山西省长治市沁州中学高三数学文期末试卷含解析

山西省长治市沁州中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先求出曲线的交点，S阴影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多边形OBA，分别求出其面积，问题得以解决．【解答】解：曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示由，解得x=1，y=1，即A（1，1），B（1，0），因为S曲多边形OBA=dx=|=，S三角形OBA=×1×1=，S扇形0AC=π×2=，∴S阴影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多边形OBA=﹣+=+，故选：C．2.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．R参考答案：D3.（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1B．4C．D．或4参考答案：B考点：对数的运算性质．分析：根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故选B．点评：本题主要考查对数的运算性质．4.设非零向量，满足，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.

5.直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是A.[,0]

B.（，][）C.[，]

D.[，0）参考答案：A略6.在的展开式中，项的系数为（

）A．200

B．180

C.150

D．120参考答案：C展开式的通项公式为，令可得：，则，展开式的通项公式为，令可得：，据此可得：项的系数为.本题选择C选项.

7.复数的虚部是A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.函数，则此函数的所有零点之和等于（

）A.4

B.8

C.6

D.10参考答案：B9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为A. B． C．5 D．参考答案：C由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.

10.三角函数的振幅和最小正周期分别是（）A． B． C． D．参考答案：B，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为

参考答案：12.如图，边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为

.参考答案：13.在极坐标系中，直线被圆所截得的线段长为___________.参考答案：略14.已知函数，则方程f（x）=﹣3的解为．参考答案：1或﹣2【考点】函数的零点．【分析】由函数的解析式可得方程f（x）=﹣3可化为，或．分别求出这两个混合组的解，即为所求．【解答】解：函数，则由方程f（x）=﹣3可得，，或．解得x=1，或x=﹣2，故答案为1或﹣2．15.已知圆的方程为设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

。参考答案：答案：16.已知点和圆，是圆上两个动点，且，则(为坐标原点)的取值范围是

.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】[2，22]．

解析：设线段AB的中点为D，∵|AB|=2，∴|AD|==CD|，∴点D在圆：（x﹣2）2+y2=1上，可设点D（2+cosα，sinα），则得==（6，8）?（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=，cosθ=，∴的最小值为12﹣10=2，最大值为12+10=22，∴的范围是[2，22]．故答案为：[2，22]．【思路点拨】设线段AB的中点为D，可得CD=|，即点D在圆：（x﹣2）2+y2=1上，可设点D（2+cosα，sinα），求得==12+10sin（α+θ），可得所求．17.已知是虚数单位，实数满足则

▲

.参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…19.（本题满分12分）已知在处有极值，其图象在处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。参考答案：试题分析：（1）由题意：

直线的斜率为；由已知

所以

-----------------3分所以由得心或；所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。-----------------6分（2）由(1)知,函数在时单调递减，在时单调递增；所以函数在区间有最小值要使恒成立只需恒成立，所以。故的取值范围是{}

-----------------12分

略20.（本小题满分12分）

已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，.………………2分因为.

所以切线方程是

……4分（Ⅱ）函数的定义域是.

………………5分当时，令，即，

所以或.……7分当，即时，在［1，e]上单调递增，所以在［1，e]上的最小值是；当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………8分（Ⅲ）设，则，只要在上单调递增即可.………………9分

而当时，，此时在上单调递增；……10分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，………………12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.

………………12分ks5u略21.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

报废年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，=17.5．参考公式：回归直线方程为其中=，=﹣．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（Ⅱ）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3.5，=16，==2，=﹣?=16﹣2×3.5=9，∴=2x+9，x=7时，=2×7+9=23，即预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴每辆A款车的利润数学期望为×0.2+×0.35+×0.35+×0.1=175元；每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴每辆B款车的利润数学期望为×0.1+×0.3+×0.4+×0.2=150元；∵175＞150，∴应该采购A款车．22.（本题满分14分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.(Ⅰ)若点是棱的中点，求证:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以.

（2分）因为平面,平面,所以平面.

（4分）（Ⅱ）由题意,,因