2.甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次不同视为不同情形）共有（

）A．10种

B．15种

C．20种

D．30种参考答案：C略3.在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4.设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，则实数λ的取值范围是（）A．

B．C．

D．参考答案：A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠?，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠?，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．5.函数的单调增区间是A.(－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)参考答案：B6.已知定义在R上的奇函数满足f（x－4）＝－f（x），且时，－1，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）＝1；乙：函数f（x）在［－6,－2］上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x＝4对称；丁：若m，则关于x的方程f（x）－m＝0在［0,6］上所有根之和为4，其中正确的是A.甲、乙、丁

B.乙、丙

C.甲、乙、丙

D.甲、丙

参考答案：A略7.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：A略8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．24+8+8 B．20+8+4 C．20+8+4 D．20+4+4参考答案：B【分析】由三视图还原原几何体，原几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，侧面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAB是等腰三角形，底边AB上的高为2，侧面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角边AD=4，AP=，侧面PCD是等腰三角形，底边CD=4，腰PD=PC=2．然后由三角形面积求解．【解答】解：由三视图可得原几何体如图：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，侧面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的正方形；侧面PAB是等腰三角形，底边AB上的高为2，侧面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角边AD=4，AP=；侧面PCD是等腰三角形，底边CD=4，腰PD=PC=2．∴几何体的表面积为：=20++．故选：B．9.已知A. B. C. D.参考答案：C略10.如图，圆M和圆N与直线l：y=kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|=|ON|且=2，则实数k的值为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据切线的性质可得OM⊥ON，利用相似三角形得出两圆半径比为2：1，在根据三角形相似即可得出tan∠NOX，根据二倍角公式计算k．【解答】解：过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，设圆M，圆N的半径分别为R，r，∵=2，∴AC=2BC．∵OB是圆M，圆N的垂线，∴AM⊥OB，BN⊥OB，∴△MAC∽△NBC，∴，即R=2r．∵x轴是两圆的切线，且OB是两圆的切线，∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，∴∠NOQ+∠POM=90°，∴∠NOQ=∠PMO，又OM=ON，∴△MPO≌△OQN，∴OQ=MP=R，∴tan∠NOQ===，∴tan∠BOQ=tan2∠NOQ==，∴k=．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于________．参考答案：12.设，则曲线在处切线的斜率为

.参考答案：略13.若双曲线右支上一点到直线的距离为，则=_________。参考答案：答案：

14.设n为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

．参考答案：112由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得n=8，则，令，r=2，则展开式中的常数项为.

15.设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“型增函数”，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.的定义域为

.参考答案：略17.函数f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

参考答案：【解析】由.答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：过点，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于M、N两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆C的离心率为.（2）若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）证明见解析；（2）存在，【分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线MN的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得O到直线MN的距离.当直线MN的斜率存在时，联立直线MN的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得O到直线MN的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，，则，.∵，∴，∴，∴，即，∴O到直线MN的距离.综上，O到直线MN的距离为定值，且定值为，故存在定圆O：，使得圆O与直线MN总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知函数f（x）=（x+a）ln（a﹣x）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；（Ⅱ）当a=e时，求证：函数f（x）在x=0处取得最值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用f'（0）=k切线斜率，可得切线方程．（Ⅱ）证法一：定义域（﹣∞，e）．函数a=e，，f（0）=e，．当x∈（﹣∞，e）时，y=ln（e﹣x），，均为减函数，可得f'（x）在（﹣∞，e）上单调递减，又f'（0）=0，即可证明．证法二：当x∈（﹣∞，0）时，证明f′（x）＞0，可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

当x∈（0，e），证明f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：因为a=1，，…f'（0）=﹣1，所以k=﹣1…因为f（0）=0所以切点为（0，0），…则切线方程为y=﹣x…（Ⅱ）证明：证法一：定义域（﹣∞，e）．函数a=e，所以…，f（0）=e，．当x∈（﹣∞，e）时，y=ln（e﹣x），，均为减函数

…所以f'（x）在（﹣∞，e）上单调递减；

…又f'（0）=0，因为当x∈（﹣∞，0）时，，…f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

…又因为当x∈（0，e），…f（x）在x∈（0，e）上单调递减；

…因为f（0）=0，所以f（x）在x=0处取得最大值．

…证法二：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x＞0，e﹣x＞e，ln（e﹣x）＞lne=1，ln（e﹣x）+1＞2…又因为x＜0，…∴，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

…当x∈（0，e），﹣x∈（﹣e，0），e﹣x∈（0，e），ln（e﹣x）＜1，…又因为x∈（0，e），…∴，f（x）在x∈（0，e）上单调递减；

…又因为f（0）=0，所以f（x）在x=0处取得最大值．

…20.数列中，，，其中＞0，对于函数(n≥2)有.求数列的通项公式；（2）若，，…+，求证：参考答案：解：（1）

﹣=0=数列是以为首项，为公比的等比数列，=又+…+时，

时，

……………6分

（2）由

>1且，

﹣=>0<…+]=+…+++…+]=又>

><…………………12分21.已知函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设实数满足，证明：.参考答案：（Ⅰ）∵∴在上单调递增，在上单调递减∴的最小值为.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵∴∴.............................................................10分22.

某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足.已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是

（I）写出2013年第x月的旅游人数（单