山西省长治市成才学校2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省长治市成才学校2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是

参考答案：D函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.当时，，排除C,选D.2.圆与直线相切于点，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.5B.6C.7D.8参考答案：B4.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.下列说法正确的是

A．命题“使得”的否定是：“”B．aR,“<1”是“a>1”的必要不充分条件C．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D．命题p：“”，则p是真命题参考答案：B6.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性，单调性B4B3C和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.7.

参考答案：C8.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为则的取值范围为（

）A．[4,5)

B．(4,5]

C.[4,+∞)

D．(－∞,4]参考答案：A根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，可知要使函数有四个不同的零点，则有，并且有，且，从而可以确定，令，则有，从而有，所以有，所以，故选A.

9.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（

）A

9.

B.7

C.5

D.4参考答案：C10.已知函数有两个零点，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为

．参考答案：212.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为

，的值为

．参考答案：略13.如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是

。参考答案：。过点A做AE⊥BC，垂足为E，连接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=，当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。过E做EF⊥DA，垂足为点F，已知EA=ED，所以△ADE为等腰三角形，所以点E为AD的中点，又，∴EF=，∴==，∴四面体ABCD体积的最大值=。14.若实数，满足约束条件，且有最大值，则实数

．参考答案：

15.设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________.参考答案：略16.将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为

．参考答案：17.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=5，则△AOF的面积为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|?|y1|+|OF|?|y2|=|OF|?|y1﹣y2|=×1×5=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：（）的离心率为，、分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的四个端点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.试题分析：（Ⅰ）椭圆的焦距等于圆的直径，所以，根据离心率求出；（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，点在以线段为直径的圆内韦达定理代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）将圆的方程配方得：，所以其圆心为，半径为2.由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，又，所以，从而，故椭圆的方程为.（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，由其判别式得，①设，，则，.从而，.因为的坐标为，所以，.注意到与同向，与同向，所以点在以线段为直径的圆内，②当且仅当即时，总存在，使②成立.又当时，由韦达定理知方程的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①.故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.19.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求面积的最小值；（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为,.联立，得..设，，则，，∴.（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，所以直线的方程为:,即，（*）当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.当时，直线的方程为：，也过点.所以直线恒过定点.……12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．20.（本小题共14分）已知函数是常数。（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明：函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数有零点，求实数a的取值范围。参考答案：（Ⅰ）， 2分，所以切线的方程为，即。 4分（Ⅱ）令则，解得。（0，1）1＋0－↗最大值↘，所以且，即函数的图象在直线的下方。 9分（Ⅲ）有零点，即有解，。令，解得。 12分则在（0，1）上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为，所以。 14分21.为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）.参考答案：（1）（2）详见解析（3）【分析】(1)根据组合的方法求解所有可能的情况与满足条件的情况数再计算概率即可.(2)X的取值为0,1,2,3,4.再根据超几何分布的方法求分布列与数学期望即可.(3)直接根据数据观察稳定性判断与的大小即可.【详解】解：（1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,由题意可知,.（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为0,1,2,3