山西省长治市开发区中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省长治市开发区中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合A=，B=，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（） A．－1＋i B． －1－i C． 1＋i D． 1－i参考答案：C略4.执行右面的框图，若输入的是，则输出的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：此时条件不成立，输出，选B.5.函数的图像大致是（

）参考答案：B6.如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】设，，（λ，μ∈）．可得=（0，λ，2λ），=+μ=（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的计算公式可得=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|=，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设，，（λ，μ∈）．∴=（0，λ，2λ），=+μ=（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）=（1﹣μ，μ，0）．∴=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|===，当且仅当，，即λ=，时取等号．∴线段PQ长度的最小值为．故选：C．7.已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，则A.4

B.

10

C.

16

D.

32

参考答案：C由得，解得，从而. 故选C.8.函数的值域为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：B略10.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则正数a的取值范围是（）A．[，]B．[，π]C．[，π] D．[，]参考答案：B【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】求解出函数的单调增区间，根据在区间和上均单调递增建立关系可得答案．【解答】解：由函数=2sin（2x﹣），令2x﹣得：≤x≤，k∈Z．当k=0时，可得增区间为[，]，∵在区间和上均单调递增则，∴0＜a≤π．当k=1时，可得增区间为[，]，则2a，∴a．综上可得：π≥a．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______.参考答案：3【考点】数量积的应用【试题解析】,所以当M,N重合时，

最大，为

又设

所以

显然当时，最大为3.

故的最大值为3.12.二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．参考答案：【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为；故答案为：．13.若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是

．参考答案：414.已知抛物线的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若则直线PF的方程为

。参考答案：或

15.已知角α的顶点在坐原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A，则=

（用数值表示）参考答案：16.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是

参考答案：[1,4].设=（0≤≤1），则=,=，则===+++,又∵=0，∴=，∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范围是[1,4].17.已知A（3，2）、B（1，0），P（x，y）满足=x1+x2（O是坐标原点），若x1+x2=1，则P点坐标满足的方程是

．参考答案：x﹣y﹣1=0【考点】直线的两点式方程；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据=x1+x2得出（x，y）=（3x1+x2，2x1），得到x﹣y=x1+x2=1．【解答】解：∵=x1+x2∴（x，y）=（3x1，2x1）+（x2，0）=（3x1+x2，2x1），∴x=3x1+x2，y=2x1，∴x﹣y=x1+x2=1，故P点坐标满足的方程是x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查两个向量数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设为实数，函数。(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集。参考答案：略19.全集求集合.参考答案：略20.（本小题满分12分）已知，函数.设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.参考答案：Ⅰ)解：曲线在点处的切线的方程为令，得

……………4分(Ⅱ)在上恒成立设，

令，解得，

当时，取极大值10当,即时，，满足题设要求；20当，即，，若，解得.综上，实数的取值范围为.

…………12分21.如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．22.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数．（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）通过各组的频率和等于1，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可．（2）分别求出[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．然后利用古典概型概率求解即可．（3）判断概率类型X～B（4，0.3），即可写出分布列求解期望即可．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.